ஒரு வட்டத்தின் நாண்களின் பண்புகள் (Properties of Chords of a Circle)

ஒரு வட்டத்தின் நாண்களின் பண்புகள் (Properties of Chords of a Circle)

கோடுகள், கோணங்கள், முக்கோணங்கள் மற்றும் நாற்கரங்களைப் பற்றி முன்பே அறிந்துள்ளோம். இவற்றுடன் வட்டம் என்ற புதிய கருத்தினை இணைத்துள்ளோம். இவற்றையெல்லாம் பயன்படுத்திச் சில நிரந்தர முடிவுகளை ஒன்றன் பின் ஒன்றாகப் பெற இருக்கின்றோம். இப்பொழுது நாம் வட்டத்தின் நாண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு சில பண்புகளை அறிய இருக்கின்றோம்.

தொடக்கமாக, ஒரு நாண் மற்றும் மையத்திலிருந்து நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோட்டின் பண்பைக் காண இருக்கின்றோம்.

1. நாணிற்கு மையத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்து (Perpendicular from the Centre to a Chord)

O −வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் நாண் AB ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். OC ┴ AB வரைக மற்றும் OA, OBஐ இணைக்க. இங்கு முக்கோணங்கள் ∆AOC மற்றும் ∆BOC ஐ எளிதாகப் பெறுகின்றோம். (படம் 4.56).

நம்மால் இந்த இரு முக்கோணங்களும் சர்வ சமமானவை என மெய்ப்பிக்க இயலுமா? இப்பொழுது, முன்பே கற்றுள்ள சர்வ சம முக்கோணங்களுக்கான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி இதனை நிறுவலாம். ∠OCA = ∠OCB = 90° (OC ┴ AB) மற்றும் OA = OB ஆனது வட்டத்தின் ஆரங்கள். பக்கம் OC பொதுவானது. செ −க −ப விதி நமக்குக் கூறுவது ∆AOC மற்றும் ∆BOC சர்வ சமமானவை. இதிலிருந்து நாம் அறிவது AC = BC. இந்த விவாதத்தின் மூலம் நாம் பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்.

தேற்றம் 7 ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து ஒரு நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து அந்த நாணை இருசமக் கூறிடும்.

தேற்றம் 7 இன் மறுதலை ஒரு வட்டத்தின் மையத்தையும் ஒரு நாணின் நடுப்புள்ளியையும் இணைக்கும் கோடு அந்த நாணிற்குச் செங்குத்தாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.5

ஆரம் 12 செமீ உள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 2√11 செமீ தொலைவில் உள்ள நாணின் நீளம் காண்க.

தீர்வு

நாண் AB மற்றும் AB இன் நடுப்புள்ளி C என்க.

ஆகையால், OC ┴ AB,

OA மற்றும் OCயை இணைக்க. ஆரம் OA.

OC = 2√11 செமீ மற்றும் OA = 12செமீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

செங்கோண ∆OAC இல் பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,

AC² = OA² – OC²

=12² – (2√11)²

= 144  − 44

= 100செமீ

AC² = 100செமீ

AC = 10செமீ

ஆகவே, நாண் AB இன் நீளம் = 2AC

= 2 × 10செமீ

= 20செமீ

குறிப்பு

பிதாகரஸ் தேற்றம்: வடிவியலில் பிதாகரஸ் தேற்றம் மிக முக்கியமான மற்றும் நன்கு அறிந்த தேற்றங்களில் ஒன்றாகும். "ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் வர்க்கமானது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்." செங்கோண ∆ABC இல் BC² = AB² + AC². இத்தேற்றத்தின் பயன்பாடு இந்த அலகில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 4.6

பொது மைய வட்டங்களில், வெளி வட்டத்தின் நாண் AB ஆனது உள் வட்டத்தைப் படத்தில் உள்ளவாறு C மற்றும் D இல் சந்திக்கின்றது எனில், AB – CD = 2AC என நிறுவுக.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை : வெளி வட்டத்தின் நாண் AB ஆனது உள் வட்டத்தை C மற்றும் D இல் சந்திக்கின்றது.

நிறுவ வேண்டியது : AB – CD = 2AC

அமைப்பு : OM ┴ AB வரைக

மெய்ப்பித்தல் : இங்கு , OM ┴ AB

மேலும், OM ┴ CD

ஆகவே, AM = MB               .... (1)

 (ஏனெனில், மையத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்து நாணை இருசமக் கூறிடும்)

CM = MD             ... (2)

இப்பொழுது, AB −CD = 2AM − 2 CM

= 2(AM −CM)                (1) மற்றும் (2) இலிருந்து

AB  − CD = 2AC

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

1. வட்டத்தின் ஆரம் 25செமீ மற்றும் ஒரு நாணின் நீளம் 40 செமீ எனில் வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நாணிற்கு உள்ள தூரம் காண்க

2. PQ=4 செமீ உள்ளவாறு புள்ளிகள் P மற்றும் Q இன் வழியே மூன்று வட்டங்கள் வரைக.

2. நாண் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் (Angle Subtended by Chord at the Centre)

ஒரு நாணிற்குப் பதிலாக நாம் இரு சமமான நாண்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இப்பொழுது நாம் மற்றொரு பண்பை விவாதிக்க இருக்கின்றோம்.

Oவை மையமாக உடைய வட்டத்தில் இரண்டு சமமான நாண்களை எடுத்துக்கொள்வோம். நாணின் முனைகளை மையத்துடன் இணைத்து, நாம் முக்கோணங்கள் ∆AOB மற்றும் ∆OCD ஐ பெறுகின்றோம். இதில் நாண் AB= நாண் CD (ஏனெனில் கொடுக்கப்பட்ட நாண்கள் சமமானவை). மற்ற பக்கங்கள் ஆரங்கள், எனவே OA = OC மற்றும் OB = OD. ப −ப −ப (SSS) விதிப்படி முக்கோணங்கள் சர்வசமமானவை. அதாவது ∆OAB ≡ ∆OCD. இதிலிருந்து, m∠AOB = m∠COD. இது பின்வரும் முடிவிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.

தேற்றம் 8 வட்டத்தின் சமநாண்கள் வட்ட மையத்தில் சமகோணங்களைத் தாங்கும்.

செயல்பாடு  − 5 .

வழிமுறை

1. O ஐ மையமாகக் கொண்டு ஏதேனும் ஆரத்தில் ஒரு வட்டம் வரைந்து, அதை வெட்டி எடுக்கவும்.

2. அதை மடித்து அரை வட்டம் உருவாக்குக. அதன் மேல் புள்ளிகள் A, B ஐ குறிக்கவும்.

3. அரை வட்டத்தில் AB இன் வழியே மடித்து, பின்பு பிரிக்கவும்.

4. நாம் மற்றோர் அரை வட்டத்தில், மேலும் ஒரு மடிப்பு கோட்டுத்துண்டைப் பெறுகின்றோம். அதை CD எனப் பெயரிடுவோம் (AB = CD).

5. ஆரங்களை இணைத்து ∆OAB மற்றும் ∆OCD ஐ பெறுக.

6. படியெடுக்கும் (Trace) தாளைப் பயன்படுத்தி, ∆OAB மற்றும் ∆OCD ஐப் படியெடுக்கவும்.

7. இந்த முக்கோணங்கள் ∆OAB மற்றும் ∆OCD ஐ ஒன்றின்மீது மற்றொன்றை வைக்கவும்.

உற்று நோக்குதல்

1. நீங்கள் அறிவது என்ன? ∆OAB ≡ ∆OCD என்பது சரியா?

2. வட்ட மையம் O இலிருந்து நாண்கள் AB மற்றும் CD  −க்குச் செங்குத்துக் கோடுகள் வரைக. வட்ட மையத்திலிருந்து நாணிற்கு உள்ள தூரத்தை அளக்க?

இப்பொழுது வட்ட மையத்தில் சம கோணங்களைத் தாங்கும் நாண்கள் AB மற்றும் CD இன் நீளங்களைக் காண்போம். அதாவது ∠AOB = ∠COD மேலும் இக் கோணங்களை உள்ளடக்கிய ∆AOB மற்றும் ∆COD இன் பக்கங்கள் ஆரங்களாகும்.

ப −கோ −ப (SAS) விதிப்படி, ∆AOB ≡ ∆COD.

இதிலிருந்து நாண் AB = நாண் CD. இப்பொழுது நாம் மறுதலை முடிவைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

தேற்றம் 8 இன் மறுதலை வட்ட மையத்தில் சம கோணங்களைத் தாங்கும் இரு நாண்கள் எப்பொழுதும் சம நீளமுள்ளவை.

இதே வழியில் சம நாண்கள் கொடுக்கப்படும்பொழுது, மையத்திலிருந்து அவற்றின் தொலைவினை விவாதிக்க இருக்கின்றோம். OL ┴ AB மற்றும் OM ┴ CD வரைக. தேற்றம் (7)இலிருந்து, இந்தச் செங்குத்துக்கோடுகள் நாண்களைச் சமமாகப் பிரிக்கும். ஆகவே, AL = CM . ∆OAL மற்றும். ∆OCM ஐ ஒப்பிடும்பொழுது, கோணங்கள் ∠OLA = ∠OMC = 90° மற்றும் OA = OC ஆரங்கள் ஆகும். செ −க −ப (RHS) விதிப்படி, ∆OAL ≡ ∆OCM . மையத்திலிருந்து உள்ள தொலைவு OL = OM ஆகும். மேலும் முடிவைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

தேற்றம் 9 வட்டத்தின் சம நாண்கள் வட்ட மையத்தில் இருந்து சம தொலைவில் இருக்கும்.

தேற்றம் 9 இன் மறுதலையும் கணக்குகளைத் தீர்க்க மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதால் அதையும் அறிவோம்.

தேற்றம் 9 இன் மறுதலை வட்ட மையத்திலிருந்து சம தொலைவில் உள்ள நாண்கள் சம நீளமுள்ளவை.

3. ஒரு வட்டவில் தாங்கும் கோணம் (Angle Subtended by an Arc of a Circle)

செயல்பாடு  − 6

வழிமுறை :

1. O ஐ மையமாகக் கொண்டு வெவ்வேறு ஆர அளவுகளுடைய மூன்று வட்டங்களை வரைபடத்தாளில் வரைக.

2. இந்த வட்டங்களில் இருந்து அரைவட்டம், ஒரு சிறிய வட்டத்துண்டு மற்றும் ஒரு பெரிய வட்டத்துண்டுகளை வெட்டி எடுக்க.

3. அவற்றின் மேல் மூன்று புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றிற்கு A, B மற்றும் C எனப் பெயரிடுக.

4. முக்கோணங்களை வெட்டி எடுத்துப் படத்தில் காட்டியுள்ளது போல் புள்ளி A ஆனது ஆதிப்புள்ளியில் பொருந்துமாறு வரைபடத்தாளில் ஒட்டுக.

உற்றுநோக்குதல் :

(i) அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் …………

(ii) பெரிய வட்டத்துண்டில் அமையும் கோணம் ……………

(iii) சிறிய வட்டத்துண்டில் அமையும் கோணம் …………………..

இப்பொழுது ஒரு வில்லானது வட்ட மையத்தில் தாங்கும் கோணத்திற்கும், வட்டப் பரிதியில் தாங்கும் கோணத்திற்கும் இடையேயுள்ள உறவைக் காண இருக்கின்றோம்.

4. மையம் மற்றும் பரிதியில் அமையும் கோணங்கள் (Angle at the Centre and the Circumference)

O வை மையமாகக் கொண்ட ஏதேனும் ஒரு வட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். இப்பொழுது புள்ளிகள் A, B மற்றும் C ஐ வட்டப் பரிதியில் குறிக்க.

இங்கு வில்  ஆனது சிறிய வில் (படம் 4.65), அரைவட்டம் (படம் 4.66) மற்றும் பெரிய வில் (படம் 4.67) என அமையும். மேலும் புள்ளி C ஆனது வில்களைப் பொறுத்து (படம் 4.65 முதல் 4.67 வரை) வெவ்வேறு வகையான கோணங்களைப் பெறும். மேலேயுள்ள அனைத்து வட்டங்களிலும் வில்  மையத்தில் தாங்கும் கோணம் ∠AOB ஆகும். மேலும் ∠ACB ஆனது பரிதியில் தாங்கும் கோணம் ஆகும்.

நாம் மெய்ப்பிக்க வேண்டியது ∠AOB = 2∠ACB .

இதற்காக, CO வை D இக்கு நீட்டுக. மேலும் CD ஐ இணைக்க.

∠OCA = ∠OAC ஏனெனில், (OA = OC ஆரங்கள்)

வெளிக் கோணம் = உள்ளெதிர்க் கோணங்களின் கூடுதல்.

∠AOD = ∠OAC + ∠OCA

= 2∠OCA                  ..... (1)

இதேபோல்,

∠BOD = ∠OBC +∠OCB

=2∠OCB                ..... (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து,

∠AOD + ∠BOD = 2(∠OCA+∠OCB)

இறுதியாக நாம் அடையும் முடிவு ∠AOB = 2∠ACB .

இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவைப் பெறுகின்றோம்:

தேற்றம் 10

ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இருமடங்காகும்.

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

1. வேறுபட்ட அளவுள்ள வளையல்களின் எல்லைகளை வரைந்து அவை ஒவ்வொன்றின் மையத்தையும் மூலை மட்டங்களின் உதவியுடன் காண முயற்சி செய்க.

2. அளவுகோல் மற்றும் கவராயத்தைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட பிறை நிலவை நகலெடுத்து முழு நிலவாக மாற்றுக.

குறிப்பு

• அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்.

• வட்டத்தின் சம வில்கள் சமக் கோணங்களைத் தாங்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.7

கீழ்க்காணும் படங்களில் x° இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் அந்த வில்லைத் தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதிப் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படுத்தும் கோணத்தைப் போல் இரு மடங்காகும் என்ற தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகின்றோம்.

(i) ∠POR = 

x° = 2 × 50°

x° = 100°

(ii) ∠MNL = 1/2 பின்வளை ∠MOL

= (1/2) × 260°

x° = 130°

(iii) XY ஆனது வட்டத்தின் விட்டம்.

எனவே, ∠XZY = 90° (அரை வட்டத்தில் அமையும் கோணம்)

∆XYZ இல்

x° + 63° + 90° = 180°

x° = 27°

(iv) OA = OB = OC (ஆரங்கள்)

∆OAC இல் ,

∠OAC = ∠OCA = 20°

∆OBC இல்,

∠OBC = ∠OCB = 35°

(சமமான பக்கங்களுக்கு எதிரேயுள்ள கோணங்கள் சமம்)

∠ACB = ∠OCA+ ∠OCB

x° =20° + 35°

x° = 55°

எடுத்துக்காட்டு 4.8

படத்தில் (படம் 4.73) வட்ட மையம் O மற்றும் ∠ABC = 30° எனில், ∠AOC ஐக் காண்க.

தீர்வு

∠ABC = 30° கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

∠AOC = 2∠ABC

(ஏனெனில், வட்டத்தின் ஒரு வில்லானது மையத்தில் தாங்கும் கோணம் மீதிப் பரிதியில் தாங்கும் கோணத்தின்இருமடங்காகும்)

= 2 × 30°

= 60°

இப்பொழுது, நாம் மற்றொரு சிறப்பான தேற்றத்தைப் பார்க்கலாம். சிறிய வில்லானது விரிகோணத்தையும், பெரிய வில்லானது குறுங்கோணத்தையும் மற்றும் அரை வட்டமானது செங்கோணத்தையும் பரிதியில் தாங்கும் என்பதைக் கற்றிருக்கிறோம். கொடுக்கப்பட்டுள்ள நாண் AB, மேலும் புள்ளிகள் C மற்றும் D ஆகியவை வட்டப் பரிதியின் வெவ்வேறு இடங்களில் உள்ள புள்ளிகள் என்போம். நாம், ∠ACB மற்றும் ∠ADB ஐக் காண்போம். இந்தக் கோண அளவுகளுக்கிடையே ஏதேனும் வேறுபாடு உள்ளதா?

5 ஒரே வட்டத்துண்டில் அமையும் கோணங்கள் (Angles in the same Segment of a Circle)

O வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் வட்டத்துண்டு AB ஐ எடுத்துக்கொள்க. புள்ளிகள் C மற்றும் D ஆனது வட்டப் பரிதியின் மேல் உள்ள புள்ளிகள் ஆகும். ஆரங்கள் OA மற்றும் OB ஐ இணைக்க.

1/2 ∠AOB = ∠ACB (தேற்றம் 10 இலிருந்து)

மற்றும் 1/2 ∠AOB = ∠ADB (தேற்றம் 10 இலிருந்து)

∠ACB = ∠ADB

இந்த முடிவானது புதிய தேற்றத்தைத் தருவிக்கின்றது.

தேற்றம் 11 ஒரே வட்டத்துண்டில் அமையும் கோணங்கள் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.9

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் Oஆனது வட்டமையம், ∠OQR=48° எனில், ∠P இன் அளவு என்ன?

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை ∠OQR=48° .

எனவே, ∠ORQ இன் அளவும் 48°   (ஏன்? ____)

∠QOR =180°  − (2 × 48°) = 84° .

நாண் QR ஆனது மையத்தில் உருவாக்கும் கோணம் மீதிப் பரிதியில் உருவாக்கும் கோணத்தைப் போல் இருமடங்காகும்.

எனவே, ∠QPR = (1/2) × 84° = 42°.