முழுக்களின் அறிமுகமும், அவற்றை எண்கோட்டின் மீது குறித்தலும்

முழுக்களின் அறிமுகமும், அவற்றை எண்கோட்டின் மீது குறித்தலும்

இயல் எண்களின் தொகுப்புடன் பூச்சியத்தைச் சேர்த்தால் கிடைக்கும் எண்களின் தொகுப்பை முழு எண்கள் என்பதை நாம் அறிவோம். இப்போது, நாம் முழு எண்களை எவ்வாறு எண் கோட்டில் குறித்தோம் என்பதனை நினைவு கூர்வோம்.

பூச்சியத்திற்கு இடதுபுறமாக எண்கோடானது விரிவடைய வேண்டியதன் அவசியத்தை நாம் ஏற்கெனவே பார்த்தோம். 0 இக்கு இடதுபுறம் உள்ள –1, –2, –3, ... ஆகிய எண்களை நாம் குறை எண்கள் அல்லது குறை முழுக்கள் என அழைக்கிறோம். மேலும், 0 இக்கு வலதுபுறம் உள்ள 1, 2, 3, ஆகிய எண்களை மிகை எண்கள் அல்லது மிகை முழுக்கள் என அழைக்கிறோம். ஆகவே, ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, .... என்ற புதிய எண்களின் தொகுப்பினை முழுக்கள் என்று அழைக்கிறோம். இந்த எண் தொகுப்பினை 'Z' என்ற எழுத்தால் குறிக்கிறோம். பின்வரும் எண்கோட்டில் முழுக்களைக் காணலாம்.

ஓர் எண்ணிற்கு முன்பாக உள்ள மிகை மற்றும் குறை குறிகள், அவ்வெண் 0 இக்கு எப்பக்கத்தில் அமைகின்றன என்பதனை அறிய உதவும். ஓர் எண்ணிற்கு முன்பாக உள்ள – என்ற குறியீடு குறை எனப் பொருள்படும். எடுத்துக்காட்டாக, –5 என்பதனைக் குறை எண் 5 எனக் கூறுகின்றோம்.

குறிப்பு

• எண் கோட்டினைக் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் என இரு திசைகளில் வரைந்து காட்டலாம்.

• 0 என்பது மிகை முழுவும் அல்ல குறை முழுவும் அல்ல. ஆகையால் அதற்குக் குறியீடு எதுவும் இல்லை.

• இயல் எண்கள் மிகை முழுக்கள் எனவும், முழு எண்கள் குறையற்ற முழுக்கள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

• மிகை மற்றும் குறை எண்களின் தொகுப்பானது குறியீட்டு எண்கள் என்று அழைக்கப்படும். மேலும் குறியீட்டு எண்கள், திசை எண்கள் என்றும் அழைக்கப்படும். 

• குறியீடு இல்லாத எண்கள் மிகை எண்களாகக் கருதப்படும். 

எடுத்துக்காட்டாக எண் 5 ஐ + 5 எனக் கருதலாம்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா? முழுக்களைக் குறிப்பதற்கு Z என்ற எழுத்தினை முதலில் பயன்படுத்தியது ஜெர்மானியர்கள் ஆவர். ஏனெனில், ஜெர்மன் மொழியில் ZAHLEN (சாலென்) என்ற சொல்லானது எண் எனப் பொருள்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 1: ஓர் எண்கோட்டை வரைந்து, அதன் மீது 6, –5, –1, 4 மற்றும் –7 ஆகிய முழுக்களைக் குறிக்கவும்.

தீர்வு

இவற்றை முயல்க

1. பின்வரும் எண்களை வாய்மொழியாகப் படிக்கவும்.

i) +24

ii) –13

iii) –9

iv) 8

2. ஓர் எண்கோட்டை வரைந்து பின்வரும் முழுக்களைக் குறிக்கவும்.

i) 0

ii) −6

iii) 5

iv) –8

3. எல்லா இயல் எண்களும் முழுக்களாகுமா? ஆம்

4. முழுக்களின் எந்தப் பகுதியை முழு எண்கள் பெற்றிருக்காது? எதிர்மறை எண்கள்

5. எண் கோட்டில் –4 ஐ அடைய 3 இன் இடதுபுறம் நீ எத்தனை அலகுகள் நகர வேண்டும்?

7 அலகுகள் நகர வேண்டும்

1. முழுக்கள் இடம்பெறும் பல்வேறு சூழல்கள்

செயல்பாடு

உன்னுடைய பெற்றோர் அல்லது தாத்தா, பாட்டியிடம் பல்வேறு காய்கறிகள் (விதைகள்) எத்தனை அடி ஆழத்தில் நட்டால், அவை ஆற்றலோடு திறம்பட வளரும் என்பதனைக் கேட்டறிக. பல்வேறு காய்கறிகளின் விதைகளை விதைக்கும் ஆழத்தைக் குறிக்கும் ஓர் எண்கோட்டினை வரைக. (நடுதல் விளக்கப் படம் வரைக)

2. ஓர் எண்ணின் எதிரெண்

ஓர் எண்ணின் எதிரெண் என்ற கருத்து புதிதான ஒன்றல்ல. ஒரு நபர் ஒரு பொருளை விற்பதினால் ₹500 இலாபமோ அல்லது ₹500 நட்டமோ அடைவதும்; ஒரு வணிகப் பணப்பரிமாற்றத்தில் ₹75,000 ஐக் கடனாகவோ பற்றாகவோ வரவு வைப்பதும் ஒன்றுக்கொன்று எதிரெதிராக அமையும். இவை, 'எதிரெண்கள்' எனப்படும்.

இந்தச் சூழல் குறித்துச் சிந்திக்க

இரண்டு முயல்கள் R மற்றும் S ஆனது ஓர் எண் கோட்டின் மீது பூச்சியத்திற்கு எதிர்ப்பக்கங்களில் தாவிக் குதித்து ஓடுவதாகக் கருதுவோம். படத்தில், முயல் R–ஆனது ஒரு தாவலில் 2 அலகுகள் என 3 முறை பூச்சியத்திற்கு வலதுபுறமாகவும் முயல் S–ஆனது ஒரு தாவலில் 3 அலகுகள் என 2 முறை பூச்சியத்திற்கு இடதுபுறமாகவும் குதித்து ஓடுவதை கீழ்க்காணும் படத்தில் காணலாம். இரண்டு முயல்களும் எண்கோட்டின் மீது எங்கு நிற்கும்? பூச்சியத்திலிருந்து இரண்டும் சம தொலைவில் உள்ளனவா?

தெளிவாக, எண்கோட்டில் முயல் R ஆனது 6 இலும், முயல் S ஆனது –6 இலும் நிற்கும். பூச்சியத்திற்கும் 6 இக்கும் இடையே உள்ள தொலைவானது 6 அலகுகளாகவும், பூச்சியத்திற்கும் –6 இக்கும் இடையே உள்ள தொலைவானது 6 அலகுகளாக அமைகின்றன. எனவே 6 மற்றும் –6 ஆனது பூச்சியத்திலிருந்து ஒரே தொலைவில் அமைகின்றன. அதாவது, முயல்கள் R மற்றும் S ஆனது பூச்சியத்திலிருந்து ஒரே தொலைவிலும் ஆனால் எதிரெதிர் திசையிலும் நிற்கின்றன.

இங்கு, –6 மற்றும் 6 ஆனது ஒன்றுக்கொன்று எதிரெண் ஆகும். இரண்டு எண்களானது ஓர் எண்கோட்டில் பூச்சியத்திலிருந்து சம தொலைவிலும் ஆனால் எதிரெதிர் திசையிலும் அமைந்தால் அவை ஒன்றுக்கொன்று 'எதிரெண்' எனப்படும். ஒவ்வொரு மிகை முழுவிற்கும், அதற்கான குறை முழு உண்டு. இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். கீழே உள்ள படத்தில் ஒவ்வொரு முழுவின் எதிரெண்ணும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

குறிப்பு

ஓர் எண்ணின் எதிரெண்ணின் எதிரெண் என்பது அதே எண் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, –(–5) என்பதை 5 இன் எதிரெண்ணின் எதிரெண் என்போம். மேலும், இது 5 இக்குச் சமமாகும். 

இப்பொழுது, 12, –7, –225 மற்றும் 6000 போன்ற எண்களுக்கு எதிர் எண்கள் எழுதுவது என்பது எளிதாகும். மிகை முழுவின் எதிரெண் குறை முழுவாகவும் குறை முழுவின் எதிரெண் மிகை முழுவாகவும் அமைவது குறிப்பிடத்தக்கது. மேலும், பூச்சியத்தின் எதிரெண் பூச்சியம் ஆகும்.

எதிரெண்களை இயற்கையோடு எளிதில் தொடர்புபடுத்துவது மட்டுமின்றி நமது அன்றாடச் சூழல்களான சேமிப்பு – செலவு, மேலே – கீழே போன்றவற்றைப் புரிந்துகொள்ள ஏதுவாக அமைகின்றன. அவையாவன:

i) சேமிப்பானது மிகை முழுவாகவும், செலவானது குறை முழுவாகவும் கருதப்படுகிறது.

i) கடல் மட்டத்திற்கு மேலே உள்ள உயரத்தை மிகை முழுவாகவும், கடல் மட்டத்திற்குக் கீழே உள்ள ஆழத்தைக் குறை முழுவாகவும் கருதுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

பின்வரும் சூழல்களை முழுக்களாகக் குறிப்பிடுக.

i) ₹1000 இலாபம்

ii) 0°C இக்குக் கீழ் 20°C

iii) கி.மு (பொ.ஆ.மு) 1990

iv) ₹15,847 வைப்புத்தொகை

v) இயல்பான எடையை விட 10 கி.கி குறைவு

தீர்வு

i) இலாபம் என்பது மிகையாதலால், ₹1000 என்பதை ₹+1000 எனக் குறிப்பிடலாம்.  

ii) 0°C இக்குக் கீழ் 20°C என்பது −20°C எனக் குறிப்பிடலாம்.

iii) கி.மு (பொ.ஆ.மு – பொது ஆண்டுக்கு முன்) உள்ள ஓர் ஆண்டைக் குறை எண்ணாகவும், கி.பி (பொ.ஆ. – பொது ஆண்டில்) உள்ள ஓர் ஆண்டை மிகை எண்ணாகவும் கருதுகிறோம். ஆகவே கி.மு (பொ.ஆ.மு) 1990 என்பதை – 1990 எனக் குறிப்பிடலாம்.

iv) ₹15,847 வைப்புத்தொகை என்பது ₹+15,847 எனக் குறிப்பிடலாம்.

v) இயல்பான எடையை விட 10 கி.கி குறைவு என்பதை –10 கி.கி எனக் குறிப்பிடலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 3

எண்கோட்டினைப் பயன்படுத்தி –6 ஐ விட 5 அலகுகள் கூடுதலான முழுவை எழுதுக.

தீர்வு

–6 இலிருந்து நாம் அதன் வலதுபுறம் 5 அலகுகள் நகர்ந்து படத்தில் உள்ளவாறு –1 ஐ அடையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

 –2 இக்கு எதிரெதிர் திசைகளில் 3 அலகுகள் தொலைவிலுள்ள எண்களை எண்கோட்டில் காண்க

தீர்வு

–2 இலிருந்து, நாம் இடதுபுறமாகவும் வலதுபுறமாகவும் 3 அலகுகள் தொலைவைப் படத்தில் உள்ளவாறு நகர வேண்டும். எனவே, –2 இன் வலதுபுறம் 3 அலகுகள் தொலைவில் 1 உம், –2 இன் இடதுபுறம் 3 அலகுகள் தொலைவில் –5 உம் கிடைக்கின்றன.

இவற்றை முயல்க

1. பின்வரும் எண்களுக்கு 'எதிரெண்' காண்க. 

i) 55 –55

ii) –300 +300

iii) +5080 –5080

iv) –2500 +2500

v) 0 0

2. பின்வரும் சூழல்களை முழுக்களாகக் குறிப்பிடுக.

i) ₹2000 நட்டம் –2000

ii) கி.பி (பொ. ஆ.) 2018 –2018

iii) மீன்கள் கடல் மட்டத்திலிருந்து 60மீ கீழே காணப்படுவது –60

iv) 0°C இக்குக் கீழ் 18°C –18°C

v) 13 புள்ளிகள் இலாபம் அடைதல் +13

vi) ஒரு விசைப்பீறி (Jet) விமானம் 2500 மீ உயரத்தில் இருப்பது +2500

3. ஒரு கட்டிடத்தில் தரைத் தளத்திற்குக் கீழே 2 தளங்கள் உள்ளதாகக் கொள்வோம். தரைத் தளத்தை 0 எனக் கொண்டால் அதற்குக் கீழே உள்ள தளங்களை நாம் எவ்வாறு குறிக்கலாம்? –2

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

இஸ்ரோ (ISRO) விஞ்ஞானிகள், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேரத்தைப் பூச்சிய நேரமாகக் கருதி அந்த நேரத்திற்கு முன் நேரத்தைக் குறையாகவும் பின் நேரத்தை மிகையாகவும் கருதுவதை வழக்கமாகக் கொண்டுள்ளனர். இதை ஏவுகணை செலுத்துவதில் அவர்கள் பின்பற்றுவதை நாம் காணலாம். ஏவுதளத்திலிருந்து ஏவுகணையை ஏவ 1 நிமிடம் முன்பாக உள்ள நிலையை –1 நிமிடம் எனக் குறிப்பர்.