முற்றொருமைகளின் வடிவியல் நிரூபணம்

முற்றொருமைகளின் வடிவியல் நிரூபணம்

ஓருறுப்புக் கோவைகளைப் பெருக்கும் இந்த முறையைப் பயன்படுத்திச் சில இயற்கணிதக் கணக்குகளை எளிதில் தீர்க்க உதவக்கூடிய இயற்கணித முற்றொருமைகளை வடிவக்கணிதத்தின் உதவியுடன் நிரூபணம் செய்ய முயல்வோம்.

1. முற்றொருமை 1:

(x + a)(x + b) = x2+ x(a + b)+ ab

நான்கு பகுதிகளைக் கருதுக. ஒரு பகுதி 3×3 பக்க அளவுகள் கொண்ட சதுர வடிவமாகும் (சாம்பல்). மேலும் மற்ற மூன்று பகுதிகளும் 4×3 (மஞ்சள்), 3×2 (சிவப்பு) மற்றும் 4 × 2 (நீலம்) அளவுகள் கொண்ட செவ்வக வடிவங்களாகும்.

இவற்றைப் படம் 3.8 இல் உள்ளவாறு செவ்வக வடிவில் அடுக்குவோம். இப்போது படத்தை உற்று நோக்கும்போது, பின்வரும் கூற்று உண்மையாகும்.

பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பு = சதுரத்தின் பரப்பு (சாம்பல்) + மூன்று செவ்வகங்களின் பரப்பு 

(3+4 )(3+2) = (3×3) + (4×3) + (3×2) + (4×2) 

(3+4)(3+2) = (3×3)+3×(4+2) + (4×2) ... (1)

இங்கு, இடதுபக்கம் = (3+4) (3 +2) =7×5=35

வலதுபக்கம்  = (3×3)+3(4+2)+(4×2) = 9+(3×6)+8 

= 9+18+8 = 35 

ஆகவே, இடதுபக்கம் = வலதுபக்கம்.

குறிப்பு

செவ்வகத்தின் பரப்பு = (நீளம் × அகலம்) ச.அ 

மேலும், சதுரத்தின் பரப்பு = (பக்கம் × பக்கம்) ச.அ

இதேபோல் படம் 3.9 இல் உள்ளவாறு வேறு நான்கு பகுதிகளைக் கருதுக. படத்திலிருந்து, 

பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பு = சதுரத்தின் பரப்பு (சாம்பல்) + மூன்று செவ்வகங்களின் பரப்பு

(5+4) (5+1) = (5×5) + (5×1) + (5×4) + (1×4)

(5+4) (5+1) = (5×5) + 5(1+4) + (1×4) ....(2) 

சமன்பாடு (2) இன் இடதுபக்கம் (5+1)(5+4) = 6×9 = 54 

வலதுபக்கம் 52 +5(1+4) + (1×4) = 25 + (5×5) + 4

= 25 + 25 + 4 = 54

ஆகவே, இடதுபக்கம் = வலதுபக்கம். 

எனவே, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இல் கொடுக்கப்பட்ட எல்லா மதிப்புகளும் உண்மை என அறிகிறோம். 

அந்த மூன்று மதிப்புகளை 'x', 'a' மற்றும் ‘b’ எனக்கொண்டு இவற்றை பொதுமைப்படுத்தும்போது, 

நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது, (x+a)(x+b)=(x × x)+x(a+b)+(a×b) 

அதாவது, (x+a)(x+b)=x2+x(a+b)+ab

எனவே, (x+a)(x+b)=x2+x(a+b)+ab என்பது ஒரு முற்றொருமையாகும். 

இப்போது, இந்த முற்றொருமைக்கு வடிவக் கணித முறையில் நிரூபணம் காண்போம்.

செவ்வகத்தின் ஒரு பக்கம் (x+a) எனில், மற்றொரு பக்கம் (x+b) என்க.

செவ்வகம் ABCD இன் பரப்பு = நீளம் × அகலம் =(x+a)(x+b) ... (3)

படம் 3.10 இலிருந்து பின்வரும் சமன்பாட்டை அறியலாம். 

செவ்வகம் ABCD இன் பரப்பு = சதுரம் AFIE இன் பரப்பளவு (சாம்பல்) + செவ்வகம் FBGI இன் பரப்பளவு (மஞ்சள்) + செவ்வகம் EIHD இன் பரப்பளவு (சிவப்பு) + செவ்வகம் IGCH இன் பரப்பளவு (நீலம்) 

= x2+ ax + bx + ab

= x2 + x(a+b) + ab ....(4) 

(3), (4) இலிருந்து (x+a) (x+b) = x2 + x(a+b) + ab 

எனவே, (x+a) (x+b)=x2 + x (a+b) + ab என்பது ஒரு முற்றொருமையாகும்.

குறிப்பு

(i) b=-b எனில், இந்த முற்றொருமை (x+a)(x +(-b))=x2+x(a+(-b))+a(-b)

(x+a)(x-b) = x2 + x(a - b) - ab 

(ii) a=-a எனில், இந்த முற்றொருமை (x +(-a))(x+b)=x2+x((-a)+b)+(-a)b

(x-a)(x+b) = x2+x(b-a)-ab 

(iii) a=-a மற்றும் b=-b எனில் இந்த முற்றொருமை 

(x+(-a))(x+(-b)) = x2 + x ((-a)+(-b))+(-a)(-b)

(x - a)(x - b) = x2 - x(a+b) + ab

எடுத்துக்காட்டு 3.1  

(x+a)(x+b) = x2 + x (a+b) + ab 

என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.

(i) (x + 3)(x + 5)

(ii) (y + 8)(y + 6) 

(iii) 43 × 36

தீர்வு

(i) (x + 3)(x + 5) 

படம் 3.11  இல் உள்ளவாறு கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் குறிப்போம்.

இந்தச் செவ்வகத்தின் நீளம் (x+5) மற்றும் அகலம் (x+3) ஆகும். மேலும், 

பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = சதுரத்தின் பரப்பளவு + 3 செவ்வகங்களின் பரப்பளவு 

எனவே, 

(x+3)(x +5) = x2 + 5x+3x +15

= x2 + (5+3)x +15

= x2 +8x+15. 

(ii) (y + 6)(y + 8)

கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் படம் 3.12 இல் உள்ளவாறு குறிப்போம்.

இந்தச் செவ்வகத்தின் நீளம் (y+6) அலகுகள் மற்றும் அகலம் (y+8) அலகுகள் ஆகும். எனவே, 

பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = சதுரத்தின் பரப்பளவு + மூன்று செவ்வகங்களின் பரப்பளவு 

ஆகவே,

(y+6)(y+8)= y2+6y +8y + 48

(y+6) (y+8)= y2+(6+8)y + 48

= y2+14y+ 48 

(iii) 43×36= (40+3) × (40 - 4)

என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்துவோம். 

(x+a)(x+b)= x2+x(a+b)+ab

இங்கு x = 40, a=3 மற்றும் b= -4, ஆகவே, நமக்குக் கிடைப்பது 

(40+ 3) (40 - 4) = 402 + 40 (3-4)+3(-4)

=1600 + 40(-1)-12 

= 1600 – 40-12

=1600 – 52

எனவே , 43×36=1548 .

2. முற்றொருமை 2: (a + b)2 =a2 + 2ab + b2

நான்கு பகுதிகளைக் கருதுக. 3 × 3 (சாம்பல்) மற்றும் 2 × 2 (நீலம்) பக்க அளவுகள் கொண்ட இரு சதுரவடிவ பகுதிகள். மேலும், 3 × 2 (மஞ்சள்) பக்க அளவுகள் கொண்ட இரு செவ்வக வடிவப் பகுதிகள் ஆகும். 

இவற்றைப் படம் 3.11 இல் உள்ளவாறு அடுக்குக.

படம் 3.13 இலிருந்து பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு = இரு சிறிய சதுரங்களின் பரப்பளவு + இரு செவ்வகங்களின் பரப்பளவு

(3+2)2 = 32 + (2×3)+(3×2) + 22 = 32 + (3×2)+(3×2) +22  [2×3 = 3×2 என்பதால்]

எனவே, (3+2)2 = 32 + 2 × (3×2) +22 

இங்கு, இடதுபக்கம் (3+2)2 = 52 = 25 ....(1) 

வலதுபக்கம் 32 + 2 × (3×2)+22 =9+12+4 = 25     ... (2)

எனவே (1), (2) இலிருந்து இடதுபக்கம் = வலதுபக்கம். 

இதனை a மற்றும் b ஆகிய மாறிகளுக்கு நிறுவ முயற்சிப்போம். 

பக்கம் (a+b) அலகுகள் உடைய ஒரு சதுரம் ABCD என்க. இதன் பரப்பு (a+b)(a+b)=(a+b)2 

படம். 3.14 ஐ உற்று நோக்கும்போது, 

பெரிய சதுரம் ABCD இன் பரப்பளவு = இரு சிறிய சதுரங்களின் பரப்பளவு (சாம்பல் மற்றும் நீலம்) + இரு செவ்வகங்களின் பரப்பளவு (மஞ்சள்). 

ஆகவே, (a+b)2 = a2 + ba + ab + b2

= a2 + ab + ab + b2 (ஏனெனில், ba = ab ) 

எனவே  (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 என்பதால் நிறுவப்பட்டது.

குறிப்பு 

(x+a)(x+b) =x2 + x(a+b) + ab என்னும் முற்றொருமையில் b = a எனப் பிரதியிட 

(x+a)(x+a) = x2 + x(a+a)+a×a

(x+a)2=x2 + x(2a)+a2 

(x+a)2 = x2 + 2ax + a2 இது(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 

என்னும் முற்றொருமையைப் போலிருக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.2    

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றை விவரித்து எழுது. (i) (2x + 5)2   (ii) 212

தீர்வு

(i) (2x +5)2 

2x + 5 அலகுகளைப் பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தைக் கருதுக. ஆகவே, அதன் பரப்பளவு = (2x + 5)2 

படம் 3.15 இலிருந்து, கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோவையின் வடிவக் கணித முறை, 

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு  = இரு சிறிய சதுரங்களின் பரப்பளவு + இரு செவ்வகங்களின் பரப்பளவு 

(2x+5)2 = 4x2 + 25+10x +10x

= 4x2 + (10+10)x +25 (ஒத்த உறுப்புகளின் கூடுதல்) 

= 4x2 + 20x +25. 

(ii) 212 

சதுரத்தின் பக்கம் 21 எனில், அதன் பரப்பளவு 212 ச.அலகுகள் ஆகும். 

இப்போது, 212 என்பதனை (20+1)2 எனக் கருதுவது,  படம் 3.16 இன் படி கிடைக்கும் வடிவக் கணித குறியீடாகும்.

எனவே,

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு = இரு சிறிய சதுரங்களின் பரப்பளவு + இரு செவ்வகங்களின் பரப்பளவு

212 = 400+1+20+20=441.

மாற்று முறை 

(a+b)2 =(a+b)(a+b)

= a2 + 2ab + b2 என்னும் முற்றொருமையை நாம் அறிவோம். 

212 இன் மதிப்பைக் காண, 

212 = (20+1)2 எனக் கொள்வோம்.

= (20+1)(20+1)  

இங்கு, a = 20 மற்றும் b = 1. எனவே,

a2 + 2ab + b2 = 202 +2×20×1+12

 = 400+40 +1 = 441 .

3. முற்றொருமை 3: (a - b)2 = a2 – 2ab + b2 

முற்றொருமை 2 இல் b = -b எனப் பிரதியிட நமக்குப் புதிய முற்றொருமையானது கிடைக்கிறது. அதாவது, 

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 

b = -b எனில், முற்றொருமை 2 இல் [a+(-b)]2 = a2 + 2a(-b)+(-b)2

(a-b)2 = a2 - 2ab + (-b)(-b)

எனவே, (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 

b இன் குறியை மாற்றும்போது 2ab இன் குறியில் மட்டுமே மாற்றம் நிகழ்வதைக் கவனத்தில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.3   

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றை விவரித்து எழுதுக.

(i) (3x - 5y)2 (ii) 472

தீர்வு

(i) (3x - 5y)2

a = 3x மற்றும் b = 5y என்பதை முற்றொருமை (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 இல் பிரதியிட 

(3x - 5y)2 = (3x)2 – 2×(3x) × (5y)+(5y)2

= 32 × x2 - (2×3×5)xy + (52 × y2) 

= 9x2 – 30xy + 25y2

(ii) 472 = (50- 3)2

a= 50 மற்றும் b = 3 என்பதை 

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 இல் பிரதியிட 

(50 - 3)2 = 502 - 2×50×3 + 32

= 2500 - 300 + 9 

= 2509 - 300 = 2209.

4. முற்றொருமை 4: (a + b)(a - b)= a2-b2

கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், AB = AD = a அலகுகள். 

எனவே, சதுரம் ABCD இன் பரப்பளவு = a2 ச. அ. 

மேலும், SB = DP = b. 

எனவே, செவ்வகம் SBCT இன் பரப்பளவு = ab. 

இதேபோல், செவ்வகம் DPRC இன் பரப்பளவு = ab. 

மேலும், சதுரம் TQRC இன் பரப்பளவு = b2. 

எனவே, செவ்வகம் DPQT இன் பரப்பளவு = ab – b2. 

இப்போது, AS = PQ = (a - b) மற்றும் AP = SQ = (a + b).

எனவே, செவ்வகம் APQS இன் பரப்பளவு (நிழலிட்ட பகுதி) =  சதுரம் ABCD இன் பரப்பளவு – செவ்வகம் STCB இன் பரப்பளவு + செவ்வகம் DPQT இன் பரப்பளவு 

= a2-ab + (ab-b2) 

= a2-ab + ab – b2 

= a2 – b2

எனவே, (a + b) (a - b) = a2 - b2 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.4  

(a+b)(a-b) = a2 – b2 என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குக.

(i) (3x + 4)(3x - 4) (ii) 53 × 47. 

தீர்வு

(i) (3x + 4)(3x - 4) 

a = 3x மற்றும் b = 4 என (a+b) × (a-b) =a2 – b2 என்னும் முற்றொருமையில் பிரதியிட, 

(3x + 4)(3x - 4) = (3x)2 - 42

(32 × x2)-16=9x2 -16. 

(ii) 53 × 47 = (50 + 3) × (50 - 3).

இங்கு, a = 50 மற்றும் b = 3 என்ற மதிப்புகளை முற்றொருமை 

(a + b)(a - b) = a2 – b2 இல் பிரதியிட நமக்கு பின்வரும் மதிப்பு கிடைக்கிறது.

= 502 - 32

= 2500 – 9 = 27491.

இவற்றை முயல்க

48 மீ பக்க அளவுள்ள ஒரு சதுர வடிவ நெல் வயலைக் கருதுக. அதனைச் சுற்றிச் சீரான அகலத்தில் வரப்பு (நடைபாதை) அமைந்துள்ளது. அதன் வெளிப்புறச் சதுரத்தின் பக்க அளவு 52 மீ. அந்த வரப்பின் பரப்பை இயற்கணித முற்றொருமையின் உதவியுடன் காண இயலுமா?

தீர்வு :

Let a = 52

b = 4

(a–b)2 = a2 – 2ab + b2

 = 522 – 2 (52) (4) + 42

 = 2704 – 416 + 16 = 2304