யூக்ளிடின் விளையாட்டு

யூக்ளிடின் விளையாட்டு

அம்முவும், பாலுவும் ஒரு விளையாட்டு விளையாடுகின்றனர். ஒவ்வொருவரும் ஓர் எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கின்றனர். மேலும் அதனை ஒரு தாளில் எழுதி வைத்துக் கொள்கின்றனர். அம்மு எடுத்த எண் பாலு எடுத்த எண்ணை விடப் பெரியதாக இருந்தால், அம்மு அந்த இரு எண்களின் வேறுபாட்டை கண்டுபிடிப்பாள். அதனைப் பாலுவுக்குத் தெரிவிப்பாள். இப்போது பாலுவின் வாய்ப்பு, அவன் தன்னிடம் உள்ள எண்ணிற்கும் அம்மு தெரிவித்த எண்ணிற்கும் வேறுபாடு கண்டுபிடித்து அம்முவுக்குத் தெரிவிப்பான். அவர்கள் காணும் வேறுபாடும், அந்த எண்ணும் சமமாக வரும் வரை இச்செயலைத் தொடர்வார்கள். இறுதியில் யாரிடம் இரண்டு எண்களும் சமமாகக் கிடைக்கின்றனவோ அவர் இந்த விளையாட்டின் வெற்றியாளர் ஆவார். எப்படி விளையாடுகிறார்கள் எனப் பார்ப்போம்.

அம்மு 34 என்ற எண்ணையும் பாலு 19 என்ற எண்ணையும் தேர்ந்தெடுப்பதாகக் கொள்வோம். முதலில் அம்மு 34 மற்றும் 19 என்ற எண்களின் வேறுபாடு 15 எனக் கண்டறிந்து பாலுவிடம் காண்பிப்பாள். இப்போது பாலுவிடம் உள்ள 19 மற்றும் அவள் காண்பித்த 15, ஆகியவற்றின் வேறுபாடான 4ஐ அம்முவிடம் காண்பிப்பான் மேலும் இச்செயலைத் தொடர்ந்தால் இறுதியாக அம்மு வெற்றியாளர் ஆவார். (பெரிய எண்ணை முதலில் வைத்து வேறுபாடு காண்க).

இப்போது அவர்கள் (24, 18) என்ற எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்து அம்மு தொடங்குவதாகக் கொள்வோம்.

இதைத் தொடர்ந்தால் மீண்டும் அம்மு வெற்றி பெறுவாள். அம்மு (18, 6) எனத் தொடங்கினால் கிடைப்பது (18, 6) → (12, 6) → (6, 6) பாலு வெற்றியாளர் ஆவார்.

எந்தச் சோடி எண்களுக்கு முதல் போட்டியாளர் வெற்றியடைகிறார் மற்றும் எப்போது இரண்டாவது போட்டியாளர் வெற்றியடைகிறார் என்பதை உன்னுடைய நண்பர்களுடன் விளையாடிக் காண்க. 

இதிலிருந்து நாம் ஆர்வமான ஒன்றைக் காண முடியும். எந்த எண் சோடியுடன் நாம் தொடங்கினாலும் முடியும் எண்களைப் பொருத்து நீங்கள் என்ன கூற முடியும்? இரண்டு எண்களும் சமமாக வரும்போது நிறுத்திக் கொள்கிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. அது நாம் முதலில் எடுத்துக்கொண்ட இரு எண்களின் மீப்பெரு பொதுக் காரணி (மீ.பொ.கா). எனவே மேற்கண்ட செயலானது ஒரு தொடர் வளர் செயல்முறையாக அமைகிறது. அது கொடுக்கப்பட்ட இரு எண்களின் மீ.பொ.கா–வைத் தருகிறது. a மற்றும் b (இங்கு a > b) என்ற எண்களின் மீ.பொ.கா–வானது, a மற்றும் a–b என்ற எண்களின் மீ.பொ.கா–வுக்குச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

16 மற்றும் 28 என்ற இரு எண்களின் மீ.பொ.கா காண்க.

16 மற்றும் 28 இன் மீ.பொ.கா

16 = 2 × 2 × 2 × 2

28 = 2 × 2 × 7

(16, 28) இன் மீ.பொ.கா = 2 ×  2 = 4

(16, 28 – 16) இன் மீ.பொ.கா

16 = 2 × 2 × 2 × 2

12 = 2 × 2 × 3

(16, 12) இன் மீ.பொ.கா = 2 × 2 = 4

எனவே, 16, 28 இன் மீ.பொ.கா = (16, 28–16) இன் மீ.பொ.கா

a மற்றும் b, (இங்கு a > b) என்ற எண்களின் மீ.பொ.கா–வானது, a மற்றும் a–b என்ற எண்களின் மீ.பொ.கா – வுக்குச் சமம்.

யூக்ளிடின் வழிமுறை

12 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம்.

12ஐ 7ஆல் வகுப்பதாகக் கொண்டால், பிறகு ஈவு = 1, மீதி = 5 எனக் கிடைக்கும். இங்கு 12ஐ 12 = 1 × 7 + 5 என எழுதலாம்.

12ஐ, 2 ஆல் வகுப்பதாகக் கொண்டால், நமக்கு ஈவு = 6, மீதி = 0 எனக் கிடைக்கும். மேலும் 12ஐ, 12 = 2 × 6 + 0 என எழுதலாம்.

இதிலிருந்து நாம் தெரிந்துகொள்வது ஓர் எண் 'a' ஐ மற்றோர் எண் 'b′ ஆல் வகுத்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் ஈவு 'q' மற்றும் மீதி 'r' ஆகும். இங்கு a என்பதை a = b × q + r என ஒரே ஒரு வழியில் மட்டுமே எழுதலாம். அதாவது வகுபடும் எண் = வகு எண் × ஈவு + மீதி. இது யூக்ளிடின் வழிமுறை எனப்படும்.