நாற்கரங்கள் (Quadrilaterals)

நாற்கரங்கள் (Quadrilaterals)

செயல்பாடு 2

தமிழ்நாடு போக்குவரத்துக் கழகப் பேருந்துகள் கீழ்க்காணும் நான்கு வழித்தடங்களை எடுத்துக்கொள்கின்றன. முதலாவது ஒருவழிப் பயணமாகும். மற்றவை சுற்றுப் பாதைப் பயணமாகும். வரைபடத்தில் இடங்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைப் புள்ளிகளால் குறித்து, கோடுகளால் இணைத்து, வழித்தடத்தை வரைக. நான்கு வெவ்வேறு வழித்தடத்திலும் இணைக்கப் பட்டுள்ள இடங்கள் பின்வருமாறு:

(i) நாகர்கோவில், திருநெல்வேலி, விருதுநகர், மதுரை.

(ii) சிவகங்கை , புதுக்கோட்டை, தஞ்சாவூர், திண்டுக்கல், சிவகங்கை .

(iii) ஈரோடு, கோயம்புத்தூர், தருமபுரி, கரூர், ஈரோடு.

(iv) சென்னை, கடலூர், கிருஷ்ணகிரி, வேலூர், சென்னை

இந்த இடங்களை இணைத்தால், நாம் கீழ்க்கண்ட வடிவங்களைப் பெறுகின்றோம்.

நகரங்களின் பெயர்களைப் புள்ளிகளில் குறித்து வரைபடத்தில் உள்ளவாறே எவ்விதச் சுழற்சியும் இன்றி வடிவங்களை வரைக.

நாம் உற்றுநோக்கினால், முதலாவது படத்தில் (4.16) நான்கு புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன என்பது புலப்படும். மற்ற மூன்றும் நாம் முன்பே கண்டுள்ளவாறு நேர்க்கோடுகளால் அடைபட்ட மூடிய வடிவங்கள் ஆகும். இந்த மூடிய வடிவங்களை அழைக்கச் சில பெயர்கள் நமக்குத் தேவைப்படுகின்றன. அவற்றை நாம் பலகோணம் என அழைப்போம்.

குறிப்பு

குழிவுப் பலகோணம் (Concave Polygon):

பலகோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு கோணத்தின் அளவு 180° யை விட அதிகமாக இருந்தால் அது குழிவுப் பலகோணமாகும்

குவிவுப் பலகோணம் (Convex Polygon):

பலகோணத்தின் அனைத்து உட்கோணங்களும் 180° யை விடக் குறைவாக இருக்கும் (மூலைவிட்டங்கள் பலகோணத்திற்கு உள்ளேயே அமையும்).

பலகோணம் எவ்வாறு தோற்றமளிக்கும்? அவற்றின் பக்கங்களின் இரு முனைகளிலும் புள்ளிகள் இருக்கும். நாம் இந்தப் புள்ளிகளைப் பலகோணத்தின் முனைகள் என அழைப்போம். இந்த முனைகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளே பக்கங்கள். Poly என்றால் பல என்பதைக் குறிக்கும். Polygon என்பது பல பக்கங்களைக் கொண்ட வடிவம் என்று பொருள்படும்.

ஒரு பலகோணத்திற்கு எத்தனை பக்கங்கள் இருக்கும்? ஒன்றா? ஆனால் இது ஒரு சாதாரணக் கோட்டுத்துண்டு. இரண்டா? ஆனால் இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டு மூடிய வடிவத்தை எவ்வாறு பெற இயலும்? மூன்றா? ஆம். இதை முன்பே அறிந்துள்ளோம். அதுதான் முக்கோணம். இப்பொழுது நான்கு பக்கங்கள்? சதுரம் மற்றும் செவ்வகம் நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட பலகோணத்தின் எடுத்துக்காட்டுகள். ஆனால் அவை மட்டுமன்று, இங்கு (படம் 4.20) உள்ளவை நான்கு பக்கங்கள் கொண்ட பலகோணங்களுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இவற்றை நாம் நாற்கரங்கள் என அழைப்போம்.

1. சில சிறப்பு நாற்கரங்களின் பெயர்கள் (Special Names for Some Quadrilaterals)

1. ஓர் இணைகரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாக மற்றும் சமமாக உள்ள நாற்கரமாகும்.

2. ஒரு சாய்சதுரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாகவும் மற்றும் எல்லாப் பக்கங்களும் சமமாகவும் உள்ள நாற்கரமாகும்.

3. ஒரு சரிவகம் என்பது ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையாக உள்ள நாற்கரமாகும்.

ஒரு சில இணைகரங்கள், சாய்சதுரங்கள் மற்றும் சரிவகங்களை வரைக.

நாற்கரங்களின் பண்புகளை அறிந்துகொள்வதின் பெரிய பயன் என்னவென்றால் நாம் அவற்றிற்கு இடையேயுள்ள உறவுகளை உடனடியாகத் தெரிந்துகொள்ளலாம்.

• ஒவ்வோர் இணைகரமும் சரிவகமாகும். ஆனால் ஒவ்வொரு சரிவகமும் இணைகரமாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

• ஒவ்வொரு சாய்சதுரமும் இணைகரமாகும். ஆனால் ஒவ்வோர் இணைகரமும் சாய்சதுரமாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

• ஒவ்வொரு செவ்வகமும் இணைகரமாகும். ஆனால் ஒவ்வோர் இணைகரமும் செவ்வகமாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

• ஒவ்வொரு சதுரமும் சாய்சதுரமாகும். மேலும், ஒவ்வொரு சதுரத்தையும் இணைகரம் என நிறுவலாம்.

மாற்று வழியில் அமையாது என்பதால் கணிதவியலாளர்கள் மறுதலை உண்மையல்ல எனப் பொதுவாகக் கூறுவர். இப்பொழுது மாற்றுவழியில் அமைவது எப்போது? என்ற அழகிய வினா உடனடியாக எழுகின்றது. அதாவது இணைகரமானது எப்பொழுது செவ்வகமாகும்? எந்தவொரு இணைகரத்திலும் எல்லாக் கோணங்களும் சமமாகும்போது, அது ஒரு செவ்வகமாகும். (நாம் ஏன் இதைக் காணவேண்டும்?) இப்பொழுது நாம் மேலும் பல சுவாரசியமான பண்புகளை உணர்ந்திருப்போம். அதாவது, சாய்சதுரம் என்பது எல்லாப் பக்கங்களும் சமமாக உள்ள இணைகரமே என்பதை நாம் கண்டோம்.

குறிப்பு

உங்களுக்கு bi−cycles (இரு சக்கர வாகனம்) மற்றும் tri −cycles (முச்சக்கர வாகனம்) தெரியுமா? எந்தவொரு சொல்லின் முன்பும் நாம் bi அல்லது tri இணைக்கும் பொழுது அது 2 (bi) அல்லது 3 (tri) ஐக் குறிக்கும். இதேபோல் quadri என்பது நான்கையும், quadri cycles நான்கு சக்கர மிதிவண்டிகளையும் குறிக்கும். மேலும் (Lateral) 'கரம்' என்பது பக்கங்களைக் குறிக்கும். எனவே, நாற்கரம் (quadrilateral ) என்பது 4 − பக்கங்களைக் கொண்ட வடிவம். உங்களுக்கு முக்கரங்கள் தெரியுமல்லவா? அவை முக்கோணங்கள்தானே! நான்கிற்குப் பிறகு? நமக்கு 5  − Penta, 6 – hexa, 7 − hepta, 8 – octa, 9 – nano, 10 – deca என ஒரு மரபு காணப்படுகிறது. Trigons என்பது முக்கோணங்கள் என அழைக்கப்படும். quadrigons என்பது நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும். ஆனால் இதன் தொடர்சியாக நாம் ஐங்கோணம், அறுங்கோணம், எழுங்கோணம், எண்கோணம், நவகோணம், தசகோணம் என்பனவற்றைப் பெற்றுள்ளோம். இதற்கும் மேலாக 11 − கோணம், 12 − கோணம் முதலியனவும் உள்ளன. ஒருவேளை உங்களால் 23  − கோணம் கூட வரைய இயலும்.

2. மேலும் சிறப்புப் பெயர்கள் (More Special Names)

நாற்கரத்தின் எல்லாப் பக்கங்களும் சமமாகும்பொழுது, நாம் அதைச் சமபக்கம் என அழைப்போம். நாற்கரத்தின் எல்லாக் கோணங்களும் சமமாகும்பொழுது, நாம் அதைச் சமகோணம் என அழைப்போம். முக்கோணங்களில் அனைத்துப் பக்கங்களும் சமமெனில், நாம் சமபக்க முக்கோணங்கள் எனக் கண்டுள்ளோம். இப்பொழுது நாம் அவற்றைச் சமகோணமுள்ள முக்கோணங்கள் எனவும் அழைக்கலாமே!

இவ்வாறாக,

• ஒரு சாய்சதுரம் என்பது சமபக்க இணைகரமாகும்.

• ஒரு செவ்வகம் என்பது சமகோண இணைகரமாகும்.

• ஒரு சதுரம் என்பது சமபக்க மற்றும் சமகோண இணைகரமாகும்.

மேலும், இங்கு பட்டம் மற்றும் இருசமபக்கச் சரிவகம் ஆகியவற்றை இரு சிறப்பு நாற்கரங்கள் என அழைப்போம்.

3. நாற்கரத்தின் வகைகள் (Types of Quadrilaterals)

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்.

(i) சாய் சதுரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள் சமமா?

(ii) ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாகவும், இணையாகவும் உள்ள நாற்கரம் ________

(iii) பட்டத்தில் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமா?

(iv) சம கோணங்களையும் சமமற்ற பக்கங்களையும் கொண்ட இணைகரம் எது?

(v) சம பக்கங்களையும், சமமற்ற கோணங்களையும் கொண்ட இணைகரம் எது?

(vi) சம பக்கங்களையும் சம கோணங்களைகயும் கொண்டஇணைகரம் எது?

(vii) ___________ என்பது ஒரு செவ்வகம், ஒரு சாய்சதுரம் மற்றும் ஓர் இணைகரம் ஆகும்.

செயல்பாடு 3

படி  − 1

வண்ணக் காகிதத் தாளில் நான்கு வேறுபட்ட நாற்கரங்களை வெட்டி எடுக்கவும்.

படி  − 2

நாற்கரங்களை மூலைவிட்டங்களைப் பொறுத்து மடிக்கவும். மடிப்புகளை நன்றாக அழுத்திக் கோடுகளை உருவாக்கவும். இங்கு புள்ளிக் கோடுகள் மடிப்புகளைக் குறிக்கின்றன.

படி  − 3

நாற்கரங்களின் இரண்டு மூலைவிட்டங்களையும் மடித்து நன்றாக அழுத்தி மடிப்புகளை உருவாக்குக

இவற்றில் இரண்டு எதிரெதிர் முக்கோணங்கள் சர்வசமமாக இருப்பதை அறியலாம். மூலைவிட்டப் பகுதிகளின் நீளங்கள் மற்றும் அவற்றிற்கு இடையேயுள்ள கோணங்களை அளந்து எழுதுக.

இதேபோல் சரிவகம் , இருசமபக்க சரிவகம் மற்றும் பட்டத்திற்கும் செய்க.

முன்புசெய்த செயல்பாட்டிலிருந்து, மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களையும், இடைப்பட்ட கோணங்களையும் அளந்து அட்டவணைப்படுத்துக.

செயல்பாடு 4

பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல்

ஏதேனும் ஒரு நாற்கரம் ABCD ஐ வரைக.

அதன் உள்ளே P என்ற புள்ளியை உருவாக்குக. துண்டுகள் PA, PB, PC மற்றும் PD ஐ இணைக்க. நமக்கு இப்பொழுது நான்கு முக்கோணங்கள் கிடைத்துள்ளன.

நான்கு முக்கோணங்களின் அனைத்துக் கோணங்களின் கூடுதல் எவ்வளவு? முனை P இல் கோணங்களின் கூடுதல் எவ்வளவு? உன்னால் இப்பொழுது நாற்கரம் ABCD இன் கோணங்களின் கூடுதல் காண இயலுமா?

இதே முறையை அனைத்துப் பலகோணங்களுக்கும் விரிவுபடுத்த இயலுமா?

சிந்தனைக் களம்

1. பலகோணத்தின் பக்கம் (n≥3), எனில் அதன் உள் கோணங்களின் கூடுதல் (n −2) × 180° .

2. ஒழுங்கு பல கோணத்திற்கு (பலகோணத்தின் அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம் எனில் அது ஒழுங்கு பலகோணமாகும்)

• ஒவ்வொரு உள் கோணத்தின் மதிப்பு [ (n–2 ) / n ] × 180°.

• ஒவ்வொரு வெளிக் கோண மதிப்பு 360°/n .

• குவிவு பலகோணத்தின் (Convex polygon) பக்கங்களை நீட்டுவதால் உண்டாகும் வெளிக் கோணங்களின் கூடுதல் 360° .

• பலகோணத்தின் பக்கங்கள் n எனில், அதன் மூலை விட்டங்களின் எண்ணிக்கை n(n–3 ) / 2.

4. நாற்கரங்களின் பண்புகள் (Properties of Quadrilaterals)

குறிப்பு

• ஒரு செவ்வகம் சமகோணமுள்ள இணைகரமாகும்.

• ஒரு சாய்சதுரம் சமபக்கம் உள்ள இணைகரமாகும்.

• ஒரு சதுரம் என்பது சமபக்கம் மற்றும் சம கோணமுள்ள இணைகரமாகும்.

• சதுரம் ஒரு செவ்வகம், ஒரு சாய்சதுரம் மற்றும் இணைகரமாகும்.

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

1. பின்வருவனவற்றிற்குக் காரணம் கூறுக.

(i) ஒரு சதுரம் என்பது ஒரு சிறப்புச் செவ்வகம் ஆகும்.

(ii) ஒரு சாய்சதுரம் என்பது ஒரு சிறப்பு இணைகரம் ஆகும்.

(iii) சாய்சதுரம் மற்றும் பட்டம் ஒரு பொதுவான பண்பைப் பெற்றுள்ளன.

(iv) சதுரம் மற்றும் சாய்சதுரம் ஒரு பொதுவான பண்பைப் பெற்றுள்ளன.

2. பின்வரும் முக்கோணங்கள் சர்வசம முக்கோணச் சோடியாக இணைக்கப்பட்டால் உண்டாகும் நாற்கரத்தின் வகை என்ன?

(i) சமபக்க முக்கோணம்

(ii) செங்கோண முக்கோணம்

(iii) இருசமபக்க முக்கோணம்

3. கொடுக்கப்பட்டுள்ளவற்றில் எவை இணைகரம் அல்லது இணைகரம் அல்ல என்பதைக் காண்க.

4. எவை நாற்கரம் அல்ல?

5. கொடுக்கப்பட்டுள்ளவற்றில் எவை சரிவகம் அல்லது சரிவகம் அல்ல என்பதைக் காண்க.

5. இணைகரத்தின் பண்புகள் (Properties of Parallelogram)

நாம் இப்போது ஒரு பயணத்தை மேற்கொள்ளலாம். பல்வகை நாற்கரங்களுக்கிடையே பயணிக்கும்பொழுது எதிர்கொள்ளும் பண்புகளைக் குறித்துக்கொள்வோம். எத்தகு பண்புகளை நாம் எதிர்நோக்கலாம்? அவற்றின் உண்மைத் தன்மையை எவ்வாறு அறிய இயலும்?

எடுத்துக்காட்டாக, ஓர் இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் இணை எனினும் அவை சமமா? பலமுறை இணைகரங்களை வரைந்து மெய்யா எனச் சோதித்து அறிய முடியும். உண்மையில் அவையனைத்திலும் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாகத்தான் இருக்கும். எனவே அனைத்து இணைகரங்களிலும் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாகத்தான் இருக்கும் என்கிற முடிவுக்கு வர இயலுமா? இயலாது. ஒருவேளை பின்னர் நாம் சற்றும் எண்ணிப்பார்க்காத, எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாக இல்லாத ஓர் இணைகரத்தைக் காண்பதற்கு வாய்ப்புள்ளது. எனவே, நமக்கு ஓர் அடிப்படை நிரூபணம் தேவை.

கீழ்க்காணும் படத்திலுள்ள (படம் 4.28) ABCD இணைகரத்தைக் கவனிப்போம். இதில் AB = CD மற்றும் AD = BC, என்றாலும் அவற்றை உறுதியாகக் கூற இயலுமா? முக்கோணங்களையும் அதன் பண்புகளையும் நாம் அறிவோம். எனவே, அவற்றின் வாயிலாக முயலலாம் என்றாலும் ABCD இணைகரத்தில் முக்கோணங்கள் ஏதும் இல்லை.

எனினும் AC ஐ இணைப்பதால் முக்கோணங்களை மிக எளிதாக உருவாக்க இயலும். (இவ்வாறு BD ஐயும் இணைக்கலாம் என்றாலும் இதைப்பற்றி பின்னர் காணலாம்). இப்போது நமக்கு AC ஐப் பொதுப் பக்கமாகக் கொண்ட முக்கோணங்கள் ADC மற்றும் ABC கிடைக்கின்றன. ஏதோ ஒரு வகையில் இவ்விரு முக்கோணங்களும் சர்வசமமானவை என நிரூபித்தால், AB = CD மற்றும் AD = BC என்பது உறுதியாகும்.

∆ADC மற்றும் ∆ABC முக்கோணங்கள் சர்வசமமானவை என்பதை எவ்வாறு மெய்ப்பிக்க இயலும்? சர்வசமத் தன்மையை நிலைநாட்டப் பல விதிகள் இருப்பதால் அவற்றில் எது இங்கு பொருத்தமானது என்பது ஆராயத்தக்கது.

இதுவரை ABCD என்பது ஓர் இணைகரம் எனும் உண்மையை நாம் பயன்படுத்தவே இல்லை. எனவே, AB||DC மற்றும் AD||BC எனும் கருத்துகளைப் பயன்படுத்தி ∆ADC மற்றும் ∆ABC ஆகியவை சர்வசமமானவை என்று காட்டலாம். பக்கங்கள் இணையானவை என்பதால் சில கோணங்கள் சமமாகத்தான் இருக்க வேண்டும். அத்தகைய பண்புகளை நாம் அறிவோமா? ஆம். நம்மால் இயலும். குறுக்குவெட்டிகள் பற்றியதுதானே!

இப்போது நமக்குத் தெளிவாகிறது. AD||BC மற்றும் AC ஒரு குறுக்குவெட்டி என்பதால் ∠DAC = ∠BCA. இதேபோன்று, AB|| DC, மற்றும் AC ஒரு குறுக்குவெட்டி என்பதால் ∠BAC = ∠DCA. பொதுவான பக்கம் AC என்பதனால் கோ −ப −கோ விதிப்படி, ∆ADC மற்றும் ∆ABC சர்வசமமானவை எனத் தேவையான முடிவுக்கு நம்மால் வர இயலும். இதன் மூலம் AB = CD மற்றும் AD = BC என்பது உறுதியாகிறது.

எனவே, ஓர் இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் எப்போதும் சமமாகத்தான் இருக்கும்.

இதுவரை கண்டறிந்த கருத்துகளை முறையான மெய்மைகளாகத் தொகுத்து எழுதலாம்.

தேற்றம் 1

ஓர் இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம்

தரவு : ABCD என்பது ஓர் இணைகரம்.

நிரூபிக்க : AB=CD மற்றும் DA=BC

அமைப்பு : AC ஐ இணைக்கவும்.

நிரூபணம் :

 ABCD என்பது ஓர் இணைகரம்

AD||BC மற்றும் AC ஆனது குறுக்குவெட்டி

∠DAC = ∠BCA                  →(1) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமம்)

AB||DC மற்றும் AC ஆனது குறுக்குவெட்டி

∠BAC = ∠DCA                   →(2) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமம்)

∆ADC மற்றும் ∆CBA இல்

 ∠DAC = ∠BCA                   (1) இலிருந்து

AC ஆனது பொதுப் பக்கம்

∠DCA = ∠BAC                   (2) இலிருந்து

∆ADC =≈ ∆CBA                   (கோ −ப −கோ)

ஆகவே AD = CB மற்றும் DC = BA (ஒத்த பக்கங்கள் சமம்)

மேற்கண்ட நிரூபணத்தின் வழியிலேயே, தேற்றத்திற்குத் தகுந்த ஒரு பண்பினையும் நிரூபித்தோம்.

தேற்றம் 2

இணைகரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டம் அதனை இரு சர்வசம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றது.

∠DAC = ∠BCA மற்றும் ∠BAC= ∠DCA என்பதிலிருந்து மேற்கண்ட நிரூபணம் கிடைத்தது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

எனவே, படம் 4.30 இன் படி,

∠BCA + ∠BAC = ∠DCA + ∠DAC

ஆனால், நாம் அறிந்த வரை:

∠B + ∠BCA + ∠BAC = 180°

மற்றும் ∠D + ∠DCA + ∠DAC = 180°

ஆகையால் ∠B = ∠D என்றுதான் இருக்க முடியும்.

இவ்வாறே தொடர்ந்து சற்று விடா முயற்சியோடு முயன்றால், ∠A = ∠C எனவும் காண்பிக்க இயலும். எனவே இவ்வாறு கீழ்க்காணும் தேற்றத்தையும் நம்மால் நிரூபிக்க முடியும்.

தேற்றம் 3

ஓர் இணைகரத்தில் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்.

இப்போது முக்கோணங்களின் சர்வசமத் தன்மை வழியே மேலும் சில முக்கோணங்களை அணுகலாம். படம் 4.32 இல் உள்ள இரு மூலைவிட்டங்களான AC மற்றும் DB யைக் கவனிப்போம். ∆ADC மற்றும் ∆CBA ஆகியவை சர்வசமம் என்பதை நாம் முன்னரே அறிந்துள்ளோம். இதேபோன்று காரணகாரிய விளக்கத்தோடு ∆DAB மற்றும் ∆BCD ஆகியவற்றை சர்வசமமானவை என்பதை நம்மால் எடுத்துக்காட்ட இயலும். மேலும் சில சர்வசம் முக்கோணங்களை இப்படத்தில் கண்டறிய முடியுமா?

ஆம். இரு மூலை விட்டங்களும் O என்ற புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. இப்போது நம்மால் ∆AOB, ∆BOC, ∆COD மற்றும் ∆DOA என 4 முக்கோணங்களைக் காண இயலும். இவற்றுள் சர்வசமச் சோடிகளை உங்களால் காண முடிகிறதா?

AB மற்றும் CD இணை மற்றும் சமம் என்பதனால், ∆AOB மற்றும் ∆COD ஆகியவை சர்வசமம் என எளிதாக ஊகிக்க முடியும். மீண்டும் கோ −ப −கோ விதியினைப் பயன்படுத்தி, இச்சமயத்தில் ∠OAB = ∠OCD மற்றும் ∠ABO = ∠CDO என்றிருக்க முயற்சிக்கலாம். ஆனால், இதில் முதலாவது பின்வரும் கூற்றான ∠CAB = ∠ACD (முன்பே நாம் நிறுவியுள்ளோம்) என்பதன் மூலம் அமைகிறது. மேலும், ∠CAB மற்றும் ∠OAB ஆகியவை ஒரே கோணங்கள்தாம் என்பதையும் உற்றுநோக்கலாம். (இதேபோல் ∠OCD மற்றும் ∠ACD சமம்). இப்போது BD என்பது ஒரு குறுக்குவெட்டி எனும் காரணத்தைப் பயன்படுத்துவதால், ∠ABD = ∠CDB என்பது கிடைக்கும். ஆனால், ∠ABD என்பதும் ∠ABO என்பதும் ஒன்றே, ∠CDB என்பதும் ∠CDO என்பதும் ஒன்றேதான் என்கிற முடிவை அடையலாம்.

மீண்டும் இதனை முறைப்படி நிரூபிப்பதன் மூலம், மற்றுமொரு தேற்றம் கிடைக்கிறது.

தேற்றம் 4

இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இரு சமக் கூறிடும்.

• எதிரெதிர்ப் பக்கங்கள் இணை.

• எதிரெதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்.

• அனைத்துக் கோணங்களும் செங்கோணங்கள்.

• மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இரு சமக் கூறிடும்.

• மூலைவிட்டங்கள் சமம்.

• மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்து மற்றும் சமம்.

• மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருசமக் கூறிடும்.

• ஒவ்வோர் அடுத்தடுத்த சோடிக்கோணங்கள் மிகைநிரப்பிகள்.

இணைகரத்தின் கோட்பாடுகளை இப்போது வலுப்படுத்தலாம். அடுத்துள்ள பெட்டிச் செய்தியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கூற்றுகளை ஒவ்வொன்றாகக் கருதுவோம். ஒவ்வொரு கூற்றையும் நிறைவு செய்யும் இணைகரம் எவ்வகை இணைகரம் என்பதைக் கண்டறிந்து தகுந்த காரணம் தருக.

இப்போது இணைகரங்கள் பற்றிய மேலும் சில அறிவார்ந்த பண்புகளைக் காணப் போகிறோம். இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இணைகரங்களின் ஏதாவது ஒரு பண்பினை நம்மால் முயன்று நிரூபிக்க இயலுமா? கீழ்க்காணும் படத்தில் (படம் 4.33) உள்ளது போன்று ஒரே அடித்தளத்தைப் பகிர்ந்துகொள்ளும் இரு இணைகரங்களின் பண்பினைப் பற்றி ஆராயலாம்.

ABCD மற்றும் ABEF ஆகிய இரு இணைகரங்களின் பொதுவான அடித்தளம் AB ஆகும். ∆ADF மற்றும் ∆BCE என்ற ஒரு சோடி முக்கோணங்கள் சர்வசமமாக உள்ளன என்பதை நம்மால் எளிதில் பார்க்க முடிகிறது. முன்பே , AD = BC மற்றும் AF= BE என உள்ளன. ஆனால், AD || BC மற்றும் AF|| BE என்பதனால், AD மற்றும் AF ஆல் அமைகின்ற கோணமும், BC மற்றும் BE ஆல் அமைகின்ற கோணமும் சமமாக இருத்தல் வேண்டும்.

எனவே, ∠DAF = ∠CBE. ஆகையால் ∆ADF மற்றும் ∆BCE முக்கோணங்கள் சர்வசமமானவை.

இத்தகைய உற்றுநோக்கல் மேலும் பல கருத்துகளுக்கு அடித்தளம் அமைக்கிறது. சர்வசம முக்கோணங்கள் ஒரே பரப்பளவு கொண்டவை. இதனால் ABCD மற்றும் ABEF இணைகரங்களின் பரப்பளவுகளைப் பற்றிய எண்ணம் நமக்கு எழுகிறது.

இணைகரம் ABCD இன் பரப்பளவு = ABED நாற்கரத்தின் பரப்பளவு + ∆BCE இன் பரப்பளவு

= ABED நாற்கரத்தின் பரப்பளவு + ∆ADF இன் பரப்பளவு

= ABEF இன் பரப்பளவு

இவ்வாறு மற்றுமொரு தேற்றத்தை நிரூபிக்கலாம்.

தேற்றம் 5

ஒரே அடித்தளத்தையும் ஒரு சோடி இணைக் கோடுகளுக்கிடையேயும் அமையும் இணைகரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம்.

இந்த வழிமுறைகள் மேலும் பல கருத்துகளை நிரூபிக்கின்றன. கிளைத்தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் அவற்றைத் தனித்தனியாக விளக்கமாக நிரூபிக்கத் தேவையில்லை.

கிளைத்தேற்றம் 1: ஒரு பொதுவான அடிப்பக்கத்தையும் ஒரு சோடி இணைகோடுகளுக்கு இடையேயும் அமையும் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகள் சமம்.

கிளைத்தேற்றம் 2: ஒரு பொதுவான அடிப்பக்கத்தையும் ஒரு சோடி இணைகோடுகளுக்கு இடையேயும் அமையும் ஒரு செவ்வகம் மற்றும் ஓர் இணைகரத்தின் பரப்பளவுகள் சமம்.

இணைகரங்கள் பெரியதாகவோ சிறியதாகவோ இருந்தாலும், அவற்றின் முனைகளிலுள்ள கோணங்கள், பக்கங்களின் நீளம் போன்றவை வெவ்வேறாக அமைந்திருந்தாலும், தேற்றங்கள் மற்றும் கிளைத்தேற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படும் இத்தகைய கூற்றுகள் அனைத்து இணைகரங்களுக்கும் பொருந்தும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.1

இணைகரம் ABCD இல் அடுத்தடுத்த கோணங்கள் ∠A மற்றும் ∠B இன் இருசமவெட்டிகள் P இல் சந்திக்கின்றன எனில், ∠APB = 90° என நிறுவுக.

தீர்வு

இணைகரம் ABCD இல், AP மற்றும் BP ஆனது அடுத்தடுத்த கோணங்கள் ∠A மற்றும் ∠B இன் இருசமவெட்டிகள்.

இணைகரத்தில் அடுத்தடுத்த கோணங்களின் கூடுதல் மிகை நிரப்பிகள். எனவே,

∠A + ∠B = 180°

1/2∠A +1/2∠B = 180° / 2

∠PAB + ∠PBA = 90°

∆APB இல்,

∠PAB + ∠APB + ∠PBA = 180° (முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல்)

∠APB = 180°  − [∠PAB + ∠PBA]

= 180°  − 90° = 90°

∠APB = 90° நிறுவப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 4.2

படம் 4.35 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள இணைகரம், ABCD இன் பக்கங்கள் AB மற்றும் DC இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q எனில் APCQ ஓர் இணைகரம் என நிறுவுக.

தீர்வு

AB மற்றும் DC இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q என்க.

ஆகவே, AP = 1/2  AB மற்றும்

QC = 1/2 DC   …………. (1)

ஆனால், AB = DC (இணைகரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம்)

 1/2 AB = 1/2 DC

AP = QC  …………. (2)

மேலும்,

AB || DC

AP || QC    ………….. (3)    [∵ABCD ஓர் இணைகரமாகும்]

 எனவே, நாற்கரம் APCQ இல் AP || QC மற்றும் AP = QC    [(2) மற்றும் (3) இல் இருந்து)]

⸫ நாற்கரம் APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.3

இணைகரம் ABCD இல் (படம் 4.36) ∠BAD = 120° மற்றும் AC ஆனது ∠BAD இன் கோண இருசமவெட்டி எனில், ABCD ஒரு சாய்சதுரம் என நிறுவுக.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை ∠BAD = 120° மற்றும்

 AC ஆனது ∠BAD இன் இரு சம வெட்டி

∠BAC = 1/2  × 120° = 60°

∠1 = ∠2 = 60°

இங்கு AD || BC மற்றும் AC ஆனது குறுக்குவெட்டி

∠2 = ∠4 = 60°

∆ABC ஆனது இரு சமபக்க முக்கோணம் [ ∵ ∠1 = ∠4 = 60° ]

AB = BC

இணைகரம் ABCD ஒரு சாய்சதுரமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.4

இணைகரம் ABCD இல், PD = BQ என்றுள்ளவாறு கோடு DB இன் மேலுள்ள புள்ளிகள் P மற்றும் Q எனில்,  APCQ ஓர் இணைகரம் என நிறுவுக

தீர்வு

ABCD ஓர் இணைகரம்.

OA = OC

மற்றும் OB = OD ( ∵ மூலை விட்டங்கள் இரு சமக் கூறிடும்)

இப்போது

OB + BQ = OD + DP

OQ = OP மற்றும் OA = OC

⸫ APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.