இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் : அறிமுகம்

இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல்

"எனது ஆற்றல்கள் சாதாரணமானவைதாம், 

என் செயல்களே வெற்றியைத் தேடி தருகின்றன.”

- சர் ஐசக் நியூட்டன்

அறிமுகம்

பிரான்காஸ்வைட் (Francois Viete-1540-1603) என்பவர் முதன் முதலில் முறையான இயற்கணிதக் குறியீடுகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைச் சமன்பாடுகளின் கருத்தாக்கத்தில் (Theory of Equation) அறிமுகப்படுத்தினார். 1630-களில் பிரெஞ்சு நாட்டின் கணித மேதைகளும் - தத்துவ அறிஞர்களுமான ரெனி டெகார்டே மற்றும் பியரி டி ஃபெர்மர்ட் இருவரும் பிரான்காஸ் வைட்டின் இயற் கணிதத்தைத் தழுவிய பகுமுறை வடிவியலை தனித்தனியாக கண்டறிந்தார்கள். டெகார்டே அவர்கள் பகுமுறை வடிவியலானது "இயற்கணித சூத்திரங்களை படமாக சித்தரிப்பதற்கான வழிமுறையாகவும்” மற்றும் ஆயத்தொலை அமைப்பானது "புள்ளிகளை ஒரு தளத்தில் குறிப்பதற்கான வழிமுறையாகவும்" மேம்படுத்தினார். இயற்கணிதத்தை வடிவியலுடன் தொடர்புபடுத்தியதே அவருடைய அரிய சாதனையாகும். இயற்கணித சமன்பாடுகளை வடிவியலில் உள்ள வடிவங்களைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு எழுதி விவரிக்கலாம் என்பதை விரிவாக விளக்கினார். பகுமுறை வடிவியல்' என்பது டெகார்டே பெயரில் "கார்டீசியன் வடிவியல்" (Cartesian Geometry) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

17ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து கணிதவியலானது அடிப்படை அல்லது தூய கணிதம் (pure mathematics) மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம் (applied mathematics) என இருவேறு திசைகளில் வளர்ச்சியடைந்து வருகிறது. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், ஒரு நேர்க்கோட்டில் இயங்கும் ஒரு பொருளின் இயக்கம் பற்றி பயன்பாட்டுக் கணிதத்தில் முதன்முதலில் கண்டறியப்பட்ட பகுதியாகும். வணிகம், பொருளாதாரம், சமூக அறிவியல், இயற்பியல் மற்றும் மருத்துவம் ஆகிய துறைகளில் நேர்க்கோட்டின் வரைபடங்கள் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. அடிப்படை வடிவியலில் மிகக் குறைந்த நீளம் சார்ந்த கோடுகள் மிகமுக்கியப் பங்காற்றுவது மட்டுமல்லாமல் வரலாற்று முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகவும் கருதப்படுகிறது.

அன்றாட வாழ்வில் நடைபெறும் ஒவ்வொரு செயல்பாட்டினையும் கணிதவியல் மொழிக்கு மாற்றி அமைப்பதே நமது முதல் பணியாகும். கணித மாதிரிகளை உருவாக்கப் பல உத்திகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவது மற்றும் அவற்றைப் பொருத்தமான கணிதவியல் உத்திகளைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் காண்போம். கீழே விளக்கப்பட்டுள்ள சில நடைமுறை கணக்குகளைப் பார்ப்போம். 

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.1 ஒரு மாணவன், அவனுடைய வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குச் சராசரியாக மணிக்கு 6 கி.மீ. வேகத்தில் நடந்து சென்றால் பள்ளி தொடங்குவதற்கு 10 நிமிடம் முன்னதாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அதே வேளையில், சராசரியாக மணிக்கு 4 கி.மீ வேகத்தில் நடந்து செல்லும்போது 5 நிமிடம் தாமதமாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அம்மாணவன் தினமும் காலை 8.00 மணிக்கு வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குப் புறப்பட்டுச் சென்றால் பின்வரும் வினாக்களுக்கு எவ்வாறு விடை காணலாம்.

(i) அவனுடைய வீட்டிற்கும் பள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு

(ii) சரியான நேரத்திற்கு அவன் பள்ளிக்குச் செல்ல ஆகும் குறைந்தபட்சச் சராசரி வேகம் மற்றும் மாணவன் பள்ளியைச் சென்றடைய ஆகும் நேரம் 

(iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம் 

(iv) மாணவன் நடந்து செல்லும் பாதையின் இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடு.

(இரு நேர்க்கோடுகளின் சேர்ப்புச் சமன்பாடு)

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.2 A மற்றும் B ஆகிய இரு கிராமங்களுக்குச் சிறப்பான மின்சாரம் அளிக்க ஒரு துணை மின் நிலையத்தை l என்ற சாலையில் அமைப்பதற்காக அரசு திட்டமிட்டுள்ளது. A மற்றும் B ஆகிய கிராமங்களுக்கும் l என்ற சாலையிலுள்ள முறையே P மற்றும் Q என்ற செங்குத்து அடி புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தொலைவுகள் முறையே 3 கிமீ மற்றும் 5 கிமீ ஆகும். P மற்றும் Q இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு 6 கிமீ எனில், (i) இரு கிராமங்களை துணை மின் நிலையத்துடன் இணைக்கும் கம்பியின் மிகக் குறைந்த நீளம் (கிராமங்களையும் துணை மின்நிலையத்தையும் இணைக்கும் சாலைகள்) மற்றும் (ii) மின் கம்பி செல்லும் பாதையின் சமன்பாடுகள் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடலாம்.

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.3 அடிச்சுற்றளவு 24 செமீ மற்றும் உயரம் 10 செமீ கொண்ட ஒரு உள்ளீடற்ற உருளை வடிவக் கலனின் வெளிப்புறத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 4 செமீ உயரத்தில் ஒரு எறும்பு உள்ளது. அதற்கு நேர் எதிரே கலனின் உட்புறத்தில் மேல்பகுதியிலிருந்து 3 செமீ கீழே தேன் துளி ஒன்று உள்ளது. எறும்பு தேன் துளியை அடைய நகர்ந்து செல்லும் மிகக் குறைந்த தூரம் என்னவாக இருக்கும்? எறும்பு நகர்ந்து செல்லும் பாதையின் சமன்பாடு என்னவாக இருக்கும்? (படம் 6.2-ல் எறும்பு மற்றும் தேன் துளி உள்ள இடங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன.) 

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.4 ஒரு குறிப்பிட்ட வகை குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹8 ஆக இருக்கும் போது 22,000 குறுந்தகடுகளை வாடிக்கையாளர்கள் வாங்குவார்கள். ஒரு குறுந்தகட்டினை ₹30 அல்லது அதற்கு மேல் விலை கொடுத்து வாங்க மாட்டார்கள். அதே சமயத்தில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹6 அல்லது அதற்குக் குறைவாக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளர் விற்பனை செய்ய மாட்டார். இருப்பினும், குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹14 ஆக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளரால் 24,000 குறுந்தகடுகளை வழங்க இயலும். தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவுகள், விலைக்கு நேர்விகித சமமாக

எடுத்துக்கொண்டால் பின்வருவனவற்றை எவ்வாறு காணலாம். 

(i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand Equation) 

(ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply Equation) 

(iii) சந்தை சமநிலையில் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் விலை 

(iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹10 எனில் தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவு.

மேலே விளக்கப்பட்டுள்ள நேர்கோட்டு கணக்குகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை தீர்வுகளை மட்டும் அளிக்காமல், அவற்றிலிருந்து மேலும் பல தகவல்களை நாம் தெரிந்து கொள்வதற்கும் உதவுகிறது. நேர்க்கோடுகள் பற்றிய கருத்தாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்குறிப்பிட்ட வகை கணக்குகளின் தீர்வுகளை பின்னர் இப்பாடப்பகுதியில் காணலாம். நேர்க்கோட்டைப் பற்றி புரிந்துகொள்ள, நேர்க்கோட்டுடன் தொடர்புடைய சில அடிப்படை கருத்துக்களை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியமாகிறது. அவை பற்றி இனி விரிவாக விவாதிக்கலாம்.

கற்றலின் நோக்கங்கள் (Learning objectives) 

இந்த இயலைப் படித்தபின் மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகள் 

● வெவ்வேறு வடிவங்களில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டினை எழுதுதல் 

● கொடுக்கப்பட்ட இரு நேர்க்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனக் கண்டறிதல் 

● கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிலிருந்து குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு உள்ள தூரத்தைக் காணல் மற்றும் இருஇணை கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் காணல். 

● கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின்படி நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாட்டு தொகுதிகளை (Family of Straight Lines) காணல்.

● இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடுகள், அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம், மற்றும் அவற்றின் கோண இரு சமவெட்டி ஆகியவற்றைக் கண்டறிதல்