தளத்தினை வரைபடமாகக் குறித்தல் (Mapping the Plane)

தளத்தினை வரைபடமாகக் குறித்தல் (Mapping the Plane)

நீங்கள் ஏதேனும் ஒரு முகவரியை எப்படி எழுதுவீர்கள்? எடுத்துக்காட்டாக,

சரக்கல்விளை தொடக்கப்பள்ளி,

135, சரக்கல்விளை வீட்டுவசதி வாரிய சாலை,

கீழ்சரக்கல்விளை, நாகர்கோவில்  − 629 002,

கன்னியாகுமரி மாவட்டம்,

தமிழ்நாடு, இந்தியா.

இந்த உலகில் எவரும், எங்கிருந்தும், தான் படித்த பள்ளியை அடையாளப்படுத்த இந்தத் தகவல் போதுமானது. இந்தப் பூமியில் கோடானகோடிக் கட்டடங்கள் உள்ளன எனக் கருதுக. இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிட்ட மனிதர் பயின்ற பள்ளியை எவ்வளவு உள்ளடங்கிய பகுதியில் இருந்தாலும் அதை அடையாளம் காண முகவரி தகவல்களைப் பயன்படுத்தலாம்.

இது எப்படிச் சாத்தியமாகிறது? ஒரு குறிப்பிட்ட முகவரியை அடையாளம் காணும் முறையைக் காண்போம். இந்த உலகம் நாடுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு இருக்கிறது என்பதை நாம் அறிவோம். அதில் இந்தியாவும் ஒன்று. மேலும், இந்தியா மாநிலங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு இருக்கிறது. இந்த மாநிலங்களில் நம் தமிழ்நாட்டை அடையாளம் காண இயலும்.

மேலும், தொடர்ந்து நோக்கும்போது, நம் மாநிலம் மாவட்டங்களாகவும், மாவட்டங்கள் வட்டங்களாகவும், வட்டங்கள் கிராமங்களாகவும் தொடர்ந்து கொண்டே சென்றால், மேலும் இதே வழியில், அந்த வட்டத்தில் உள்ள ஏராளமான கிராமங்களில் சரக்கல்விளை கிராமத்தை ஒருவர் அடையாளம் காண இயலும். இப்படியாக அக்கிராமத்தில் உள்ள ஏராளமான சாலைகளில் நாம் ஆர்வமாகத் தேடும் வீட்டுவசதிவாரியச் சாலையும் ஒன்று. நாம் அத்தெருவில் உள்ள கட்டடங்களில் 135 என்ற கதவிலக்கம் கொண்ட அரசுத் தொடக்கப்பள்ளிக் கட்டடத்தைக் கண்டறிந்து, நமது ஆராய்ச்சியை முடிவிற்குக் கொண்டுவரலாம்.

அமெரிக்காவின், நியூயார்க் மாநகரின் ஒரு பகுதி மன்ஹட்டன். வரைபடத்தில் இந்நகரின் நிழற்சாலைகள் (Avenue) வடக்குத் தெற்காகவும், தெருக்கள் கிழக்கு மேற்காகவும் அமைந்துள்ளன என்பதைக் காண்பிக்கிறது. நீங்கள் தேடும் பகுதி 9ஆவது மற்றும் 10ஆவது நிழற்சாலைகளுக்கு இடையே 57ஆவது தெருவில் இருக்கிறது எனில், அப்பகுதியை வரைபடத்தில் இருந்து உடனடியாகக் கண்டறியலாம். இதேபோல் 34 மற்றும் 35ஆவது சாலைகளுக்கு இடையில் 2ஆவது நிழற்சாலை அமைந்துள்ள இடத்தைக் கண்டறியலாம். மேலும், நியூயார்க்வாசிகள் இதை இன்னும் எளிதாக்குகிறார்கள். ஒரு தெருவில் உள்ள கதவிலக்கத்தைக் கொண்டு அவை எந்த இரு நிழற்சாலைகளுக்கு இடையே அமைகின்றன என்பதையும், ஒரு நிழற்சாலையில் உள்ள கதவிலக்கத்தைக் கொண்டு அது எந்த இரு தெருக்களுக்கு இடையே அமைகிறது எனவும் துல்லியமாகக் கண்டறியலாம்.

எல்லா வரைபடங்களும் பாதைகளையும் அதில் ஓர் இடத்தையும் குறிப்பிட, அதன் அருகில் உள்ளவை, தொலைவில் உள்ளவை, அது எவ்வளவு தொலைவில் அமைந்துள்ளது, அவற்றிற்கு இடையே அமைந்துள்ளவை போன்ற எல்லாத் தகவல்களையும் கொண்டு அந்த இடத்தை அடையாளம் காண உதவுகின்றன. நாம் அட்சரேகை (மன்ஹட்டன் தெருக்களைப் போன்று கிழக்கு மேற்காக) மற்றும் தீர்க்க ரேகை (மன்ஹட்டன் நிழற்சாலைகளைப் போன்று வடக்குத் தெற்காக) களைக் கொண்டு பூமியிலுள்ள இடங்களைத் துல்லியமாகக் குறிப்பிட இயலும். வரைபடத்தில் எண்களின் பயன்பாடு எவ்வாறு பயன் உள்ளதாய் இருக்கிறது என்பது ஆர்வமூட்டக்கூடியது.

எண்களைக் கொண்டு வரைபடத்தில் இடங்களைக் குறிப்பிடுவது என்ற கருத்து வடிவியல் மூலம் கிடைக்கிறது. தளங்கள், கன உருவங்கள் மற்றும் எல்லா வகையான வடிவங்கள் போன்றவற்றை வரைபடத்தைக் கொண்டு உருவாக்கக் கணித அறிஞர்கள் விரும்பினார்கள். அவர்கள் அவ்வாறான வரைபடத்தை ஏன் விரும்பினார்கள்? ஒரு வடிவியல் உருவத்தில் ஒரு செயலை நிகழ்த்தும்போது, ஒரு புள்ளியானது உட்புறத்தில் அல்லது வெளிப்புறத்தில் அல்லது விளிம்பில் அமைந்துள்ளதா என உற்று நோக்குகிறோம். ஒரு தள உருவத்தின் விளிம்பில் உள்ள இரு புள்ளிகளும், அதற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியும் தரப்படுமானால், விளிம்பின் மேல் உள்ள இரு புள்ளிகளில் எது வெளியே அமையும் புள்ளிக்கு மிக அருகில் உள்ளது, அது எவ்வளவு நெருக்கமாக உள்ளது என்பதை ஆராய்வோம். கனச்சதுரம் போன்ற கன உருவங்களில் இதுபோன்ற சிக்கலான கேள்விகளைக் கற்பனை செய்யலாம்.

கணித அறிஞர்கள் பலரும், வட்டங்கள், பலகோணங்கள் மற்றும் கோளங்கள் பற்றிய தங்களின் புரிதலுக்கு இப்படிக் கேள்விகள் எழுப்பி அதன் மூலம் தீர்வு கண்டார்கள். அன்றாட வாழ்க்கையிலும் கணித உத்திகள் மற்றும் நுணுக்கமான கணித வழிமுறைகள் பயன்பட்டன. 17ஆம் நூற்றாண்டில் கணித விதியில் ஆயத்தொலைவு முறை தோன்றியிராவிடில், 18ஆம் நூற்றாண்டில் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை போன்றவற்றைக் கொண்டு உலக வரைபடத்தில் குறிப்பது நடைபெற்று இருக்காது.

நீங்கள் முன்பே மெய்யெண் தொகுப்பின் வரைபடத்தை எண்கோட்டில் அறிந்துள்ளீர்கள். இது இரு திசையிலும் முடிவில்லாமல் நீள்கிறது. எண்கோட்டில் எவையேனும் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே முடிவில்லாத புள்ளிகள் அமைந்துள்ளன. நாம் இப்பொழுது ஒரு தளத்தின் வரைபடத்தை வரைந்து, அத்தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளையும், புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவு போன்றவற்றையும் விவாதிக்க இருக்கிறோம். மேலும், நாம் இதுவரை சுருக்கமாக விவாதித்த அனைத்து வடிவியல் வடிவங்களையும் வரைய இருக்கிறோம்.

எண்கணிதம் நம்மை எண்களின் உலகத்திற்கும் மற்றும் அதன் செயல்களின் உலகத்திற்கும் அறிமுகப்படுத்தியது, இயற்கணிதம் நமக்குத் தெரியாத ஒன்றின் மதிப்பையும் மற்றும் அவற்றைச் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடிக்கவும் கற்றுத் தந்தது. வடிவியல் நமக்கு வடிவங்களை அதன் பண்பின் அடிப்படையில் விளக்கக் கற்றுத் தந்தது. ஆயத்தொலை வடிவியலானது எண்களின் பயன் மற்றும் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளைக் கொண்டு வடிவியலைப் படிப்பதற்குப் பல உத்திகளை ஓர் இடத்தில் அழகிய முறையில் ஒருங்கிணைத்துக் காட்சிப்படுத்திக் கற்றுத்தர இருக்கிறது. இது ஆர்வமூட்டும் செயல்பாடாகும்.