ஹெரான் சூத்திரம் (Heron's Formula)

ஹெரான் சூத்திரம் (Heron's Formula)

உயரம் தெரியாத ஆனால் மூன்று பக்க அளவுகளும் தெரிந்த ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு காண்பது?

இவ்வாறான, ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு காண்பது என்பதற்கான சூத்திரத்தை ஹெரான் கொடுத்துள்ளார்.

a, b மற்றும் c என்பன ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் எனில்,

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = √[s(s −a)(s −b)(s −c)] ச.அ.

இங்கே  s = (a + b + c) / 2, 's' என்பது முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு (semi − perimeter) அதாவது சுற்றளவில் பாதி ஆகும்.

குறிப்பு

இங்கு மூன்று பக்கங்களும் சமம் என நாம் எடுத்துக்கொண்டால், அதாவது a = b = c எனில் ஹெரான் சூத்திரப்படி முக்கோணத்தின் பரப்பளவானது (√3/4) a²  சதுர அலகுகள் எனக் கிடைக்கிறது. இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.1

ஒரு முக்கோண வடிவ வயலின் பக்க நீளங்கள் 28 மீ, 15 மீ மற்றும் 41 மீ எனில் வயலின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுக. மேலும் வயலைச் சமப்படுத்த ஒரு சதுர மீட்டருக்கு ₹20 செலவாகும் எனில், வயலைச் சமப்படுத்த ஆகும் மொத்தச் செலவைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு

a = 28மீ, b = 15 மீ மற்றும் c = 41 மீ என்க.

இப்போது,  s = (a + b + c ) / 2 = (28+15+41) / 2  = 84 / 2 = 42 மீ

முக்கோண வயலின் பரப்பளவு = √s(s −a)(s −b)(s −c)  

= 2 × 3 × 7 × 3

= 126 ச.மீ

1 ச.மீ வயலைச் சமப்படுத்த ஆகும் செலவு = ₹ 20

126 ச.மீ வயலைச் சமப்படுத்த ஆகும் செலவு = 20 × 126 = ₹ 2520.

எடுத்துக்காட்டு 7.2

ஓர் இடத்தில் மூன்று வேறுபட்ட முக்கோண வடிவிலான வீட்டு மனைகள் விற்பனைக்கு உள்ளன. ஒவ்வொன்றும் 120 மீ சுற்றளவு கொண்டவை. அவை ஒவ்வொன்றின் பக்க நீளங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இதில் அதிக இடப்பரப்பு கொண்ட வீட்டு மனை எது என முடிவு செய்ய வாங்குபவருக்கு உதவி செய்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் குறிக்கும் உதவிப்படம் வரையலாம்.

(i) படம் 7.4 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s = (30 + 40 +50) / 2 = 60 மீ

படம் 7.5 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s = (35 + 40 +45) / 2 = 60 மீ

படம் 7.6 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவு s = (40 + 40 +40) / 2 = 60 மீ

இங்கு அனைத்து அரைச் சுற்றளவும் சமமாக உள்ளன என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

(ii) ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பரப்பு

படம் 7.4 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு

படம் 7.5 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு

 படம் 7.6 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு

இங்கு சுற்றளவு சமமாக இருந்த போதிலும், மூன்று முக்கோண வடிவிலான வீட்டு மனையின் பரப்பளவுகள் வெவ்வேறாக இருப்பதைக் காண முடிகிறது. இவற்றில் படம் 7.6 இல் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பானது மற்றவற்றைவிட அதிகமாக உள்ளது. இவ்வடிவிலான வீட்டு மனை வாங்குவது அதிக இடப்பரப்பைத் தரும் என்பதால், வாங்குபவருக்கு இதனைப் பரிந்துரைக்கலாம்.

குறிப்பு

சமமான சுற்றளவுடைய எல்லா வகையான முக்கோணங்களிலும், சமபக்க முக்கோணமே அதிகமான பரப்பைக் கொண்டிருக்கும். இது தொடர்பான மீப்பெரு பரப்பளவுகளைப் பற்றி நாம் உயர் வகுப்புகளில் கற்க உள்ளோம்.