முழுக்கள்

இயல் 2

முழுக்கள்

கற்றல் நோக்கங்கள்

• முழு எண்களிலிருந்து குறை எண்களுக்கான விரிவாக்கத்தின் தேவையைப் புரிந்துகொள்ளுதல். 

• பூச்சியம், மிகை எண்கள் மற்றும் குறை எண்கள் ஆகியவற்றின் தொகுப்பு, முழுக்களை உருவாக்கும் என அறிதல்.

• முழுக்களை எண்கோட்டில் குறித்தல்.

• முழுக்களை ஒப்பிட்டு, அவற்றை ஏறுவரிசை மற்றும் இறங்குவரிசையில் அமைத்தல்.

அறிமுகம்

இயல் எண்கள், முழு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் பற்றி முதல் பருவத்திலேயே நாம் அறிந்திருக்கிறோம். இப்போது, நாம் புதியதோர் எண் தொகுப்பை அறிய இருக்கிறோம்.

இந்தச் சூழலைப் பற்றிச் சிந்திக்க

யுவன் மற்றும் சுபா ஆகிய இருவரும் எண் அட்டைகளைக் கொண்டு ஒரு விளையாட்டை விளையாடத் தயாராக உள்ளதை ஆசிரியர் கவனிக்கிறார். இவ்விளையாட்டில் எண்ணிற்கான நகர்வைக் குறிக்க நீலம் மற்றும் மஞ்சள் நிற வில்லைகளையும் (tokens), 0 முதல் 20 வரையில் குறிக்கப்பட்ட ஓர் எண் பட்டையையும் (Number Strip) பயன்படுத்துகிறோம். இதில், பூச்சியமானது தொடக்கப் புள்ளியாகக் கருதப்படும். இந்த எண் பட்டையை மேலும் நீட்டிப்புச் செய்யலாம்.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... ... ...

கருப்பு மற்றும் சிவப்பு நிறத்தில் எண்கள் 1 முதல் 10 வரையில் எழுதப்பட்ட 20 எண் அட்டைகளைக் (ஒவ்வொரு நிறத்திலும் 10 எண் அட்டைகள்) கலைத்து (Shuffled) எண்கள் தெரியாதவாறு திருப்பி வைக்க வேண்டும்.

விளையாட்டிற்கான விதிமுறைகள்

i) இந்த விளையாட்டில், ஒரு கருப்பு நிற எண்ணையுடைய அட்டையை எடுத்தால் வில்லையை முன்னோக்கியும், ஒரு சிவப்பு நிற எண்ணையுடைய அட்டையை எடுத்தால் வில்லையைப் பின்னோக்கியும், அந்த எண் அட்டையில் உள்ள எண்ணிற்கேற்ப நகர்த்துதல் வேண்டும்.

ii) யார் எண் 20 ஐ முதலாவதாக அடைகிறார்களோ, அவரே வெற்றியாளராக அறிவிக்கப்படுவார். (வெவ்வேறு நிற வில்லைகளைக் கொண்டு மேலும் பல மாணவர்கள் இந்த விளையாட்டை விளையாடலாம்.)

பின்வரும் உரையாடலை உற்று நோக்குக

யுவன் : சுபா, நான் நீல நிற வில்லையைத் (token) தேர்ந்தெடுத்துள்ளேன்.

சுபா : சரி, அப்படியென்றால், நான் மஞ்சள் நிற வில்லையை எடுத்துக் கொள்கிறேன். 

யுவன்: எண் பட்டை (Number Strip) கீழே இருக்கிறது பார். இரு வில்லைகளையும் தொடக்கப் புள்ளியான பூச்சியத்தில் வைத்து, நாம் விளையாடத் தொடங்கலாமா?

சுபா: சரி, முதலில் நான் ஒரு எண் அட்டையை எடுக்கிறேன். அது கருப்பு நிற எண் 5 ஆக உள்ளது. ஆகவே, எனது மஞ்சள் வில்லையை எண் பட்டையில் 5 அலகுகள் முன்னோக்கி நகர்த்தி, 5 இன் மீது வைக்கிறேன்.

யுவன்: இப்போது, நான் எடுக்கிறேன். மீண்டும் எனக்கும் கருப்பு நிற எண் 1 ஐக் கொண்ட எண் அட்டைக் கிடைத்துள்ளது. எனவே, நான் எனது நீல நிற வில்லையை எண் பட்டையில் 1 அலகு முன்னோக்கி நகர்த்தி, 1 இன் மீது வைக்கிறேன்.

சுபா: இப்போது நான் சிவப்பு நிற எண் 2 ஐக் கொண்ட எண் அட்டையை எடுத்துள்ளேன். ஆகவே, நான் எண் பட்டையில் 2 அலகுகள் பின்னோக்கி நகர்த்தி எனது வில்லையை 3 இன் மீது வைக்கிறேன். இது சரிதானா?

யுவன்: சரிதான் சுபா. நான் இப்போது ஒரு சிவப்பு நிற எண் 1 ஐக் கொண்ட எண் அட்டையை எடுத்துள்ளேன். ஐயகோ...! எண் கோட்டில் நான் மீண்டும் 1 அலகு பின்னோக்கி வில்லையை நகர்த்தி, தொடக்கப் புள்ளியான பூச்சியத்திலேயே வைக்கிறேன்!

சுபா: உன்னை விட நான் 3 அலகுகள் முன்னே உள்ளேன். இப்போது, எனக்கு சிவப்பு நிற எண் 4 ஐக் கொண்ட எண் அட்டைக் கிடைத்துள்ளது. ஆகவே 3–லிருந்து 4 இடங்கள் பின்னோக்கி நகர வேண்டும். 3 இடங்கள் நகர்ந்து விட்டேன். ஆனால், நான் எங்கே எனது வில்லையை வைப்பது யுவன்? பூச்சியத்திற்குப் பின்னால் மேலும் ஓர் இடம் தேவைப்படுகிறது. ஆனால், பூச்சியத்தின் இடது புறத்தில் எந்த எண்ணும் இல்லையே!

சுபா : நான், அந்த இடத்தை மீண்டும் 1 எனக் குறித்து கொள்ளலாமா?

யுவன்: இல்லை சுபா. அது சரியாக இருக்காது. ஏனெனில், பூச்சியத்தின் வலது புறத்தில் ஏற்கெனவே 1 உள்ளதை நாம் அறிவோம்.

சுபா: பிறகு, நான் என்ன செய்யட்டும்? பூச்சியத்தின் இடதுபுறம் என்னால் நகர முடியாதே. விளையாட்டு முடிந்ததா? அல்லது நான் வேறு ஒரு சீட்டினை எடுத்துத் தொடரலாமா?

ஆசிரியர் இடைவினையாற்றல் ....

ஆசிரியர் : யுவன் மற்றும் சுபா, நீங்கள் ஏன் எண் பட்டையைப் பூச்சியத்திற்கு இடதுபுறமாக *1, *2, *3, ... என நீட்டிப்பு செய்வது பற்றிச் சிந்திக்கக்கூடாது? மேலும், 0 இக்கும் *1 இக்கும் இடையில் உள்ள தொலைவானது 0 இக்கும் 1 இக்கும் இடையில் உள்ள தொலைவிற்குச் சமமாகவும், 0 இக்கும் *2 இக்கும் இடையில் உள்ள தொலைவானது 0 இக்கும் 2 இக்கும் இடையில் உள்ள தொலைவிற்குச் சமமாகவும் உள்ளவாறு அமைத்து அதைப்போன்று நீட்டிக்கலாமே?

சுபா: ஆம், ஐயா/அம்மா. இப்போது * என்பது பூச்சியத்திற்கு இடது பக்கம் அமையும் எண்களைக் குறிப்பதாகும். மேலும் அவை பூச்சியத்தை விடச் சிறியவையாகும்.

ஆசிரியர் : விளையாட்டின் ஆர்வத்தைத் தக்க வைத்துக்கொள்ள முதலில் யார் *20 ஐ அடைந்தாலும் கூட, அவரும் வெற்றியாளர் ஆவார் என விதிமுறைகளில் சேர்த்து, இப்போது விளையாட்டைத் தொடருங்கள்.

யுவன்: ஆகவே சுபா, நீ உனது வில்லையை *1 இல் வைக்கலாம்.

யுவன்: உனக்கு மீண்டும் சிவப்பு நிற எண் 4ஐக் கொண்ட எண் அட்டை கிடைத்தால் என்ன செய்வாய்?

சுபா: யுவன், நான் தெளிவாக உள்ளேன். நான் வில்லையை *1 இலிருந்து 4 அலகுகள் பின்னோக்கி நகர்த்தி எண் அட்டையில் *5 இல் வைப்பேன்.

யுவன்: சரியாகக் கூறினாய்! நான் இப்போது 5 இல் உள்ளேன் என வைத்துக்கொண்டால், நீ என்ன கூறுவாய்?

சுபா: ஆம், யுவன். நாம் இருவரும் 0 இலிருந்து ஒரே தொலைவில் ஆனால் எதிரெதிர் பக்கத்தில் இருப்போம். சரியா?

யுவன்: ஆம், நீ கூறுவது சரியே. ஆனால் பூச்சியத்திற்கு இடதுபுறத்தில் உள்ள உனது எண்ணின் மதிப்பானது, எனது எண்ணின் மதிப்பைவிடக் குறைவாகும்.

சிந்திக்க: இறுதியில் வெற்றி பெறுவது யார்? வெற்றியாளரைத் தீர்மானிக்கும் காரணி எது? எண் பட்டையின் இருபுறமும் எவ்வளவு தொலைவு உங்களால் எண்களை நீட்டிப்பு செய்ய இயலும்?

மேற்கண்ட விளையாட்டிலிருந்து, 0 இக்கு இடதுபுறம் செல்ல வேண்டிய தேவை உள்ளது என்பதைப் புரிந்துகொள்கிறோம். பூச்சியத்திற்கு வலதுபுறம் 1 இருப்பதைப் போன்று, அதன் இடதுபுறத்தில் அதே தொலைவில் *1 இருக்க வேண்டியதின் தேவையை நாம் கவனிக்கிறோம். மேலும், இவ்வாறே எண்கள் இருபுறமும் விரிவாக்கம் பெறுகின்றன.

நாம் பூச்சியத்திற்குக் குறைவாக இருக்கும் எண்களைக் குறிக்க * என்னும் குறியீட்டுக்குப் பதிலாக – (குறை குறியீடு) என்ற குறியீட்டைப் பொதுமைப்படுத்துகிறோம். மேலும் – என்பது குறைவு, பற்றாக்குறை, குறைத்தல், கீழே, இடது போன்ற கருத்துகளை உணர்த்தும் வகையில் அமைகிறது.

எங்கும் கணிதம் – அன்றாட வாழ்வில் முழுக்கள்

மரியானா நத்தை மீன்கள் கடல் மட்டத்திலிருந்து 26,200 அடிக்குக் கீழே மரியானா அகழியில் வாழ்கின்றன.

இந்தியாவின் இலடாக் பகுதியில் ஒவ்வோர் ஆண்டும் சனவரி மாதத்தில் சராசரியாக வெப்ப நிலை 0°C இக்கும் கீழே −14°C ஆகப் பதிவாகிறது.