தேற்றம், எடுத்துக்காட்டு, தீர்வு | ஆயத்தொலை வடிவியல் | கணக்கு - பிரிவுச் சூத்திரம் (Section Formula) | 9th Maths : UNIT 5 : Coordinate Geometry
பிரிவுச்
சூத்திரம் (Section
Formula)
கோட்டுத் துண்டை இரு சமக்கூறிடுதல் மற்றும் மூன்று சமக்கூறிடுதல் பற்றிக் கற்றோம். இப்போது புள்ளிகள் (x1
, y1 ) (மற்றும் (x2 ,
y2) ஆகியவற்றை
இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை m:n
என்ற விகிதத்தில் பிரித்தலைக் கற்றுக்கொள்வோம்.
ஒரு கோட்டுத்துண்டு AB மற்றும் ஒரு மிகை மெய் எண் r
கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
நாம் AB ஐ r:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளி P இன் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண இருக்கின்றோம்.
அதாவது AP / PB = r / 1 அல்லது AP = r(PB) .
இதிலிருந்து x − x1 = r(x2 − x)
இதைத் தீர்க்க x
= ( rx2 + x1) / (r + 1) ...... (1)
நாம் இந்த முடிவை ஒரு கோட்டின் மேல் அமைந்துள்ள எந்தவொரு புள்ளிக்கும் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்
AP: PB = r
: 1 என
எடுக்க, நாம் பெறுவது A'P' : P'B' = r :1.
எனவே A'P' = r(P'B')
ஆகவே, (x − x1) = r(x2 − x)
இதிலிருந்து நாம் பெறுவது,
x = ( rx2
+ x1 ) / (r + 1) ……[(1)
ஐப் பார்க்க ]
இதே வழியில் நாம் பெறுவது y
= ( ry2 + y1) / (r + 1)
A மற்றும்
B இக்கு
இடையில் P மற்றும் AP / PB = r , எனில் நாம் பெறும் வாய்ப்பாடு P ஆனது
. r ஆனது
m/n
என எடுக்கப்பட்டால், பிரிவுச் சூத்திரமானது [
( mx2 + nx1 ) / (m + n) , ( my2
+ ny1) / (m + n) ] , எனக் கிடைக்கிறது. இதுவே நிலையான அமைப்பாகும்.
சிந்தனைக் களம்
(i) m = n = 1 எனில் நிகழ்வது என்ன? நாம் முன்பே நிறுவிய முடிவு ஒன்றை அடையாளம் காண முடிகிறதா?
(ii) AP: PB = 1 : 2 மற்றும் AQ : QB = 2:1 எனில் AP : AB என்ன ? AQ : AB என்ன ?
குறிப்பு
• புள்ளிகள் (x1
, y1 ) மற்றும் (x2
, y2) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை X −அச்சு பிரிக்கும் விகிதம் − y1 / y2 மற்றும் Y −அச்சு பிரிக்கும் விகிதம் − x1 / x2.
• மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் எனில், அவற்றின் ஒரு புள்ளி மற்ற இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை r : 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
• கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு கோட்டில் அமையும்பொழுது மட்டுமே பிரிவுச் சூத்திரம் பயன்படும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
• இந்தப் பிரிவுச் சூத்திரமானது ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம், உள்வட்ட மையம், வெளிவட்ட மையம் போன்றவற்றைக் காணப் பயன்படுகிறது. இயற்பியலில் இது பொருளின் பொருண்மை மையம், சமநிலைப் புள்ளிகள் போன்ற பலவற்றில் பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 5.17
புள்ளிகள் (3,5) மற்றும் (8, −10) ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க.
தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A (3,5), B(8, −10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத் துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
இங்கு , x1
= 3, y1 = 5, x2 = 8, y2 =
−10 மற்றும்
m = 3, n = 2
ஆகையால்,
எடுத்துக்காட்டு 5.18
A( −3,6) மற்றும் B(1, −2) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டைப் புள்ளி P( −2,4) ஆனது உட்புறமாக என்ன விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( −3, 6) மற்றும் B(1, −2) ஆகும். P( −2, 4) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக m : n
என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி
= P( −2,4) .....(1)
இங்கு x1
= −3, y1 = 6, x2
= 1, y2 = −2
x −இன்
ஆயத்தொலைவைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது (m − 3n) / (m+n) = −2 அல்லது
m
− 3n
= −2m
− 2n
3m = n
m / n
= 1 / 3
m
: n = 1: 3
P ஆனது
AB ஐ
உட்புறமாக 1:3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது.
குறிப்பு
மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் y இன் ஆயத்தொலைவுகளைச் சமப்படுத்தியும் இதே முடிவைப் பெறலாம். அதை முயன்று பார்க்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு 5.19
புள்ளிகள் A ( −3,5) மற்றும் B ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டைப் புள்ளி P( −2,3) ஆனது 1:6 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கின்றது எனில் B இன் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க?
தீர்வு
புள்ளிகள் A( −3,5) மற்றும் B(x2 , y2)
என்க.
புள்ளி P( −2,3)ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:6 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி
ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த
ஆகவே, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகள் (4, −9) ஆகும்.