பின்னங்கள்

இயல் 1

பின்னங்கள்

கற்றல் நோக்கங்கள்

● வேற்றினப் பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்.

● தகா பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு பின்னங்களைப் பற்றி புரிந்துகொள்ளுதல்.

● தகா பின்னத்தைக் கலப்பு பின்னமாகக் குறிப்பிடுதல் மற்றும் அவற்றின் மறுதலை.

● கலப்பு பின்னங்களில் நான்கு அடிப்படைச் செயல்களைச் செய்தல்.

மீள்பார்வை

I பின்னங்கள்

அன்புவின் பிறந்தநாள் விழாவிற்காக, அவருடைய அப்பா, அம்மா மற்றும் மாமா ஆகியோர் தனித்தனியாக ஒரே அளவுடைய கட்டிகையை (Cake) வாங்கினார்கள். பிறந்தநாளைக் கொண்டாடும் விதமாக, கட்டிகையை வெட்டும்போது அவருடைய இரண்டு நண்பர்கள் வந்திருந்தனர். ஆகவே, அன்பு ஒரு கட்டிகையைச் சம அளவுடைய 2 துண்டுகளாக வெட்டி, நண்பர்களுக்கு அளித்தார். சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு, மூன்று நண்பர்கள் வந்தார்கள். மற்றொரு கட்டிகையை 3 சமத் துண்டுகளாக வெட்டி, அவர்களுக்கு அத்துண்டுகளை அளித்தார். இந்நிலையில், அவர் வீட்டில் மேலும் ஒரு கட்டிகை இருந்தது. எனவே, அன்பு அந்தக் கட்டிகையை அவருடைய நான்கு குடும்ப உறுப்பினர்களோடு பங்கிட்டுக்கொள்ள விரும்பினார். மூன்றாவது கட்டிகையை 4 சமத் துண்டுகளாக வெட்டி அவர்களுக்கு அளித்தார்.

நபர்களின் எண்ணிக்கைக்கேற்ப, அன்பு எப்படி கட்டிகையைச் சமமாகப் பகிர்ந்தளித்தார் என்பதைப் பின்வரும் அட்டவணைக் காண்பிக்கின்றது.

மேலே குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில், பிறந்தநாள் கொண்டாட்டத்தில் பங்கேற்ற நபர்களின் எண்ணிக்கைக்கேற்ப 3 கட்டிகைகளில் ஒவ்வொன்றும் சமத் துண்டுகளாகப் பகிர்ந்தளிக்கப்பட்டன. அன்பு ஒரு கட்டிகையை 4 பேருக்குப் பகிர்ந்தளித்தபோது, ஒவ்வொருவரும் கட்டிகையின் காற்பகுதியைப் பெற்றனர். அந்தக் காற்பகுதியானது, 2 மற்றும் 3 நபர்களுக்கிடையே சமமாகப் பகிர்ந்தளிக்கப்பட்ட கட்டிகையின் அளவுடன் ஒப்பிடும்போது சிறியது. நபர்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, அவர்கள் பெறும் கட்டிகையின் அளவு குறைகிறது.

சம அளவுடைய மூன்று கட்டிகைகளை அன்புவின் குடும்ப உறுப்பினர்களுக்குச் சமமாகப் பங்கிட்டால், ஒவ்வொருவருடைய பங்கும் என்னவாக இருக்கும்? ஒவ்வொருவரும் பங்கு கட்டிகையைப் பெறுவார்கள்.

இங்கு ஒரு முழுப் பொருளைச் சமப் பகுதிகளாகப் பிரித்து, அதில் ஒவ்வொரு பகுதியையும் பின்னம் என்கிறோம். ஒரு பொருளிலிருந்து அல்லது குழுவாக உள்ள பொருள்களின் மொத்தச் சமப் பகுதிகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதி அல்லது பகுதிகளைக் குறிப்பதைப் பின்னம் எனக் கூறலாம். ஒரு கட்டிகையை 2 நபர்கள், 3 நபர்கள் மற்றும் 4 நபர்களுக்கிடையே பகிர்ந்துகொள்வதைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.

சிந்திக்க: மூன்று கட்டிகைகளையும் விழாவின் மொத்தப் பங்கேற்பாளர்களுக்கும் சமமாகப் பிரித்தால் ஒவ்வொருவரும் பெறும் பங்கு யாது? விவாதிக்க.

இவற்றை முயல்க

1. பின்வருவனவற்றை உற்றுநோக்குக. அதில் நிழலிடப்பட்ட பகுதிகளைப் பின்னமாகக் குறிப்பிடுக. 

தீர்வு : 

விடை:  (i) 3/8 (ii) 5/15 (iii) 3/9 (iv) 5/9

2. பின்வரும் குடுவையைப் பார்த்து, அவற்றில் உள்ள நீரின் அளவினைப் பின்னமாக எழுதி அதனை ஏறு வரிசையில் அமைக்க.

தீர்வு : 

(i) 1000 மில்லிலிட்டர் அல்லது 1 லிட்டர்

(ii) 250 மில்லிலிட்டர் அல்லது 1/4 லிட்டர்

(ii) 750 மில்லிலிட்டர் அல்லது 3/4 லிட்டர்

(ii) 500 மில்லிலிட்டர் அல்லது 1/2 லிட்டர்

3. பின்வருவனவற்றின் நிழலிடப்பட்ட பகுதியினைப் பின்னமாக எழுதுக.

தீர்வு : 

விடை:

(i) 2/3

(ii) 3/4

(iii) 4/5

4. முக்கோணத்தில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கும் பின்னத்தை எழுதுக.

தீர்வு : 

விடை: 1/4

5. பின்வருவனவற்றில் நிழலிடப்பட்ட மற்றும் நிழலிடப்படாத பகுதிகளைக் குறிக்கும் பின்னங்களைக் காண்க.

தீர்வு : 

விடை:  2/8, 6/8

II சமானப் பின்னங்கள்

முரளியிடம் ஒரு கடலை மிட்டாய் இருந்தது. அதை இராணியோடு சமமாகப் பகிர்ந்துகொள்ள விரும்பினார். எனவே அதை இரண்டு சமப் பாகங்களாகப் பிரித்தார். ஒவ்வொருவருக்கும் இரண்டில் ஒரு துண்டு கிடைத்தது. இது கடலை மிட்டாயில் பாதியாகும். அவர்களுடைய பங்கில் ஒரு பாதியைக் காலை இடைவேளையிலும், மற்றொரு பாதியை மாலை இடைவேளையிலும் சாப்பிட முடிவு செய்தார்கள். அவர்களிடம் இப்போதுள்ள துண்டுகளின் எண்ணிக்கை 4 ஆக மாறியுள்ளது. ஒவ்வொருவருக்கும் 4 துண்டுகளில் 2 துண்டுகள் கிடைக்கப் பெற்றுள்ளன. அதாவது . இதுவும் முழுக் கடலை மிட்டாயில் பாதியாகும். படங்களைப் பார்க்கவும். இரண்டு வகையான பங்கீட்டிலும் அவர்களுக்குப் பாதி கடலை மிட்டாயே கிடைத்துள்ளது.

எனவே, = ஆகவே,  என்பது இக்குச் சமானப் பின்னமாகும்.

கடலை மிட்டாயை 6 சமதுண்டுகளாகப் பிரித்தால் ஒவ்வொருவருக்கும் பங்கு கிடைக்கும். கடலை மிட்டாயை 8 சம துண்டுகளாகப் பிரித்தால் ஒவ்வொருவரும் பெறும் பங்கு என்ன? இதிலிருந்து நாம் உற்று நோக்குவது  =  = 

இன் சமானப் பின்னங்களைப் பெறுவது எப்படி?

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் சமானப் பின்னத்தைக் கண்டறிய, அப்பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதியை ஒரே எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்.

செயல்பாடு

செவ்வக வடிவத் தாளினை எடுத்துக்கொள்க. அதை இரண்டு சமப் பகுதிகளாக மடிக்கவும். அதில் ஒரு பகுதியை நிழலிட்டு அதன் பின்னத்தை எழுதுக. மீண்டும் அதனைச் சரிபாதியாக மடிக்கவும். அதில் நிழலிடப்பட்ட பகுதியின் பின்னத்தை எழுதுக. இச்செயல்பாட்டினை ஐந்து முறை தொடர்ந்து செய்து, நிழலிடப்பட்ட பகுதியின் பின்னத்தை எழுதுக. மடிக்கப்பட்ட தாளில் உருவாகும் ½ இன் சமான பின்னங்களை உங்களுடைய நண்பர்களுக்கு நிரூபித்துக் காட்டுக.

எடுத்துக்காட்டு 1

மற்றும் இன் மூன்று சமானப் பின்னங்களைக் காண்க.

தீர்வு

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் சமான பின்னங்களில் விடுபட்ட எண்களைக் காண்க.

அறிமுகம்

• மூன்றே கால், நான்கரை, ஐந்தேகால் மணி நேரம் உள்ளது என நேரத்தைக் குறிப்பிடலாம் ; 

• 'கால் / அரை / முக்கால் அளவு வேலை முடிந்துள்ளது' என முடிக்கப்பட்ட வேலையின் அளவைக் கூறலாம் ;

• 'அரை கிலோ மீட்டர் / இரண்டரை கிலோ மீட்டர்' என இரண்டு இடங்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் குறிப்பிடலாம் ;

• 'பாதி அளவு அரிசி, பாதி அளவு பருப்பு' எனச் சமைப்பதற்குத் தேவையான பொருள்களின் அளவைக் கூறலாம், இவ்வாறான அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழலில் பின்னங்கள் பயன்படுகின்றன.

எங்கும் கணிதம் – அன்றாட வாழ்வில் பின்னங்கள்

பூமியில் பத்தில் ஒன்பது பங்கு நீர் உப்பு நீராகும்.

சென்னை எழும்பூருக்கும் டி.பி.ஐ (DPI) –இக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு 1 ½ கி.மீ ஆகும்.