கனச்செவ்வகம் மற்றும் கனச்சதுரத்தின் புறப்பரப்பு (Surface Area of Cuboid and Cube)

கனச்செவ்வகம் மற்றும் கனச்சதுரத்தின் புறப்பரப்பு (Surface Area of Cuboid and Cube)

முப்பரிமாண (3D) வடிவங்களைப் பற்றி ஆரம்ப வகுப்புகளில் கற்றிருக்கிறோம். முழுவதுமாக ஒரு தளத்தில் அமையாத வடிவங்கள் முப்பரிமாண வடிவங்கள் ஆகும். எந்தவொரு முப்பரிமாண வடிவமும் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் என்ற மூன்று பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

1. கனச்செவ்வகம் மற்றும் அதன் புறப்பரப்பு (Cuboid and its Surface Area)

கனச்செவ்வகம் : ஒரு கனச்செவ்வகம் என்பது ஆறு செவ்வக வடிவிலான தளப்பகுதிகளால் அடைபடும் ஒரு மூடிய திண்ம உருவமாகும். தீப்பெட்டி, செங்கல், புத்தகம் என்பன கனச்செவ்வகத்திற்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒரு கனச்செவ்வகமானது 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள் மற்றும் 8 உச்சிகளைக் கொண்டிருக்கும். பொதுவாக, கனச்செவ்வகமானது செவ்வக வடிவப் பெட்டியின் அமைப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு கனச் செவ்வகத்தின் மொத்தப்பரப்பு அல்லது மொத்தப்புறப்பரப்பு (Total Surface Area −TSA) என்பது அந்தக் கனச்செவ்வகத்தை மூடியுள்ள அனைத்து முகங்களின் பரப்புகளின் கூடுதல் ஆகும். இதிலிருந்து கனச்செவ்வகத்தின் மேல் மற்றும் அடிப்பக்கங்களின் பரப்புகளை நீக்கும்பொழுது கிடைக்கும் பரப்பானது பக்கப்பரப்பு (Lateral Surface Area  −  LSA) எனப்படுகிறது.

படம் 7.10 இல் l, b மற்றும் h ஆகியன முறையே நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தைக் குறிக்கின்றன.

(i) கனச்செவ்வகத்தின் மொத்தப்பரப்பு (TSA)

மேல் மற்றும் அடிப் பக்கங்களின் பரப்பு   2 × 1b

முன் மற்றும் பின்பக்கங்களின் பரப்பு    2 × bh

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் பரப்பு   2 × lh

= 2 (lb + bh + lh) சதுர அலகுகள்.

(ii) கனச்செவ்வகத்தின் பக்கப்பரப்பு (LSA)

முன் மற்றும் பின்பக்கங்களின் பரப்பு   2 × bh

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் பரப்பு   2 × lh

= 2 (l+b)h சதுர அலகுகள்.

அன்றாட வாழ்வியல் நிகழ்வுகளில் நாம் மொத்தப்பரப்பு (TSA) மற்றும் பக்கப்பரப்பு (LSA) ஆகிய கருத்துகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். வெவ்வேறு நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தை உடைய கனச்செவ்வக வடிவிலான ஓர் அறையை எடுத்துக்கொள்வோம். அந்த அறையின் தரைத்தளம் மற்றும் மேற்கூரையைத் தவிர்த்துச் சுவர்களின் பரப்பு மட்டும் நமக்குத் தேவையெனில், பக்கப்பரப்பைக் (LSA) காண வேண்டும். நமக்கு அறையின் முழுப்புறப்பரப்பையும் காண வேண்டுமெனில் மொத்தப்பரப்பைக் (TSA) கணக்கிட வேண்டும்.

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே l, b மற்றும் h எனில்

(i) மொத்தப்பரப்பு = 2 (lb + bh + lh) சதுர அலகுகள்.

(ii) பக்கப்பரப்பு = 2 (l+b) h சதுர அலகுகள்.

குறிப்பு

• ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் அடிப்பக்க மற்றும் மேற்பக்கப்பரப்புகளானது உயரத்தோடு தொடர்புடையதல்ல. அடிப்பக்க மற்றும் மேற்பக்கப்பரப்புகளின் கூடுதல் 2lb ஆகும். அதாவது, மொத்தப்பரப்பான 2 (lb + bh + lh) இலிருந்து 2lb ஐ நீக்க நமக்குப் பக்கப்பரப்பு கிடைக்கும்.

• ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் புறப்பரப்பினைக் கணக்கிடும்பொழுது கொடுக்கப்பட்ட நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தின் அளவுகள் ஒரே அலகுகளில் இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.4

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் 7.5 மீ, அகலம் 3 மீ, உயரம் 5 மீ எனில் அதன் மொத்தப்பரப்பு மற்றும் பக்கப்பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு  

இங்கு கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் (l) = 7.5 மீ , அகலம் (b) = 3 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ.

மொத்தப்பரப்பு = 2 (lb + bh + lh)       

= 2[(7.5 × 3) + (3 × 5) + (7.5 × 5)]

= 2(22.5+15+37.5)

= 2 × 75

= 150 மீ²

பக்கப்பரப்பு = 2 (l+b) × h

= 2(7.5 + 3) × 5

= 2 × 10.5 × 5

= 105 மீ²

எடுத்துக்காட்டு 7.5

ஓர் அறையின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே 25 மீ, 15 மீ மற்றும் 5 மீ ஆகும். அறையின் தரை மற்றும் நான்கு சுவர்களையும் புதுப்பிக்க 1 சதுர மீட்டருக்கு ₹ 80 வீதம் செலவு ஆகும் எனில், மொத்தச் செலவைக் காண்க.

தீர்வு

இங்கு அறையின் நீளம் (l) = 25 மீ, அகலம் (b) =15 மீ மற்றும் உயரம் (h) = 5 மீ என்க. நான்கு சுவர்களின் பரப்பு = கனச்செவ்வகத்தின் பக்கப் பரப்பு

= 2 (l+b) × h

= 2(25+15) × 5

= 80 × 5 = 400 ச.மீ

தரையின் பரப்பு = l × b

= 25 × 15

= 375 ச.மீ

புதுப்பிக்க வேண்டிய பகுதியின் பரப்பு = (நான்கு சுவர்களின் பரப்பு + தரையின் பரப்பு)

= (400+375) = 775 ச.மீ

1 சதுர மீட்டருக்கு ₹80 வீதம் அறையைப் புதுப்பிக்க ஆகும் மொத்தச் செலவு = 80 × 775

= ₹ 62,000

2. கனச்சதுரம் மற்றும் அதன் புறப்பரப்பு (Cube and its Surface Area)

கனச்சதுரம் (Cube): நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் ஆகிய அனைத்தும் சமமாக உள்ள ஒரு கனச்செவ்வகமே, கனச்சதுரம் ஆகும். அதாவது ஒரு கனச்சதுரமானது ஆறு சதுரப் பக்கங்களால் அடைபட்ட திண்மம் ஆகும். கனச்சதுரங்களுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

கனச்செவ்வகத்தைப் போலவே, கனச்சதுரமும் 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள் மற்றும் 8 உச்சிகளைக் கொண்டிருக்கும்.

படம் 7.14 இல் உள்ளவாறு a அலகுகள் பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கனச்சதுரத்தைக் கருதுவோம். இப்பொழுது

 கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு = (ABCD+EFGH+AEHD+BFGC+ABFE+CDHG)

ஆகிய முகங்களின் பரப்புகளின் கூடுதல் = (a² + a² + a² + a² + a² + a²)

= 6a² சதுர அலகுகள்

(iii) கனச்சதுரத்தின் பக்கப்பரப்பு

= (AEHD+BFGC+ABFE+CDHG) ஆகிய முகங்களின் பரப்புகளின் கூடுதல்

= (a² + a² + a² + a² )

= 4a² சதுர அலகுகள்

ஒரு கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு a அலகுகள் எனில்,

(i) மொத்தப்பரப்பு (TSA) = 6a² சதுர அலகுகள்

(ii) பக்கப்பரப்பு (LSA) = 4a² சதுர அலகுகள்

சிந்தனைக் களம்

 இதனுடன் தொடர்புடைய கனச் செவ்வகத்தின் சூத்திரங்களைக் கொண்டு இந்தச் சூத்திரங்களைப் பெற முடியுமா?

எடுத்துக்காட்டு 7.6

5 செமீ பக்க அளவு கொண்ட கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு மற்றும் பக்கப்பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு (a) = 5 செமீ

மொத்தப்பரப்பு = 6a² = 6(5²) = 150 ச.செமீ

பக்கப்பரப்பு = 4a² = 4(5²) = 100 ச.செமீ

எடுத்துக்காட்டு 7.7

ஒரு கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்புறப்பரப்பு 486 செமீ² எனில் அதன் பக்கப் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு

இங்கு மொத்தப்புறப்பரப்பு = 486 செமீ²

6a² = 486 ==> a² = 486 / 6 ,      a² = 81 ==> a = 9

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு = 9 செமீ

கனச்சதுரத்தின் பக்கப்பரப்பு = 4a²  =  4 × 9² = 4 × 81 = 324 செமீ²

எடுத்துக்காட்டு 7.8

7 செமீ பக்க அளவுள்ள ஒரே மாதிரியான இரண்டு கனச்சதுரங்கள் ஒன்றுடன் ஒன்று பக்கவாட்டில் இணைக்கப்படும் போது கிடைக்கும் புதிய கனச்செவ்வகத்தின் மொத்தப்பரப்பு மற்றும் பக்கப்பரப்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு

கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு = 7 செமீ

புதிய கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் (l) = 7+7 =14 செமீ

அகலம் (b) = 7 செமீ, உயரம் (h) = 7 செமீ

அதன் மொத்தப்பரப்பு = 2 (lb + bh + lh)

= 2[(14×7) + (7×7) + (14×7)]

= 2(98+ 49+98)

=2 × 245

= 490 செமீ²

பக்கப்பரப்பு = 2 (l+b) × h

= 2(14+7) × 7

= 2 × 21 × 7

= 294 செமீ²