கனச்செவ்வகம் மற்றும் கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு (Volume of Cuboid and Cube)

கனச்செவ்வகம் மற்றும் கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு (Volume of Cuboid and Cube)

50 மிலி மற்றும் 100 மிலி அளவுள்ள பனிக்கூழ்களை (Ice cream) அனைவரும் சுவைத்து மகிழ்ந்திருப்போம். அப்படிப்பட்ட 100 மிலி பனிக்கூழ் குவளை (Ice cream cup) ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். அதாவது அந்தப் பனிக்கூழ் குவளையின் கொள்ளளவு அல்லது கனஅளவு 100 மிலி ஆகும். இப்படிப்பட்ட 100 மிலி அளவுள்ள எத்தனை குவளைகளைக் கொண்டு ஒரு கூசாவை (jug) நிரப்பலாம் எனக் கண்டறிக. இதில் பத்து 100 மிலி குவளைகளைக் கொண்டு ஒரு கூசாவை நிரப்ப முடியுமானால் அந்தக் கூசாவின் கொள்ளளவு அல்லது கன அளவு 1லி ஆகும் (10×100 மிலி =1000 மிலி =1லி). மேலும் இப்படிப்பட்ட எத்தனை கூசாக்களைக் கொண்டு ஒரு வாளியை நிரப்பலாம் எனச் சரிபார்க்கவும். இதுவே அந்த வாளியின் கொள்ளளவு அல்லது கனஅளவு ஆகும். இதேபோல் எந்தவொரு பொருளின் கன அளவையும் அல்லது கொள்ளளவையும் நம்மால் கணக்கிட இயலும்.

குறிப்பு     

ஓரலகு கனச்சதுரம்: 

1 அலகினைப் பக்க அளவாகக் கொண்ட கனச்சதுரம்.

ஒரு முப்பரிமாண உருவம் புறவெளியில் எவ்வளவு இடத்தை அடைத்துக் கொள்கிறதோ, அதுவே அந்தப் பொருளின் கன அளவு ஆகும். கன சென்டிமீட்டர் (செமீ³) மற்றும் கன மீட்டர் (மீ³) என்பன கன அளவை அளக்க உதவும் சில அலகுகள் ஆகும்.

கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவு என்பது அதன் அடிப்பக்கப்பரப்பு மற்றும் உயரத்தைப் பெருக்கக் கிடைப்பதாகும்.

இதை அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழலில் உள்ள ஓர் எடுத்துக்காட்டு மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் A4 தாள் கட்டுகளைப் பார்த்திருப்பீர்கள். அதில் ஒவ்வொரு தாளும் செவ்வக வடிவமுடையன. மேலும் lb பரப்புடையன. இதை ஒன்றின் மீது மற்றொன்றாக அடுக்கும்போது இது கனச்செவ்வக வடிவக் கட்டாக மாறுகிறது. இங்கு h முறை lb ஆனது கனச்செவ்வகத்தை உருவாக்குகிறது

1. கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவு (Volume of a Cuboid)

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே  l , b மற்றும் h அலகுகள் என்க. பிறகு

கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவு

V = (கனச்செவ்வகத்தின் அடிப்பரப்பு) × உயரம்

= (l × b) × h = lbh கன அலகுகள்

குறிப்பு

கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவைக் காணும்போது, நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தின் அளவுகள் ஒரே அலகுகளில் இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.9

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே 120 மிமீ, 10 செமீ மற்றும் 8 செமீ. இதே அளவுகள் கொண்ட 10 கனச்செவ்வகங்களின் கன அளவைக் காண்க.

தீர்வு

இங்கு அகலம் மற்றும் உயரமானது சென்டி மீட்டரில் தரப்பட்டுள்ளன. ஆகையால் நீளத்தையும் சென்டி மீட்டரில் மாற்றலாம்.

இங்கு , l = 120 மிமீ = 120 / 10 = 12 செமீ, b = 10 செமீ, h = 8 செமீ

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவு = l × b × h   

= 12 × 10 × 8

= 960 செமீ ³

ஆகவே,10 கனச்செவ்வகங்களின் கன அளவு = 10 × 960

=9600 செமீ³

சிந்தனைக் களம்

பின்வரும் ஒவ்வொரு கனச் செவ்வகமும் 120 செமீ³ கன அளவு உடையன எனில், ஒவ்வொன்றிலும் விடுபட்ட அளவினைக் காண்க

எடுத்துக்காட்டு 7.10

ஒரு கனச்செவ்வகத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் 7:5:2 என்க. அதன் கனஅளவு 35840 செமீ³ எனில் அதன் பக்க அளவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

கனச்செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகள் l =7x, b = 5x மற்றும் h = 2x என்க.

இங்கு கனச்செவ்வகத்தின் கனஅளவு

= 35840 செமீ³

l × b ×  h  = 35840

(7x)( 5x)( 2x) = 35840

70x³ = 35840

x³ = 35840 / 70

x³ = 512

x = ³√[8 ×  8 ×  8]

x = 8 செமீ

கனச்செவ்வகத்தின் நீளம் = 7x = 7 × 8 = 56 செமீ

கனச்செவ்வகத்தின் அகலம் = 5x = 5 × 8 = 40 செமீ

கனச்செவ்வகத்தின் உயரம் = 2x = 2 × 8 =16 செமீ

எடுத்துக்காட்டு 7.11

ஒரு மீன் தொட்டியானது 3.8 மீ × 2.5 மீ × 1.6 மீ என்ற அளவுகளை உடையது. இந்தத் தொட்டியானது எத்தனை லிட்டர் தண்ணீர் கொள்ளும்?

தீர்வு

மீன் தொட்டியின் நீளம் l = 3.8 மீ

மீன் தொட்டியின் அகலம் b = 2.5 மீ

மீன் தொட்டியின் உயரம் h =1.6 மீ

மீன் தொட்டியின் கனஅளவு = l × b × h  

= 3.8 × 2.5 × 1.6

= 15.2 மீ³

= 15.2 × 1000 லிட்டர்

= 15200 லிட்டர்

குறிப்பு

1 செமீ³ =1 மிலி, 1000 செமீ³ =1 லிட்டர், 1மீ³ =1000 லிட்டர்

எடுத்துக்காட்டு 7.12

இனிப்புகள் வைக்கும் ஒரு பெட்டியானது 22 செமீ × 18 செமீ × 10 செமீ என்ற அளவில் உள்ளது. இதனை 1 மீ × 88 செமீ × 63 செமீ அளவுள்ள ஓர் அட்டைப் பெட்டியில் எத்தனை அடுக்கலாம்?

தீர்வு

இங்கு இனிப்புப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 22செமீ, அகலம் (b) = 18செமீ, உயரம் (h) = 10செமீ.

ஓர் இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு = l × b × h  

= 22 × 18 × 10 செமீ³

அட்டைப் பெட்டியின் நீளம் (1) = 1மீ = 100 செமீ, அகலம் (b) = 88 செமீ, உயரம் (h) = 63 செமீ.

அட்டைப் பெட்டியின் கன அளவு = l × b × h  

 = 100 × 88 × 63 செமீ³

அட்டைப் பெட்டியில் அடுக்க இயலும் இனிப்புப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை

= (அட்டைப் பெட்டியின் கனஅளவு / இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு )

= (100 × 88 × 63) / (22 × 18 × 10) = 140 பெட்டிகள்

2. கனச்சதுரத்தின் கன அளவு (Volume of a Cube)

'a' அலகு பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கனச் சதுரத்தின் கன அளவைக் காண்பது எளிதானது. கனச் செவ்வகத்தின் கன அளவிற்கான சூத்திரத்தில் l = b = h = a எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கனச் சதுரத்தின் கன அளவானது a³ கன அலகுகள் எனக் கிடைக்கிறது.

ஒரு கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு ‘a' அலகுகள் எனில், அதன் கன அளவு (V) = a³ கன அலகுகள்.

குறிப்பு

எந்த இரு கனச்சதுரங்களுக்கும் கீழ்க்காணும் முடிவுகள் பொருந்தும்.

• புறப்பரப்புகளின் விகிதம் = (பக்கங்களின் விகிதம்)²

• கன அளவுகளின் விகிதம் = (பக்கங்களின் விகிதம்)³

• (புறப்பரப்புகளின் விகிதம்)³ = (கன அளவுகளின் விகிதம்)²

எடுத்துக்காட்டு 7.13

10 செமீ பக்க அளவுள்ள கனச்சதுரத்தின் கன அளவைக் காண்க.

தீர்வு

இங்கு பக்க அளவு a = 10 செமீ

கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு = a³

= 10 × 10 × 10

= 1000 செமீ³

எடுத்துக்காட்டு 7.14

ஒரு கனச்சதுர வடிவ நீர்த் தொட்டியானது 64,000 லிட்டர் நீர் கொள்ளும் எனில், அந்தத் தொட்டியின் பக்கத்தின் நீளத்தை மீட்டரில் காண்க.

தீர்வு

நீர்த் தொட்டியின் பக்க அளவு a என்க.

இங்கு நீர்த் தொட்டியின் கன அளவு = 64,000 லிட்டர்

அதாவது, a³ = 64,000 = 64000 / 1000         [ஏனெனில், 1000 லிட்டர் = 1மீ³ ]

a³ = 64 மீ³

இப்பொழுது, a = ³√64 = 4 மீ

அந்த நீர்த் தொட்டியின் பக்கத்தின் நீளம் 4 மீட்டர் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.15

உலோகத்தால் ஆன ஒரு கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு 12 செமீ. அதனை உருக்கி 18 செமீ நீளம் மற்றும் 16 செமீ அகலம் உள்ள ஒரு கனச்செவ்வகம் உருவாக்கப்படுகிறது. அந்தக் கனச்செவ்வகத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு

கனச்சதுரம்

பக்க அளவு (a) = 12 செமீ

கனச்செவ்வகம்

நீளம் (l) = 18செமீ

அகலம் (b) = 16செமீ

உயரம் (h) = ?

இங்கு, கனச்செவ்வகத்தின் கனஅளவு = கனச்சதுரத்தின் கன அளவு

l × b × h = a³

18 × 16 × h = 12 × 12 × 12

h = (12 × 12 × 12 ) / (18 × 16)

h = 6 செமீ

எனவே, கனச்செவ்வகத்தின் உயரம் 6 செமீ ஆகும்.

செயல்பாடு

18 செமீ × 18 செமீ அளவுள்ள ஒரு சதுர வடிவத்தாளை (Paper / Chart paper) எடுத்துக் கொள்ளவும். அதன் ஒவ்வொரு மூலையிலிருந்தும் ஒரே அளவுள்ள சதுரப் பகுதிகளை நீக்கவும். பிறகு தாளில் உள்ள மடிப்புகளை மடித்து ஒரு திறந்த கனச்செவ்வகப் பெட்டி செய்யவும். பிறகு ஒவ்வொரு கனச்செவ்வகப் பெட்டியின் அளவுகளையும் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையில் குறிக்கவும். மேலும் ஒவ்வொரு பெட்டிக்கும் அதன் கன அளவினைக் கண்டுபிடித்து அட்டவணையை நிரப்பவும். ஒவ்வொரு முறையும் நீக்க வேண்டிய சதுரப் பகுதிகளின் பக்க அளவு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

மேற்காணும் அட்டவணையை உற்றுநோக்கி, பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்:

(i) இங்கு கிடைக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய கன அளவு என்ன?

(ii) இந்த மிகப் பெரிய கன அளவு கிடைக்க மூலைகளில் நீக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பக்க அளவு என்ன?