நியூட்டன் விதிகளின் பயன்பாடு

நியூட்டன் விதிகளின் பயன்பாடு 

தனித்த பொருளின் விசைப்படம் (Free Body Dragram) 

தனித்த பொருளின் விசைப்படம் என்பது நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தி பொருளின் இயக்கத்தினை பகுத்தறியப் பயன்படும் ஒரு எளிய முறையாகும். தனித்த பொருளின் விசைப்படத்தை உருவாக்கும் போது கீழ்கண்ட நெறிமுறைகளை வரிசைப்படி பின்பற்ற வேண்டும். அவை 

1. பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிய வேண்டும். 

2. பொருளை ஒரு புள்ளியாகக் குறிப்பிட வேண்டும். 

3. பொருள் மீது செயல்படும் விசைகளைக் குறிப்பிடும் வெக்டர்களை வரைய வேண்டும். 

தனித்த விசைப்படம் வரையும்போது பொருட்கள் ஏற்படுத்தும் விசைகளை படத்தில் குறிப்பிட்டுக் காட்டக்கூடாது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.1 

m நிறையுள்ள புத்தகம் ஒன்று மேசை ஒன்றின் மீது ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. 

1.  புத்தகத்தின் மீது செயல்படும் விசைகள் யாவை? 

2.  புத்தகம் செலுத்தும் விசைகள் யாவை? 

3.  புத்தகத்தின் விசைப்படத்தை வரைக. 

தீர்வு 

1)  புத்தகத்தின் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன. அவை 

i.  கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவிஈர்ப்பு விசை (mg). 

ii. புத்தகத்தின் மீது மேசையின் பரப்பு ஏற்படுததும் செங்குத்து விசை (N). இது மேல் நோக்கியத்திசையில் செயல்படும்.

2)  நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, புத்தகம் இரண்டு எதிர்விசைகளைத் தருகிறது. 

i. புவியீர்ப்பு விசை (mg) க்கு எதிராக புத்தகம் புவியின்மீது செலுத்தும் விசை. இது மேல்நோக்கிச் செயல்படும். 

ii.  மேசையின் பரப்புமீது, செங்குத்து விசை (N) க்கு எதிராக புத்தகம் செலுத்தும் விசை. இவ்விசை கீழ்நோக்கி செயல்படும். 

3.  புத்தகத்தின் தனித்த பொருள் விசைப்படம் மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியை இங்கு நாம் பயன்படுத்தும்போது கவனத்தில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய அம்சம் என்னவெனில், புவி, புத்தகத்தின் மீது செலுத்தும் கீழ்நோக்கிய புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் இதற்குச் சமமாக புத்தகத்தின் மீது மேசை செலுத்தும் எதிர்விசை இவைகள் இரண்டும் ஒன்றை ஒன்று சமன் செய்து கொள்வதால்தான் புத்தகம் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது என்று தவறாகப் புரிந்து கொள்ளக் கூடாது. ஏனெனில் விசை (action) மற்றும் எதிர்விசை (reaction) இரண்டும் ஒரே பொருளின் மீது எப்பொழுதும் செயல்படாது.

எடுத்துக்காட்டு 3.2 

2.5 kg மற்றும் 100 kg நிறையுடைய இரண்டு பொருள்களின் மீதும் 5 N விசை செயல்படுகிறது. ஒவ்வொரு பொருளின் முடுக்கத்தைக் காண்க. 

தீர்வு 

நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி (எண்மதிப்பு அளவில்) F = ma 

2.5 kg நிறையுடைய பொருள் பெறும் முடுக்கம் 

ஆப்பிள், மரத்திலிருந்து கீழே விழும் போது அது புவி ஈர்ப்பு விசையை உணரும். நியூட்டனின் மூன்றாவது விதிப்படி ஆப்பிளும் இதற்குச் சமமான எதிர்விசையை புவியின் மீது செலுத்தும். இவ்விரண்டு விசைகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருப்பினும் அவைகள் பெரும் முடுக்கம் வெவ்வேறானவை. 

புவியின் நிறை, ஆப்பிளின் நிறையுடன் ஒப்பிடும்போது மிகவும் அதிகம். எனவே, ஆப்பிள் மிக அதிக முடுக்கத்தைப் பெறுகிறது. ஆனால் புவி மிகவும் குறைவான புறக்கணிக்கதக்க முடுக்கத்தையே பெறுகிறது. எனவேதான் ஆப்பிள் கீழே விழும் போது புவி ஓய்வு நிலையில் உள்ளது போன்று தோன்றுகிறது.

இரண்டு பொருள்களின் மீதும் ஒரே அளவுடைய விசை செயல்பட்ட போதிலும் அவைகள் பெற்ற முடுக்கம் வெவ்வேறானவை, ஏனெனில் முடுக்கம் நிறைக்கு எதிர்த்தகவில் இருக்கும். அதாவது, ஒரே அளவான விசைக்கு, கனமான பொருள் அடையும் முடுக்கம் குறைவாகவும், லேசான பொருள் அடையும் முடுக்கம் அதிகமாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.3 

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று விசைகளில் பெரும விசை எது? 

தீர்வு 

விசை ஒரு வெக்டர். ஒரு வெக்டரின் எண் மதிப்பு அதன் நீளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்களில்   ன் நீளம் அதிகம் எனவே வெக்டர் பெரும விசையாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.4 

400 g நிறை கொண்ட மாங்காய் ஒன்று மரத்தில் தொங்கிக் கொண்டிருக்கிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தி மாங்காயைத் தாங்கியுள்ள காம்பின் இழுவிசையைக் காண்க. 

தீர்வு

குறிப்பு: நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் கருத்துக்களை கவனமுடன் பின்பற்ற வேண்டும். 

1.  பொருத்தமான நிலைமக்குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும். பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக்குறிப்பாயமாகக் கருதலாம். 

2.  நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம். 

3.  பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும். பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும். இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மற்றும் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல்பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.

4.  முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம். அதே போல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம். 

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துக்களின்படி படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

மாங்காயின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன. 

i.  மாங்காயின் மீது எதிர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை, நேர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் செயல்படும் மாங்காயைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, மாங்காயின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை. மாங்காயின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் என்பது எதிர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகுவெக்டர்.

எடுத்துக்காட்டு 3.5 

இருசக்கர வாகனங்களில் தனித்தனியே பயணம் செய்யும் இருவரில், ஒருவர் தரையைப் பொருத்து மாறா திசைவேகத்தில் பயணம் செய்கிறார். மற்றொருவர் தரையை பொருத்து என்ற முடுக்கத்துடன் பயணம் செய்கிறார். இவ்விரண்டு பயணிகளில் எந்தப் பயணி நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்? 

தீர்வு: 

தரையைப் பொருத்து என்ற முடுக்கத்துடன் பயணம் செய்யும் நபர் நியூட்டன் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த முடியாது. ஏனெனில் அவர் நிலைமக்குறிப்பாயத்தில் இல்லை. நிலைமக்குறிப்பாயத்தில் உள்ள பொருள் தானாக முடுக்கமடையாது. தரையை பொருத்து என்ற மாறாத்திசை வேகத்துடன் பயணம் செய்யும் நபர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் ஏனெனில் அவர் தரையைப் பொறுத்து நிலைமக் குறிப்பாயத்தில் பயணிக்கிறார்.

எடுத்துக்காட்டு 3.6 

துகளொன்றின் நிலை வெக்டர் எந்த திசையில் இந்த துகள் நிகர விசையை உணர்கிறது? 

தீர்வு: 

இங்கு, நேர்குறி y அச்சுத்திசையில் மட்டுமே துகள் முடுக்கமடையும். நியூட்டன் இரண்டாம் விதிப்படி நிகர விசையின் திசையும் நேர்குறி y அச்சின் திசையிலேயே அமையும். மேலும் இத்துகள் நேர்குறி x அச்சுத்திசையில் மாறாத் திசைவேகத்தைப் பெற்றுள்ளது. ஆனால் z அச்சுத்திசையில் எவ்வித திசைவேகத்தையும் பெறவில்லை. எனவே, x அல்லது z திசையில் எந்த நிகர விசையும் செயல்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3.7 

நீட்சித்தன்மையற்ற மெல்லிய கயிறு ஒன்றில் கட்டி தொங்கவிடப்பட்ட ஊசல்குண்டு ஒன்றைக் கருதுக. அதன் அலைவுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 

a)  ஊசல் குண்டின் மீது செயல்படும் விசைகள் யாவை? 

b)  ஊசல்குண்டின் முடுக்கத்தினைக் காண்க.

தீர்வு: 

ஊசல் குண்டின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன அவை 

i. கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவி ஈர்ப்பு விசை (mg) 

ii.  குண்டின் மீது நூல் செலுத்தும் இழுவிசை (T). 

இந்த இழுவிசையின் திசையை ஊசல்குண்டின் நிலை (position) தீர்மானிக்கிறது. அது பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு ஊசல்குண்டு ஒரு வட்டவில் பாதையில் இயங்குகிறது. எனவே இது ஒரு மைய நோக்கு முடுக்கத்தைப் பெறும். ஊசல் குண்டு A மற்றும் C புள்ளிகளில் கண நேர ஓய்வில் இருந்து, பின்னர் B புள்ளியை நோக்கிச் செல்லும்போது அதன் திசைவேகம் அதிகரிக்கும். எனவே, ஊசல்குண்டு வட்டவில் பாதையில் ஒரு தொடு கோட்டு முடுக்கத்தைப் பெறும். கீழே உள்ள படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு புவியீர்ப்பு விசையை (mg cosθ, mg sinθ) என இருகூறுகளாகப் பிரிக்கலாம்.

ஊசல்குண்டு, நிகர விசையின் திசையில் இயங்கவில்லை என்பதை இங்கு கவனிக்கவும். A மற்றும் C புள்ளிகளில் இழுவிசை T = mg cosθ, மற்ற அனைத்து புள்ளிகளிலும் இழுவிசை T ஆனது mg cosθ வை விட அதிகம். ஏனெனில், ஊசல்குண்டு சுழியற்ற மைய நோக்கு முடுக்கத்தை பெற்றுள்ளது. புள்ளி B யில், நிகர விசை நூலின் வழியாக மேல் நோக்கிச் செயல்படுகிறது. இந்த ஊசல் குண்டின் இயக்கத்தினை சீரற்ற வட்ட இயக்கத்திற்கு உதாரணமாகக் கருதலாம். ஏனெனில் ஊசல்குண்டு மைய நோக்கு முடுக்கம் மற்றும் தொடுகோட்டு முடுக்கம் இரண்டையும் பெற்றுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 3.8. 

தளம் ஒன்றில் இயங்கும் துகளின் திசைவேகம் பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. துகள் மீது செயல்படும் விசையின் திசையைக் காண்க.

தீர்வு: 

துகளின் திசைவேகம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போன்று துகள் x y தளத்தில் இயங்குகிறது. z அச்சில் எவ்வித இயக்கமும் இல்லை. எனவே vz = 0. 

திசைவேகத்தின் x கூறு vx மற்றும் y கூறு vy என்க. t = 0 வினாடியிலிருந்து t = 3 வினாடிவரை உள்ள நேர இடைவெளியில் y அச்சுத்திசையில் வெக்டரின் நீளம் அதிகரிப்பதைக் காணலாம். எனவே y அச்சுத்திசையில் திசைவேகத்தின் கூறு (vy) நேரத்தைப் பொருத்து அதிகரிக்கிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி y அச்சுத்திசையில் துகள் ஒரு முடுக்கத்தினைப் பெறும். எனவே y அச்சுத்திசையில் துகளின் மீது ஒரு விசை செயல்படும். x அச்சுத்திசையில் வெக்டரின் நீளம் மாறாமதிப்பினைப் பெற்றுள்ளது. இதன்மூலம் துகள் x அச்சில் மாறாத் திசைவேகத்துடன் இயங்குவதைக் காட்டுகிறது. எனவே x அச்சில் நிகர விசை சுழியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.9 

புவிப்பரப்பில் ஓய்வு நிலையிலுள்ள பொருள் ஒன்றுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியினைப் பயன்படுத்தி அதன் மூலம் பெறப்படும் முடிவுகளை ஆராய்க. 

தீர்வு: 

நிலைமக்குறிப்பாயமாகக் கருதப்படும் புவியைப் பொருத்து பொருளொன்று ஓய்வு நிலையில் உள்ளது என்க. அப்பொருளின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன அவை,

(i)  எதிர்க்குறி y அச்சுதிசையில் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mg) 

(ii)  நேர்க்குறி y அச்சுதிசையில் செயல்படும் புவிப்பரப்பு பொருளின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய செங்குத்துவிசை (N). பொருளின் விசைப்படம் பின்வருமாறு.

மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அறிவது என்னவெனில், பொருள் ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது செங்குத்து விசையின் எண்மதிப்பும் புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.10 

2 kg நிறையுடைய பொருளின்மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 3.11 

படத்தில் காட்டியுள்ள A, B மற்றும் C என்ற கனச் செவ்வகத்துண்டுகளின் மீது செயல்படும் விசைகளை காண்க.

கனச்செவ்வகத்துண்டு A யின் மீது செயல்படும் விசைகள்: 

(i)  புவி ஏற்படுத்தும் கீழ்நோக்கிய ஈர்ப்பு விசை (mAg) 

(ii)  பொருள் B ஏற்படுத்தும் மேல் நோக்கிய செங்குத்து எதிர்விசை (NB) 

A யின் “தனித்த பொருளின் விசைப் படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

பொருள் B மீதான விசைகள்: 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mBg) 

(ii) கனச்செவ்வகத் துண்டு A ஏற்படுத்தும் கீழ்நோக்கிய விசை. (NA) 

(iii) கனச்செவ்வகத் துண்டு C ஏற்படுத்தும் மேல்நோக்கிய விசை (NC)

கனச்செவ்வகத் துண்டு C இன் மீது செயல்படும் விசை: 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mCg) 

(ii)  கனச்செவ்வகத் துண்டு B ஏற்படுத்தும் கீழ்நோக்கிய விசை (NB) 

(iii) மேசை ஏற்படுத்தும் மேல்நோக்கிய செங்குத்து விசை (Ntable)

எடுத்துக்காட்டு 3.12 

வண்டியில் கட்டப்பட்ட குதிரை ஒன்றைக் கருதுக. தொடக்கத்தில் அக்குதிரை ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. குதிரை முன் நோக்கி நடக்கத் தொடங்கும்போது, வண்டி முன்நோக்கி ஒரு முடுக்கத்தைப்பெறும். Fh என்ற விசையுடன் குதிரை, வண்டியை முன்நோக்கி இழுக்கும். அதேநேரத்தில் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி வண்டியும், அதற்கு சமமான எதிர்திசையில் செயல்படும் (Fc = Fh) என்ற விசையுடன் குதிரையைப் பின்னோக்கி இழுக்கும். எனவே குதிரை மற்றும் வண்டி என்ற தொகுப்பின் விசை சுழியாக இருப்பினும் ஏன் குதிரை மற்றும் வண்டி முடுக்கமடைந்து முன்நோக்கி செல்கின்றன? 

தீர்வு: 

இம்முரண் கூற்றுக்குக் காரணம் நியூட்டனின் இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் விதிகளை தவறாக பயன்படுத்துவதுதான். நியூட்டனின் விதிகளை பயன்படுத்துவதற்கு முன் அமைப்பினை (system) தீர்மானிக்க வேண்டும். 

இவ்வாறு அமைப்பினைக் கண்டறிந்த பின்னர் அவ்வமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் எளிதாகக் கண்டறியலாம். இங்கு அமைப்பு ஏற்படுத்தும் விசைகளைக் கருதக் கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அமைப்பின் மீது ஏதேனும் சமன் செய்யப்படாத விசைகள் செயல்பட்டால், அமைப்பு தொகுபயன் விசையின் திசையில் முடுக்கமடையும். பின்வரும் கருத்துக்களை வரிசைப்படி பின்பற்றி குதிரை மற்றும் வண்டியின் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். 

குதிரை மற்றும் வண்டி இவை இரண்டையும் ஒன்றாக ஒரு அமைப்பு (system) என்று கருதினால் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையையும், வண்டி குதிரையின் மீது செலுத்தும் எதிர்விசையையும் கருதக் கூடாது. மாறாக இந்த இரு விசைகளையும் அகவிசைகளாகக் கருத வேண்டும். மேலும் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி அகவிசைகளின் தொகுப்பயன் சுழி. அவை அமைப்பினை முடுக்கமடையச் செய்யாது. அமைப்பின் மீது ஏற்படும் முடுக்கம் புறவிசையால் மட்டுமே ஏற்படும். நாம் கருதும் இந்நிகழ்வில், சாலையானது அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசை புறவிசையாகும். 

அமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் கருதாமல் குதிரை மற்றும் வண்டியின் தொகுபயன்விசை சுழி என்று கருதுவது தவறாகும். சாலையானது, வண்டி - குதிரை அமைப்பை முன்னோக்கித் தள்ளுகிறது. வெளிப்புற விசை ஒன்று அமைப்பின் மீது செயல்படும் போது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியைப் பயன்படுத்தாமல் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பின்வரும் படம் இதனை விளக்குகிறது. 

குதிரையை அமைப்பு என்று கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன. 

(i)  கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mng) 

(ii)  சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை (Fr) 

(iii)  வண்டி, குதிரையின் மீது செலுத்தும் பின்னோக்கிய விசை (Fc) 

இவை பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. குதிரையின் மீது செயல்படும் விசைகள் சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசையை, கிடைத்தளக்கூறு மற்றும் செங்குத்துக் கூறு என இரண்டாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக்கூறு கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை சமன் செய்கிறது. முன்னோக்கிய திசையில் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறு பின்னோக்கிய விசை (Fc) ஐ விட அதிகம். எனவே முன்னோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை செயல்பட்டு குதிரையை முன்னோக்கி இயக்குகிறது.

வண்டியை அமைப்பாகக் கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன. 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mcg) 

(ii)  சாலை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை ( Fr') 

(iii)  குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (Fh) 

இது பின்வரும் படத்தில் குறிப்பிட்டு காட்டப்பட்டுள்ளது. 

சாலை வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையை (  ) இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக் கூறு, கீழ்நோக்கியீர்ப்பு விசையை (mcg) சமன் செய்யும். கிடைத்தளக்கூறு பின்னோக்கிச் செயல்படும். மேலும் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை ()  முன்னோக்கிச் செயல்படும்.

இது பின்னோக்கிச் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறைவிட அதிகம். எனவே, முன்நோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை கிடைக்கும். இதன் காரணமாக வண்டி முன்னோக்கி முடுக்கமடையும். 

குதிரை மற்றும் வண்டி இரண்டையும் ஒரு அமைப்பாகக் கருதினால், இவ்வமைப்பின் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படும். அவை பின்வருமாறு 

(i)  கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mh + mc)g 

(ii)  சாலை, அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசை (Fr) இவை, பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

(iii)  இந்நிகழ்வில், சாலை, அமைப்பின் மீது ஏற்படுத்தும் விசையை (Fr) இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம். 

(iv)  சாலை, அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசையின் சமன் செய்யப்படாத கிடைத்தளக்கூறு, குதிரை மற்றும் வண்டி அமைப்பு முன்னோக்கிச் செல்வதற்கு காரணமாக அமைகிறது. 

செங்குத்துக்கூறு புவியீர்ப்பு விசை (mh + mc)g யை சமன் செய்யும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.13 

y = ut – 1/2  gt2 என்ற சமன்பாடு துகள் ஒன்றின் நிலையைக் குறிக்கிறது. 

(a) அத்துகளின் மீது செயல்படும் விசை மற்றும் 

(b) அத்துகளின் உந்தத்தைக் காண்க. 

தீர்வு 

துகளின் மீது செயல்படும் விசையைக் காண அத்துகள் அடையும் முடுக்கத்தைக் கணக்கிட வேண்டும். 

விசை, எதிர்குறி y அச்சுத்திசையில் செயல்படுவதை எதிர்குறி காட்டுகிறது. மேலும் இதே விசைதான் எறிபொருள் ஒன்றின் மீது செயல்படும் விசையாகும்.

சாய்தளத்தில் இயங்கும் பொருளின் இயக்கம் 

m நிறையுடைய பொருள் ஒன்று, சாய் கோணம் θ கொண்ட உராய்வற்ற சாய்தளம் ஒன்றில் படம் 3.12 இல் காட்டியுள்ளவாறு சறுக்கிச் செல்கிறது என்க. அப்பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகள் பின்வருவனவற்றைத் தீர்மானிக்கின்றன. 

(a) பொருளின் முடுக்கம் 

(b) பொருள் தரையை அடையும்போது அதன் வேகம் 

பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகள் 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (mg)

(ii) சாய்தளத்திற்குச் செங்குத்தாகப் பொருளின்மீது செயல்படும் செங்குத்து விசை (N)

பொருளின் தனிப் பொருள் விசைப்படம் வரைய, அப்பொருளை ஒரு புள்ளிநிறையாகக் கருத வேண்டும். 

(படம் 3.13 (a)) இல் காட்டியுள்ளபடி இயக்கம் சாய்தளத்தில் நடைபெறுவதால் படம் 3.13 (b) இல் காட்டியவாறு சாய்தளத்திற்கு இணையாக உள்ள ஒரு ஆய அச்சு அமைப்பினை தேர்வு செய்ய வேண்டும். 

புவியீர்ப்பு விசை mg ஐ இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும் 

mg sinθ கூறு சாய்தளத்திற்கு இணையாகவும், mg cosθ கூறு சாய்தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் உள்நோக்கி செயல்படுகின்றன. (படம் 3.13 (b)). 

புவியீர்ப்பு விசை (mg) சாய்தளத்தின் கீழ்நோக்கிய செங்குத்துடன் ஏற்படுத்தும் கோணம், படம் 3.13 (c)) இல் காட்டப்பட்டுள்ள சாய் கோணம் (θ)விற்குச் சமம். 

y அச்சுத்திசையில் எவ்விதமான இயக்கமும் முடுக்கமும் இல்லை. 

y அச்சுத்திசையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால்

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள கூறுகளை ஒப்பிடும் போது N − mg cosθ = 0

சாய்தளப்பரப்பு ஏற்படுத்தும் செங்குத்து விசையின் (N) எண்மதிப்பு mg cosθ விற்குச் சமம்.

பொருள் x அச்சுத்திசையில் a முடுக்கத்துடன் சறுக்கிச் செல்கிறது. எனவே x அச்சுத்திசையில் நியுட்டன் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்தினால்

இங்கு பொருளின் முடுக்கம், சாய்கோணம் θ வைச் சார்ந்தது என்பதை கவனிக்க வேண்டும். சாய்கோணம் θ = 90° எனில் பொருள் (a = g) என்ற முடுக்கத்துடன் செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி வரும். 

பொருள் தரையை அடையும்போது அதன் வேகத்தை நியூட்டனின் இயக்கச் சமன்பாடுகள் கொண்டு அறியலாம். இயக்கம் முழுமைக்கும் முடுக்கம் ஒரு மாறிலி ஆகும்.

முடுக்கம் a = gsin θ க்குச் சமம். பொருள் ஓய்வு நிலையிலிருந்து நகரத்துவங்கும்போது ஆரம்பத் திசைவேகம் u சுழியாகும். மேலும் சாய்தளத்தின் நீளம் இங்கு s ஆகும்.

சமன்பாடு (3.3) லிருந்து தரையை அடையும் போது பொருளின் வேகம் (v)

இங்கு நாம் சாய்தளத்திற்கு இணையாக ஆய அச்சுத் தொகுப்பினை தேர்வு செய்தோம். மாறாக சமதளப்பரப்பிற்கு இணையாக ஆயக் கூறுகளை தேர்வு செய்தாலும் இதே முடிவுகள் தான் கிடைக்கும். இருப்பினும் கணிதமுறை சற்றே கடினமாக இருக்கும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வினாவிற்கு ஏற்ப ஆயக்கூறுகளை தேர்வு செய்வது சாலச்சிறந்ததாகும்.

சமதளப்பரப்பில் ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக் கொண்டிருக்கும் இரண்டு பொருட்கள்: 

m1 மற்றும் m2 நிறை கொண்ட இரண்டு கனச் செவ்வகத்துண்டுகளைக் கருதுக (m1 > m2) அவை இரண்டும் உராய்வற்ற, வழுவழுப்பான சமதளப்பரப்பில் ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக்கொண்டு உள்ளன. (படம் 3.14 (a)) 

F என்ற கிடைத்தள விசையைச் செலுத்தும்போது இவ்விரண்டு துண்டுகளும் a என்ற முடுக்கத்துடன் விசையின் திசையிலேயே இயங்குகின்றன.

முடுக்கம்   ஐ கண்டறிய நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். 

(கூட்டு நிறை m = m1 + m2)

இரு நிறைகள் கொண்ட இவ்வமைப்பு நேர்க்குறி x அச்சு திசையில் இயங்கினால் சமன்பாட்டினை வெக்டர் கூறு வடிவில் எழுதலாம். என்ற சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிட F = ma என கிடைக்கும். 

இங்கு m = m1 + m2 ஆகும்.

நிறை m1 தனது இயக்கத்தின் காரணமாக, நிறை m2 வின் மீது செலுத்தும் விசை தொடு விசை (contact force) எனப்படும். நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, நிறை m2 நிறை m1 மீது இதற்குச் சமமான எதிர்திசையில் அமைந்த ஒரு எதிர்விசையை   செலுத்தும். 

m1 நிறைக்கான விசைப்படம் படம் 3.14 (b) ல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது

சமன்பாடு (3.7) லிருந்து f12 வின் எண்மதிப்பு எதிர்விசையை ஏற்படுத்தும் நிறை m2 வை சார்ந்திருப்பதை அறியலாம். இங்கு விசை எதிர்குறி x - அச்சுத்திசையில் செயல்ப டுவதை நினைவில் கொள்ளவும். m1 மீது செயல்படும் எதிர்விசை வெக்டர் குறியீட்டின்படி

நிறை m2 வைப் பொருத்த வரை x அச்சுத்திசையில் அதன்மீது m1 நிறை ஏற்படுத்தும் ஒரே ஒரு விசை மட்டுமே கிடைத்தளத்திசையில் செயல்படுகிறது. 3.14 (c) ல் நிறை m2 வின் விசைப்படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. நிறை m2 விற்கு நியூட்டன் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால் f21iˆ = m2aiˆ

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது

சமன்பாடு (3.5) லிருந்து முடுக்கத்தினை (3.8) ல் பிரதியிடும்போது

எனவே, தொடுவிசையின் எண் மதிப்பு 

இது நேர்க்குறி x அச்சுத்திசையில் செயல்படும் 

வெக்டர் குறியீட்டின்படி நிறை m1, நிறை m2 மீது செலுத்தும் விசை

இங்கு என்பதைக் கவனிக்க. இது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

ஒன்றுடன் ஒன்று பிணைக்கப்பட்ட பொருட்களின் இயக்கம் 

நீட்சித் தன்மையற்ற மெல்லிய கயிறு ஒன்றில் பிணைக்கப்பட்ட பொருட்களின் மீது, செங்குத்து அல்லது கிடைத்தளமாக அல்லது சாய்தளத்தில் விசை F ஒன்றை செலுத்தும் போது, அது மெல்லிய கயிற்றில் ஒரு இழு விசையை ஏற்படுத்தும், இதன் விளைவாக முடுக்கத்தில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க மாற்றம் ஏற்படும். இந்நிகழ்வினை வெவ்வேறு கோணங்களில் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். 

நேர்வு 1: செங்குத்து இயக்கம் 

m1, மற்றும் m2 நிறை கொண்ட இரண்டு கனச்செவ்வகத் துண்டுகள் (m1 > m2) ஒரு மெல்லிய நீட்சித்தன்மையற்ற கயிறு ஒன்றில் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. இது கப்பி ஒன்றின் வழியே படம் 3.15ல் காட்டியுள்ளவாறு பொருத்தப்பட்டுள்ளது.

கயிற்றின் இழுவிசை T மற்றும் முடுக்கம் a என்க. அமைப்பினை விடுவிக்கும்போது, இரண்டு நிறைகளும் இயங்கத்துவங்கும். m2 செங்குத்தாக மேல்நோக்கியும் மற்றும் m1 செங்குத்தாக கீழ்நோக்கியும் a என்ற சம முடுக்கத்துடன் இயங்கும். m1 மீது செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை m1g, m2 நிறையை மேல்நோக்கி உயர்த்த பயன்படுகிறது. மேல்நோக்கிய திசையை y அச்சு எனக்கருதுக படம் 3.16 ல் இரு நிறைகளுக்கான விசைப்படம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

நிறை m2 விற்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்துக.

மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் இடது கை பக்கம் நிறை மீது செயல்படும் மொத்த விசையும், வலது கை பக்கம் நிறை மற்றும் y அச்சுத்திசையில் அது அடையும் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கற்பலனும் காட்டப்பட்டுள்ளன. 

இருபுறக் கூறுகளையும் ஒப்பிட கீழ்கண்ட சமன்பாடு கிடைக்கும்.

இதே போன்று m1 நிறைக்கும் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தும்போது பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

நிறை m1 கீழ்நோக்கி இயங்குவதால் அதன் முடுக்கமும் கீழ்நோக்கிச் செயல்படும். 

இருபுறமும் கூறுகளையும் ஒப்பிட

இரண்டு நிறைகளும் சமமாக இருந்தால் (m1 = m2) அமைப்பு சுழி முடுக்கத்தைப் பெற்று ஓய்வு நிலையில் இருக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது. 

கயிற்றின் மீது செயல்படும் இழுவிசையைக் காண சமன்பாடு (3.12) இல் உள்ள முடுக்கத்தை, சமன்பாடு (3.9) இல் பிரதியிட வேண்டும்.

சமன்பாடு (3.13) இன் வலப்பக்கமுள்ள m₂ g ஐ பொதுவாக வெளியே எடுக்கும்போது

சமன்பாடு (3.12) முடுக்கத்தின் எண் மதிப்பை மட்டுமே கொடுக்கும். 

நிறை m1, ன் முடுக்க வெக்டர் பின்வருமாறு 

அதே போல நிறை m2 இன் முடுக்கவெக்டர் பின்வருமாறு 

நேர்வு 2: கிடைத்தள இயக்கம் 

இவ்வகை இயக்கத்தில் நிறை m2 மேசை ஒன்றின் கிடைத்தளப்பரப்பிலும், m1 கப்பி ஒன்றின் வழியே படம் 3.17 இல் உள்ளவாறு தொங்கவிடப்படுள்ளன. இங்கு பரப்பின் மீது எவ்வித உராய்வும் இல்லை எனக் கருதுக.

நீட்சித்தன்மையற்ற மெல்லிய கயிற்றில் கட்டப்பட்ட இரண்டு நிறைகளில், m1 நிறை a முடுக்கத்துடன் கீழ்நோக்கியும், அதே முடுக்கத்துடன் m2 நிறை கிடைத்தளத்திலும் இயக்கத்தை மேற்கொள்கின்றன எனக்கருதுக. 

m2 நிறையின் மீது செயல்படும் விசைகள் பின்வருமாறு 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m2g) 

(ii) மேசைப்பரப்பு ஏற்படுத்தும் மேல்நோக்கிய செங்குத்து விசை (N) 

(iii) மெல்லிய கயிறு ஏற்படுத்தும் கிடைத்தள இழுவிசை (T) 

இதேபோன்று, m1 நிறையின் மீது செயல்படும் விசைகள் பின்வருமாறு 

(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m1g) 

(ii) மெல்லிய கயிறு ஏற்படுத்தும் மேல்நோக்கிச் செயல்படும் இழுவிசை (T) 

பின்வரும் படம் 3.18 இரண்டு நிறைகளின் விசைப்படத்தைக் காட்டுகிறது.

m1 நிறைக்கு நியூட்டன் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால்

m2 நிறைக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்துக

Y அச்சு திசையில் நிறைக்கு எவ்வித முடுக்கமும் இல்லை

சமன்பாடு (3.15) ஐ சமன்பாடு (3.14) ல் பிரதியிட்டால் முடுக்கம் a கிடைக்கும்.

கயிற்றின் இழுவிசைக்கான சமன்பாட்டைப் பெறலாம், சமன்பாடு (3.17) ஐ (3.15) ல் பிரதியிடுவதன் மூலம் பெறலாம்.

இரண்டு நேர்வுகளிலும் உள்ள இயக்கங்களை ஒப்பிடும்போது, கிடைத்தள இயக்கத்திலுள்ள கயிற்றின் இழுவிசையானது, செங்குத்து இயக்கத்திலுள்ள கயிற்றின் இழுவிசையில் பாதியளவே உள்ளதை அறியலாம். 

இம்முடிவு தொழில் துறையில் முக்கியப் பங்காற்றுகிறது. கிடைத்தள இயக்கத்திலுள்ள இயங்கு பட்டையில் (conveyor belt) பயன்படும் கயிறுகள் செங்குத்து இயக்கத்திலுள்ள மின்உயர்த்தி (lift) மற்றும் எடைத்தூக்கி (crane) இவற்றில் பயன்படும் கயிறுகளைவிட நீண்ட ஆயுளைப் பெற்றிருக்கும்.

ஒருமைய விசைகள் மற்றும் லாமியின் தேற்றம் 

பல்வேறு விசைகள் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்குமானால், அவ்விசைகளை ஒருமைய விசைகள் என்று அழைக்கலாம். படம் 3.19 ஒருமைய விசைகளைக் காட்டுகிறது. ஒருமைய விசைகள், ஒரே தளத்தில் அமைய வேண்டிய அவசியமில்லை. மாறாக அவை ஒரேதளத்தில் அமைந்தால் அவ்விசைகளை ஒருமைய மற்றும் ஒருதள விசைகள் என்று அழைக்கலாம்.