இயற்கணிதக் கோவையின் படி (Degree of Expression)

இயற்கணிதக் கோவையின் படி (Degree of Expression)

இயற்கணிதக் கோவைகளைப் பற்றி நாம் முன்னர்ப் படித்ததை நினைவு கூர்வோம்.

1. மீள்பார்வை - இயற்கணிதக் கோவை (Recap of Algebraic expression)

அடிப்படை கணிதச் செயல்பாடுகளான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மூலம் மாறி மற்றும் மாறிலியை இணைத்து, இயற்கணிதக் கோவைகளை உருவாக்குவது குறித்து, நாம் ஏற்கனவே கற்றறிந்தோம்.

இப்போது, அடுக்கு எண்கள் குறித்து அறிந்துகொண்டோம். அத்தகைய அடுக்குக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தியும் இயற்கணிதக் கோவைகளை உருவாக்கலாம்.

இயற்கணிதக் கோவைகள் குறித்த அடிப்படைக் கருத்துகளை நினைவுகூர்வோம்.

2x+3 என்னும் கோவையைக் கருதுக. இக்கோவையானது, x என்னும் மாறியை 2 ஆல் பெருக்கி, அந்தப் பெருக்கற்பலனுடன் 3 என்னும் மாறிலியைக் கூட்டும்போது கிடைக்கிறது.

இக்கோவையில் இரண்டு உறுப்புகள் உள்ளதால், இது ஓர் 'ஈருறுப்புக் கோவை' ஆகும். இங்கு 2x என்பது மாறி உறுப்பாகவும், 3 என்பது மாறிலி உறுப்பாகவும் உள்ளது. 2 என்பது x இன் எண் கெழு ஆகும்.

ஒரே மாறியுடன், அமைந்த உறுப்புகள், 'ஒத்த உறுப்புகள்’ எனப்படும். உதாரணமாக, -7x, 2x மற்றும் 5x ஆகியன ஒத்த உறுப்புகள். ஆனால், மாறுபட்ட மாறிகளை உடைய உறுப்புகள் மாறுபட்ட உறுப்புகள் எனப்படும். -2x, 7y ஆகியன மாறுபட்ட உறுப்புகள். ஏனெனில், x மற்றும் y என்பன வெவ்வேறு மாறிகள்.

ஒத்த உறுப்புகளை மட்டுமே கூட்டவோ, கழிக்கவோ முடியும். அதாவது 2x +5x =7x என்று அறிவோம். ஆனால், மாறுபட்ட உறுப்புகளைக் கூட்டும்போது, புதிய கோவை உருவாகிறது. உதாரணமாக, 2x மற்றும் 5y ஐக் கூட்டினால் 2x + 5y என்னும் புதிய கோவை கிடைக்கிறது.

2. கோவைகளின் படி (Degree of Expressions)

ஒரு கோவையின் படியை அறிவதற்கு, முதலில் ஒரு மாறியின் படியினை அடுக்கு எண்களுடன் தொடர்புபடுத்திப் புரிந்துகொள்ளலாம். வர்க்க எண்களைக் கருதுக. அவை மாறுபட்ட அடிமானம் மற்றும் ஒரே அடுக்கையும் பெற்றுள்ளன. வர்க்க எண்களை வடிவ விளக்கப்படம் மூலம் குறிப்பிடுவது பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

பொதுவாக, அதன் பக்கத்தை x அலகுகள் என்னும் மாறியாகக் கருதினால், அதன் பரப்பளவு x × x சதுர அலகுகள் ஆகும். இதனை x2 என்னும் அடுக்கு எண்ணாக எழுதலாம்.

இதன்மூலம், அடுக்கு வடிவில் நமக்கு இயற்கணிதக் கோவை கிடைக்கிறது. அதாவது, x2 என்பதனை ஓர் ஓருறுப்புக் கோவையாகக் கருதினால், அதனுடைய உயர்ந்த அடுக்கானது அதன் அடுக்கு அதாவது ‘2' ஆகும்.

இதுபோலவே, நீளம் ‘l’ அலகுகள் மற்றும் அகலம் ‘b' அலகுகள் என்னும் மாறிகளை உடைய செவ்வகத்தின் பரப்பளவு l×b= lb சதுர அலகுகள் ஆகும். இங்கு lb என்பதை ஓர் இயற்கணிதக் கோவையின் உறுப்பாகக் கருதலாம். மேலும், l மற்றும் b என்பன உறுப்பு lb இன் காரணிகளாகும்.

lb என்னும் கோவையின் அதிகபட்ச அடுக்கு 2 ஆகும். ஏனெனில், அதன் மாறிக் காரணிகளின் அடுக்குகளின் கூடுதல் 2 ஆகும்.

குறிப்பு 

(i) ஓர் உறுப்பில் அதன் அடுக்கை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடாதபோது, அதனை 1 எனக் கருதுவோம். உதாரணமாக, 11p=11p1. 

(ii) x ஐ மாறியாகக் கொண்ட ஒரு கோவைக்கு அதன் ஒத்த உறுப்புகளைக் கூட்டிய பிறகு, அடுக்குகள் இறங்கு வரிசையில் இருக்குமாறு அதன் உறுப்புகள் இருக்குமெனில் அந்தக் கோவை திட்ட வடிவில் உள்ளது என்பர். 

உதாரணமாக, x4 – 3x3 +5x2-7x +9 என்பது திட்டவடிவில் உள்ளது. ஒரு கோவை திட்டவடிவில் இருக்கும்போது, அதன் அதிகபட்ச அடுக்கைக் காண்பது எளிது. இக்கோவையின் உச்ச அடுக்கு 4 ஆகும். 

(iii) ஒரு இயற்கணிதக் கோவையின் அதிகபட்ச படியினைக் கொண்ட உறுப்பே தலையாய கெழு எனப்படும். 

x3-3x2 +4 என்னும் கோவையைக் கருதுக. இக்கோவையின் உறுப்புகள் x3, -3x2, 4 ஆகும். x3 என்னும் உறுப்பின் அடுக்கு 3, -3x2 இன் அடுக்கு 2 ஆகும். இவற்றுள் x3 என்னும் உறுப்பு அதிகபட்ச அடுக்கினை, அதாவது 3 ஐக் கொண்டுள்ளது.

3x4 -4x3y2 +8xy +7 என்னும் கோவையைக் கருதுக. இதன் ஒவ்வோர் உறுப்பின்  அடுக்கையும் காண்போம்.

இவற்றுள் 3x4 இன் அடுக்கு 4. எனவே, இதன் படி 4 ஆகும். -4x3y2 இல், x மற்றும் y மாறிகளின் அடுக்குகளின் கூடுதல் 5. எனவே, இதன் படி 5. மேலும், 8xy இன் அடுக்குகளின் கூடுதல் 2. எனவே இதன் படி 2 ஆகும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோவையில் அதிகபட்ச அடுக்கு உள்ள உறுப்பு -4x3y2 ஆகும். இதன் அடுக்கு 5. இதுவே, இக்கோவையின் படி ஆகும்.

ஆகவே, 'இயற்கணிதக் கோவையின் படி' என்பது அக்கோவையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளில், அதிகபட்ச அடுக்கினைக் குறிப்பதாகும். கோவையின் எந்த உறுப்பின் படியானாலும், அது மிகை முழுக்களாகவே இருக்கும்.

மேலும், கோவையின் படி என்பது அக்கோவையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து அமையாது. ஆனால், ஒவ்வோர் உறுப்பிலுள்ள மாறிகளின் அடுக்குகளைப் பொறுத்து அமையும். மாறிலி உறுப்பின் படி பூச்சியம் (0) ஆகும்.

இவற்றை முயல்க 

1. பின்வரும் அட்டவணையை நிரப்புக:

2. பின்வருவனவற்றுள் ஒத்த உறுப்புகளைக் காண்க:

(i) 2x2 y, 2xy2 , 3xy2 , 14x2 y, 7 yx 

ஒத்த உறுப்புகள் : 2x2y, 14x2y, 2xy2, 3xy2

(ii) 3x3 y2 , y 3x, y3x2 , − y 3x, 3y 3x 

ஒத்த உறுப்புகள் : y3x, – y3x, 3y3x

(iii) 11pq, − pq, 11pqr , − 11pq , pq

ஒத்த உறுப்புகள் : 11 pq, –pq, –11pq, pq

எடுத்துக்காட்டு 3.14 

பின்வரும் கோவைகளின் படியைக் காண்க. 

(i) x5

(ii) −3p3 q2

(iii) −4xy2 z3

(iv) 12xyz − 3x3 y2z + z8

(v) 3a3b4 − 16c6 + 9b2c5 + 7

தீர்வு

(i) x5 இன் அடுக்கு 5. எனவே, இந்தக் கோவையின் படி 5 ஆகும். 

(ii) -3p3q2 இல் அடுக்குகளின் கூடுதல் 5. (அதாவது, 3+2). எனவே, இந்தக் கோவையின் படி 5 ஆகும். 

(iii) -4xy2z3 இல் அடுக்குகளின் கூடுதல் 6. (அதாவது,1+2+3). எனவே, இந்தக் கோவையின் படி 6 ஆகும். 

(iv) இக்கோவையின் உறுப்புகள் 12xyz, 3x3y2z, மற்றும் z8 இந்த உறுப்புகளின் அடுக்குகள் 3(1+1+1), 6(3+2+1), 8 ஆகும். இவற்றுள் அதிகபட்ச அடுக்கை உடைய உறுப்பு z8 ஆகும்.  எனவே, இக்கோவையின் படி 8 ஆகும்.

(v) இக்கோவையின் உறுப்புகள் 3a3b4,-16c6, 9b2c5, 7 ஆகும். இந்த உறுப்புகளின் அடுக்குகள்  7(3+4), 6, 7(2+5), 0 ஆகும். இவற்றுள்  அதிகபட்ச அடுக்கை உடைய உறுப்பு  3a3b4,9b2c5 ஆகும்.  எனவே, இக்கோவையின் படி 7 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.15

4x2 +3xy +9y2 ஐயும், 2x2 -9xy +6y2 ஐயும் கூட்டுக. அந்தக் கூட்டற்பலன் கோவையின் படியினைக் காண்க. 

தீர்வு

இதனை, (4x2 +3xy +9y2)+(2x2 -9xy +6y2) என்று எழுதுவோம். ஒத்த உறுப்புகளைக் கூட்ட,

(4x2 +2x2) + (3xy -9xy)+(9y2 +6y2) = x2 (4 +2) +xy (3-9) + y2 (9+6)

=6x2 – 6xy +15y2 

ஆகவே, இக்கோவையின் படி 2 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.16  

3x3- 2x2 -7x+6 இலிருந்து x3–x2+x+3 ஐக் கழித்து, அக்கோவையின் படியைக் காண்க.

தீர்வு

இதனை, (3x3- 2x2 – 7x +6)-(x3-x2 +x+3) என்று எழுதுவோம்.

அடைப்புக் குறிக்கு முன்பு குறைக்குறி (-ve sign) இருந்தால், அதனை நீக்க, அடைப்புக் குறிக்குள் உள்ள உறுப்புகளின் குறிகளை மாற்றி எழுதவேண்டும். எனவே, 

(3x3-2x2-7x+6) - (x3-x2 +x+3) = 3x3 -2x2-7x+6-x3+x2-x-3

= (3x3-x3)+(-2x2 +x2)+(-7x-x) + (6-3) 

= x3 (3-1)+ x2 (-2 +1) +x(-7-1) +(6-3)

= 2x3 – x2 – 8x +3 

ஆகவே, இக்கோவையின் படி 3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.17 

பின்வரும் கோவையைச் சுருக்கி, அதன் படியைக் காண்க.

( 4m2 + 3n)− ( 3m + 9n2 )− ( 3m2 − 6n2 )+ ( 5m − n)

தீர்வு 

 ( 4m2 + 3n)− ( 3m + 9n2 )− ( 3m2 − 6n2 )+ ( 5m − n)

 = 4m2 + 3n − 3m − 9n2 − 3m2 + 6n2 + 5m – n

 = ( 4m2 − 3m2 )+ ( 3n − n) + ( −3m + 5m) + ( −9n 2 + 6n2 )

 = m2 + 2n + 2m − 3n2

எனவே, இந்தக் கோவையின் படி 2 ஆகும்.