ஆயத்தொலை வடிவியல் | கணக்கு - ஆயத் தொலைவைக் கண்டறிதல் (Devising a Coordinate System) | 9th Maths : UNIT 5 : Coordinate Geometry
9 ஆம் வகுப்பு கணக்கு : அலகு 5 : ஆயத்தொலை வடிவியல்
ஆயத் தொலைவைக் கண்டறிதல் (Devising a Coordinate System)
ஆயத் தொலைவைக் கண்டறிதல் (Devising
a Coordinate System)
நீ உன் நண்பனிடம் 5 செ.மீ × 3 செ.மீ அளவுள்ள செவ்வகத்தை வெற்றுத் தாளில் வரையச் சொல்லவும். அந்த அளவுகளுக்கு அவனால் செவ்வகம் வரைய முடியும், ஆனால் எங்கே வரைய வேண்டும் என அவன் கேட்டால், நீ எப்படிப் பதில் சொல்வாய்? இப்பொழுது படத்தைப் பார். நீ இதை மற்றொருவருக்கு எப்படி விளக்குவாய்?
மேற்கூறிய படத்தை (படம் 5.3) ஆய்வு செய்வோம். இதில் சாதாரணமாகக் குறிப்பிட்ட வீட்டை அடையாளப்படுத்துதல் என்பது மிகக் கடினமான பணியாகும். ஏதேனும் ஓர் இடத்தையோ அல்லது ஒரு பொருளையோ அடையாளத்திற்காக நிறுவும்பொழுது நமக்கு மற்றோர் இடத்தையோ அல்லது பொருளையோ அடையாளப்படுத்துதல் எளிதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கொடியைப் பொருத்திவிட்டு அந்தக் கொடிக்கு இடது புறமாக உள்ள வீட்டைப் பற்றியோ, அவ்வீட்டிற்குக் கீழே அமைந்துள்ள உணவகத்தைப் பற்றியோ, அதற்கு வலப்புறமாக அமைந்துள்ள அலை ஏற்பியைப் (Antenna) பற்றியோ பேசலாம்.
படம் 5.4 இல் உள்ளது போல், இரு செங்குத்துக்கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியைக் கொடிக்கு அருகில் அமையுமாறு வரைக. இப்பொழுது நீ உன் நண்பனிடம் கொடிக்கம்பத்தை ஆரம்ப இடக்குறியீடாகக் கொண்டு படத்தின் மொத்த நீள அகலத்தை 2 செ.மீ. வலப்புறம், 3 செ.மீ. மேற்புறம், மேலும், உனக்குத் திசை தெரிந்தால் 2
செ.மீ. கிழக்கே , 3 செ.மீ. வடக்கே எனவும் கூறலாம்.
பொதுவாக இது போலவே எண்கோடு என்பது பூச்சியத்திற்கு வலப்புறமாக மிகை எண்களையும், பூச்சியத்திற்கு இடப்புறமாகக் குறை எண்களையும் கொண்ட கிடைக்கோட்டில் குறிப்பதாகும். நாம் இப்பொழுது மற்றோர் எண்கோட்டு நகலைச் செங்குத்தாகக் கருதுவோம். ஆனால் பூச்சியத்திற்கு மேல்புறம் மிகை எண்களையும் கீழ்ப்புறம் குறை எண்களையும் குறிப்போம். (படம் 5.5).
இரு எண்கோடுகளும் எங்கே சந்திக்கின்றன? இரு கோடுகளும் பூச்சியத்திலேயே சந்திக்கின்றன. இதுவே நம்முடைய கொடி குறிப்பிட்ட இடமாகும். இரண்டு கோடுகளிலும் இதனோடு தொடர்புடைய மற்ற எண்களைப் பற்றிப் பேசலாம். ஆனால், இப்பொழுது நீங்கள் இரு எண்கோட்டில் உள்ள எண்களை மட்டுமல்லாமல் அதைவிட அதிகமாகப் பார்க்கலாம்.
நாம் வலப்புறம் 2 அலகும் மேல்புறம் 3 அலகும் செல்வதாக நினைத்தால் நாம் இந்த இடத்தை (→ 2, ↑ 3) என
அழைக்கலாம்.
செங்குத்து, கிடைநிலை, மேல், கீழ் ... போன்ற அனைத்தையும் பயன்படுத்துவது எளிதல்ல. எனவே, இதை நாம் சுருக்கமாக (2, 3) எனக் கூறுவோம். மேலும் வலப்புறம் 2 அலகு மற்றும் மேற்புறம் 3 அலகு என்பதைப் புரிந்துகொண்டுள்ளோம்.
நாம் முதலில் 3 அலகு மேற்புறம் மற்றும் 2 அலகு வலப்புறம் சென்று அடைந்த இடமான (2, 3) இக்கான வழிமுறையும் (3, 2) இக்கான வழிமுறையும் ஒன்றாகுமா? என்பதைக் கருத்தில் கொள்க. மேலும், ( −2, 3) எவ்வாறு அமையும்? இது எப்பொழுதும் (0, 0) இலிருந்து 2 அலகு இடப்புறம் மற்றும் 3 அலகு மேற்புறம் அமையும். (2, −3) இக்கான வழிமுறை என்ன? இது குறிப்பிடுவது 2 அலகு வலப்புறம் 3 அலகு கீழ்ப்புறம். நமக்கு இப்பொழுது கிடை மற்றும் செங்குத்து எண் கோடுகளுக்குப் பெயரிடவேண்டிய தேவை உள்ளது. கிடைநிலை எண் கோட்டை x
அச்சு மற்றும் செங்குத்து எண் கோட்டை y
அச்சு எனவும் அழைப்போம். வலப்புறத்தில் X எனவும் இடப்புறத்தில் X' எனவும் மேல்புறம் Y எனவும் கீழ்ப்புறம் Y' எனவும் குறிப்போம்.
x −ஆயத் தொலைவானது கிடை அச்சுத் தொலைவு (abscissa) எனவும் y
ஆயத் தொலைவானது செங்குத்து அச்சுத் தொலைவு (ordinate) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. ஆய அச்சுகள் வெட்டும் புள்ளி (0,0) ஐ ஆதி (origin) என்போம்.
குறிப்பு
(0,0) ஐத் தாளின் மையத்திலோ அல்லது வேறு எங்கேயோ குறிப்பது ஒரு பொருட்டல்ல. நமக்கு எப்பொழுதும் (0,0) ஆதிப்புள்ளியாகும். மேலும், அங்கிருந்தே புள்ளிக்கான எல்லா வழிமுறைகளும் தொடரும் ஆதிப்புள்ளியை O என்ற எழுத்தால் குறிப்பிடுவோம்.
நாம் இப்பொழுது தாளிலுள்ள எந்தவொரு புள்ளியையும் (x,y)
என விளக்கலாம். எவ்வாறாயினும் நம்முடைய தாளில் 1, 2, .... குறிப்பது எதை? இந்த எண்களைக் குறிப்பிட நமக்குச் சில பொருத்தமான அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டிய தேவை உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் 1 அலகை 1 செ.மீ. எனத் தேர்ந்தெடுப்போம். ஆகவே, (0,0) −க்கு
வலப்புறமாக 2 செ.மீ. நகர்ந்து மற்றும் மேல்நோக்கி 3 செ.மீ. நகர்தலே (2,3) இன் வழிமுறையாகும். அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது தன்னிச்சையானது என்பதை நினைவில்கொள்ளவேண்டும்.
நாம் 1 அலகை 2 செ.மீ. என எடுப்போமேயானால் நமக்குக் கிடைக்கும் படங்கள் மிகப் பெரியதாகும். ஆனால் தொடர்புள்ள தூரம் எப்பொழுதும் மாறாது. இப்போது நம்மிடம் உள்ளது வெறும் காகிதம் அல்ல. தளத்தில் உள்ள எண்ணற்ற புள்ளிகளை விளக்கும் மொழி ஆகும்.
x அச்சும் y
அச்சும் தளத்தை நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. அவற்றை நாம் காற்பகுதிகள் என்போம். (நினைவில் கொள்க: நாற்கரம் என்பது நான்கு பக்கங்களைக் கொண்டது. நான்கு காற்பகுதிகள்) பொதுவாக, அவை I,
II, III மற்றும்
IV என எண்ணிடப்படும். இதில் I ஆனது கிழக்கு மேற்பகுதியையும், II ஆனது மேற்கு மேல்பகுதியையும், III ஆனது மேற்கு கீழ்ப் பகுதியையும் மற்றும், IV ஆனது கிழக்குக் கீழ்ப்பகுதியையும் கடிகார எதிர்ச்சுற்றில் பயணத்தையும் உள்ளடக்கியதாகும்.
குறிப்பு
இந்த வழிமுறையை (கடிகார எதிர் சுற்று) கடிகாரச் சுற்றில் அல்லாமலோ அல்லது வேறு ஏதேனும் காற்பகுதியில் இருந்தோ தொடங்கலாமா? இது ஒன்றும் பொருட்டல்ல, ஆனால், இது சில நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பிருந்தே நம்மால் பின்பற்றப்படும் சில சிறந்த வழிமுறைகளில் ஒன்றாகும்.
குறிப்பு
• x அச்சில் அமையும் எந்த ஒரு புள்ளி P யின் y அச்சுத் தொலைவு பூச்சியம் ஆகும். அதாவது, P (x,0).
• y அச்சில் அமையும் எந்த ஒரு புள்ளி Q இன் x அச்சுத் தொலைவு பூச்சியம் ஆகும். அதாவது, Q (0, y)
• (x, y) ≠ (y, x) ; x மற்றும் y சமமல்ல
• செவ்வக ஆய அச்சுக்களை உடைய தளம் கார்ட்டீசியன் தளம் ஆகும்.
1. கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்தல் (Plotting Points in Cartesian Coordinate Plane)
(4,5)
என்ற புள்ளியைக் கார்ட்டீசியன் ஆய அச்சுத் தளத்தில் குறிக்க, x அச்சில் 4 அலகுகள் நகர்ந்து, அங்கிருந்து ஒரு செங்குத்துக் கோடு x
= 4 வரைக.
இதே போல் y
அச்சில் 5 அலகுகள் நகர்ந்து அங்கிருந்து ஒரு கிடைமட்டமாகக் கோடு y
= 5 வரைக.
இந்த இரு கோடுகள் சந்திக்கும் இடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளி (4,5) இன் இடம் ஆகும்.
இப்புள்ளியானது x
அச்சில் இருந்து 5 அலகுகள் தொலைவிலும் y
அச்சில் இருந்து 4 அலகுகள் தொலைவிலும் அமையும். இவ்வாறு கார்ட்டீசியன் தளத்தில் (4,5) என்ற புள்ளி குறிக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 5.1
பின்வரும் புள்ளிகள் எந்தக் காற்பகுதியில் அமையும்?
(அ)
(3, −8)
(ஆ)
( −1, −3)
(இ)
(2, 5)
(ஈ)
( −7, 3)
தீர்வு
(அ)
x − ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு மற்றும் y
− ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு. எனவே, (3, −8) என்ற புள்ளி IV ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(ஆ)
x −ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y
−ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு. எனவே, ( −1, −3) என்ற புள்ளி III ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(இ)
x −ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு மற்றும் y
−ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே, (2,5) என்ற புள்ளி I
ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(ஈ)
x −ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y
− ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே, ( −7 , 3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
எடுத்துக்காட்டு 5.2
A(2, 4) , B( − 3, 5), C(− 4, − 5), மற்றும் D(4, − 2) என்ற புள்ளிகளைக் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் குறிக்கவும்.
தீர்வு
(i) (2,4) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க, x = 2 என்ற குத்துக்கோடு மற்றும் y
= 4 என்ற
கிடைமட்டக் கோடும் வரைக. இவ்விரு கோடுகளின் சந்திப்புப் புள்ளி (2,4) இன் அமைவிடம் ஆகும். இம்முறையில் A(2,4) என்ற புள்ளி கார்ட்டீசியன் தளத்தில் காற்பகுதி I இல் குறிக்கப்படுகிறது.
(ii) ( − 3, 5) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க, x = − 3 என்ற குத்துக்கோடு மற்றும் y
= 5 என்ற
கிடைமட்டக் கோடும் வரைக. இவ்விரு கோடுகளின் சந்திப்புப் புள்ளி ( − 3 , 5) இன் அமைவிடம் ஆகும். இம்முறையில் B( − 3 , 5) என்ற புள்ளி கார்ட்டீசியன் தளத்தில் காற்பகுதி II இல் குறிக்கப்படுகிறது.
(iii) ( − 4, − 5) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க, x = − 4 என்ற குத்துக்கோடு மற்றும் y
= − 5 என்ற கிடைமட்டக் கோடும் வரைக. இவ்விரு கோடுகளின் சந்திப்புப் புள்ளி ( − 4 , − 5) இன் அமைவிடம் ஆகும். இம்முறையில் C( − 4 , − 5) என்ற புள்ளி கார்ட்டீசியன் தளத்தில் காற்பகுதி III இல் குறிக்கப்படுகிறது.
குறிப்பு
கார்ட்டீசியன் தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் x அச்சுத் தொலைவு மற்றும் y அச்சுத் தொலைவு இரண்டையும் இடமாற்றம் செய்தால் அப்புள்ளி கார்ட்டீசியன் தளத்தில் வேறொரு புள்ளியின் அமைவிடத்தைப் பெறும். எப்பொழுது அவை இரண்டும் ஒன்றாக அமையும் எனச் சிந்திக்க!
(iv) (4, −2) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க, x = 4 என்ற குத்துக்கோடு மற்றும் y
= −2 என்ற கிடைமட்டக் கோடும் வரைக. இவ்விரு கோடுகளின் சந்திப்பு புள்ளி (4 , −2) இன் அமைவிடம் ஆகும். இம்முறையில் D(4 , −2) என்ற புள்ளி கார்ட்டீசியன் தளத்தில் காற்பகுதி IV இல் குறிக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 5.3
A(2,2), B( −2,2), C( −2, −1), மற்றும் D(2, −1) என்ற புள்ளிகளைக் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் குறிக்கவும். அந்தப் புள்ளிகளை வரிசைப்படி இணைக்கும்போது கிடைக்கும் வடிவத்தை விவாதிக்கவும்.
தீர்வு
ABCD ஒரு
செவ்வகம் ஆகும். இச்செவ்வகத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் பரப்பளவைக் காண முடியுமா?
குறிப்பு
x −அச்சிற்கு இணையான கோட்டில் அமைந்திருக்கும் புள்ளிகளின் y − அச்சுத் தொலைவு சமமானதாக அமையும்.