அடுக்கு எண்களில் உள்ள ஒன்றாம் இலக்கம் (Unit Digit of Numbers in Exponential Form)

அடுக்கு எண்களில் உள்ள ஒன்றாம் இலக்கம் (Unit Digit of Numbers in Exponential Form)

அடுக்கு எண்களின் அமைப்பை ஆராய்வது மிக வேடிக்கையானதும், மகிழ்ச்சி தரக்கூடியதும் ஆகும்.

93 = 9 × 9 × 9 = 729 என்று அறிவோம். எனவே, 93 என்னும் அடுக்கு எண்ணின் விரிவின் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 ஆகும். இதுபோலவே, 44 என்பது 4 × 4 × 4 × 4 = 256 .எனவே, 44 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகும்.

இதுபோல 230116 , 18147 , 554 , 5620, 929 ஆகிய எண்களின் விரிவின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கணிக்க முடியுமா?

இந்த எண்களை விரிவுபடுத்தி, அதன் ஒன்றாம் இலக்க எண்ணைக் காண்பது மிகக் கடினம். ஆனால், அடுக்கு எண்களின் அமைப்பை உற்றுநோக்குவதன் மூலம் அதன் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கணிக்கலாம்.

பின்வரும் எண் அமைப்பைக் கவனிக்கவும்.

103 = 10 ×10 ×10 = 1000

104 = 10 ×10 ×10 ×10 = 10000

105 = 10 ×10 ×10 ×10 ×10 = 100000

ஆகவே, எண் 10 உடன் எத்தனை முறை 10ஐப் பெருக்கினாலும் கிடைக்கும் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் 0 ஆக உள்ளது. அதாவது 10 இன் அடுக்கு எதுவாக இருப்பினும் அதன் ஒன்றாம் இலக்கம் 0 ஆகவே உள்ளது. x என்பது மிகை முழுக்கள் எனும்போது, 10x எனும் அடுக்கு எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் எப்போது 0 ஆகும்.

இந்த அமைப்பு அடிமானம் பத்தின் மடங்காக இருக்கும்போது உண்மை ஆகும். 402 ஐக் கருதுக.

402 = (4 ×10)2 = 42 ×102

      =16 ×100 = 1600

இதேபோல், 230116 = (23 ×10)116 = 23116 ×10116

எனவே, 230116 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 0 ஆகும்.

இப்போது,

15 =1×1×1×1×1=1

16 =1×1×1×1×1×1=1

11 என்ற எண்ணை 10+1 என்று எழுதுவோம். 

எனவே, ( 10 +1)2 =112 =11×11 = 121

இதேபோல்,  131=130 +1= (13×10)+1

[ (13 ×10) +1 ]2 = 1312 = 131 ×131 = 17161

இதிலிருந்து, 1x அல்லது [(10இன் மடங்கு)+1]x என்ற அமைப்பிலுள்ள அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கம் எப்போதும் 1 ஆகவே உள்ளது. இங்கு x என்பது மிகை முழுக்கள்.

ஆகவே 18147 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 1 ஆகும்.

இதேபோல், பின்வரும் அமைப்புகளை (pattern) உற்றுநோக்கினால், 5 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கம் 5 ஆகவும் மற்றும் 6 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகவும் இருக்கும் என முடிவுக்கு வரலாம்.

51=5

52 =5×5=25

53 =25×5=125

61=6

62 =6×6=36

63 =36×6=216

எனவே, 554 = ( 50 + 5)4   என்னும் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் 5 ஆகும். 5620 = ( 50 + 6)20 என்னும் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.11

பின்வரும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கம் காண்க.

(i) 2523

(ii) 81100

(iii) 4631 

தீர்வு 

(i) 2523 இன் அடிமானம் 25 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 5 மற்றும் இதன் அடுக்கு 23. எனவே, 2523 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 5 ஆகும்.

(ii) 81100  இன் அடிமானம் 81 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 1.

இதன் அடுக்கு 100 (மிகை முழுக்கள்).

எனவே 81100 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 1 ஆகும். 

(iii) 4631 இன் அடிமானம் 46 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6. இதன் அடுக்கு 31 (மிகை முழுக்கள்). எனவே, 4631 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகும்.

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) 10621

(ii) 258

(iii)3118

(iv)2010

i) 10621

10621 இன் ஒன்றாம் இலக்கம்  6 ஆகும். 

ii) 258

258 இன் ஒன்றாம் இலக்கம்  5 ஆகும்.

iii) 3118

3118 இன் ஒன்றாம் இலக்கம்  1ஆகும்.

iv) 2010

 2010 இன் ஒன்றாம் இலக்கம்  0 ஆகும்.

அடிமானம் 4 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் அமைப்பைப் புரிந்து கொள்ளப் பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனிக்கவும். 

41 = 4 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு )

42 = 4×4 =16 (இரட்டைப்படை அடுக்கு) 

43= 4×4×4=16×4 = 64 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு) 

44 = 64 × 4 = 256  (இரட்டைப்படை அடுக்கு) 

45 = 256×4=1024 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு) 

46 = 1024×4 = 4096 (இரட்டைப்படை அடுக்கு)

மேற்கூறியவற்றில் இருந்து, அடிமானம் 4 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் விரிவின் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 அல்லது 6 ஆக உள்ளது. மேலும், கூர்ந்து நோக்கினால், அடுக்கு ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்போது அதன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 ஆகவும், அடுக்கு இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்போது அதன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகவும் உள்ளது.

இதேபோல், அடிமானத்தின் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 ஆக இருக்கும்போது, 

91 = 9 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு) 

92 = 9×9 = 81 (இரட்டைப்படை அடுக்கு) 

93 = 9×9×9 = 81×9=729 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு) 

94 = 729×9 = 6561 (இரட்டைப்படை அடுக்கு) 

95 = 6561×9 = 59049 (ஒற்றைப்படை அடுக்கு) 

96 = 59049×9 = 531441 (இரட்டைப்படை அடுக்கு)

அடிமானம் 9 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கமானது, அடுக்கு ஒற்றைப் படையாக இருக்கும்போது 9 ஆகவும், இரட்டைப்படையாக இருக்கும்போது, 1 ஆகவும் இருக்கும்.

நாம் ஏற்கனவே பார்த்ததுபோல, அடுக்கு எண்ணின் அடிமானம் [(10இன் மடங்கு)+4] அல்லது [(10இன் மடங்கு)+9] என்னும் வடிவில் இருக்கும்போது, இந்த விதி பொருந்தும்.

உதாரணமாக, 2412 இன் அடிமானம் 24 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 மற்றும் அதன் அடுக்கு 12 (இரட்டைப்படை எண்)

எனவே, 2412 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகும்.

இதேபோல், 8921 ஐக் கருதுக. 8921 இன் அடிமானம் 89 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 மற்றும் அதன் அடுக்கு 21 (ஒற்றைப்படை எண்).

எனவே, 8921 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 ஆகும்.

அடிமானம் 4 இல் முடியும் அடுக்கு எண்களின் விரிவின் ஒன்றாம் இலக்கமானது அடுக்கு ஒற்றைப்படையாக இருக்கும்போது 4 ஆகவும், இரட்டைப்படை எண்ணாக இருக்கும்போது 6 ஆகவும் இருக்கும் என்ற முடிவினைப் பெறலாம்.

இங்கு, 4 மற்றும் 6 ஆகிய எண் இணைகளும், 9 மற்றும் 1 ஆகிய எண் இணைகளும், 10இன் நிரப்பிகளாக உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.12 

பின்வரும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் காண்க. 

(i) 47

(ii) 6410

தீர்வு 

(i) 47

அடிமானம் 4 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 மற்றும்

அடுக்கு 7 (ஒற்றைப்படை எண்)

எனவே, 47 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 ஆகும்.

(ii)  6410

அடிமானம் 64 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 மற்றும் அடுக்கு 10 (இரட்டைப்படை எண்) எனவே, 6410 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 6 ஆகும்.

இவற்றை முயல்க 

பின்வரும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்கவும். 

(i) 6411

(ii) 2918

(iii) 7919

(iv) 10432

(i) 6411

(i) 6411

அடுக்கு  11 (ஒற்றைப்படை எண்) எனவே ஒன்றாம் இலக்கம்  4.

(ii) 2918

அடுக்கு  18 (இரட்டைப்படை எண்) எனவே ஒன்றாம் இலக்கம்1.

(iii) 7919

அடுக்கு 19 (ஒற்றைப்படை எண்) எனவே ஒன்றாம் இலக்கம்9.

(iv) 10432

அடுக்கு 32 (இரட்டைப்படை எண்) எனவே ஒன்றாம் இலக்கம் 6.

எடுத்துக்காட்டு 3.13 

பின்வரும் அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் காண்க.

(i)912

(ii) 4917 

தீர்வு

(i) 912

அடிமானம் 9 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 மற்றும் அடுக்கு 12 (இரட்டைப்படை எண்)

எனவே, 912 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 1 ஆகும். 

(ii) 4917

அடிமானம் 49 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 மற்றும் அடுக்கு 17 (ஒற்றைப்படை எண்)

எனவே, 4917 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 9 ஆகும். 

எண் 2, 3, 7 மற்றும் 8 இல் முடியும் அடிமானத்தை உடைய அடுக்கு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் செயல்பாடானது உதவிகரமாக இருக்கும்.

செயல்பாடு

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையைக் கவனிக்க. முதல் நிரலில் உள்ள எண்களான 2,3,7,8 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட அடுக்கு எண்களின் அடிமானத்தில் உள்ள ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் குறிக்கின்றன. முதல் நிரையில் உள்ள எண்களான 1,2,3 மற்றும் 0 ஆனது அடுக்கை 4 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் குறிக்கின்றன.

உதாரணமாக, 26 ஐக் கருதுக. இதில் அடிமானம் 2 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 2 மற்றும் அடுக்கு 6 ஆகும். அடுக்கு 6 ஐ 4 ஆல் வகுக்க மீதி 2 கிடைக்கும். மேலே உள்ள அட்டவணையில், மதிப்பு 4 ஐ 2 (நிரல்) மற்றும் 2 (நிரை) இக்கு தொடர்புடைய எண்ணாகக் காண முடிகிறது. எனவே, 26 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 4 ஆகும். சரிபாக்க, 26 = 2×2×2×2×2×2 = 64 . 

இதேபோல, 11720 ஐக் கருதுக. அடிமானம் 117 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 7 மற்றும் அடுக்கு 20 ஆகும். அடுக்கு 20ஐ 4 ஆல் வகுக்க மீதி 0 கிடைக்கிறது. 

மேலே உள்ள அட்டவணையில், 7 மற்றும் 0-ற்கான தொடர்புடைய எண்ணாக 1 ஐக் காண முடிகிறது. எனவே 11720 இன் ஒன்றாம் இலக்கம் 1 ஆகும். 

தற்பொழுது, இச்செயல்பாட்டினைத் தொடர்ந்துகொண்டே சென்றால், 2, 3, 7 அல்லது 8 இல் முடிவடையும் அடிமானத்தைக் கொண்ட எந்த அடுக்குக் குறியீட்டு எண்களின் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் காண முடியும்.