வெக்டரை குறிப்பிடும் முறை மற்றும் வெக்டர்களின் வகைகள் (Representation of a vector and types of vectors)

வெக்டரை குறிப்பிடும் முறை மற்றும் வெக்டர்களின் வகைகள் (Representation of a vector and types of vectors)

ஒரு வெக்டருக்கு முடிவு மற்றும் ஆரம்பம் உண்டு.

படம் 8.1−ஐ காண்க.

வரையறை 8 .3

−ன் ஆரம்பப்புள்ளி A−யினைத் தொடக்கப்புள்ளி எனவும் முடிவுப்புள்ளி B−யினை இறுதிப்புள்ளி எனவும் அழைக்கிறோம். ஒரு வெக்டரின் தொடக்கப் புள்ளியினை அதன் ஆதிப்புள்ளி எனவும் கொள்ளலாம்.

−ன்தொடக்கப்புள்ளி A−ஆனது நகர்வுக்கு முன் அப்புள்ளியின் நிலையினையும், இறுதிப்புள்ளி B−ஆனது நகர்வுக்குப்பின் அப்புள்ளியின் நிலையினையும் குறிக்கிறது.

என்ற வெக்டரின் எண் மதிப்பு அல்லது நீளம் என்பது கோட்டுத்துண்டு AB− ன் நீளம் ஆகும். மேலும் இதனை () எனக் குறிப்பிடலாம்.

AB− ன் வழியே நீட்டப்பட்ட திசையிடப்படாத கோட்டினை − ன் தாங்கி எனலாம்.

ஒரு திசையில்லாத கோட்டுத்துண்டையும், ஒரு திசையுடன் கூடிய கோட்டுத் துண்டினையும் வேறுபடுத்த மற்றும் என அம்புக்குறியிட்டுக் குறிக்கப்படுகின்றது. எனவே ABஎன்பது ஒரு கோட்டுத்துண்டினை குறிப்பிடுகிறது.

வரையறை 8.4

எந்தவொரு புள்ளியையும் ஆதிப்புள்ளியாகத் தேர்ந்தெடுக்க இயலுமானால் அதனைக் கட்டிலா வெக்டர் எனலாம். ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியை மட்டுமே ஆதிப் புள்ளியாகத் தேர்ந்தெடுக்க முடியுமானால் அதனை அறுதியிட்ட வெக்டர் என்பர்.

வெக்டர்களின் பெருக்கல் வரை நாம் கட்டிலா வெக்டர்களை மட்டுமே பயன்படுத்த உள்ளோம். கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்பதில் அறுதியிட்ட வெக்டர்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 8.5

ஒரே தொடக்கப்புள்ளியைப் பெற்ற வெக்டர்களை ஒரே தொடக்கப்புள்ளி வெக்டர்கள் எனவும் ஒரே முடிவுப்புள்ளியைக் கொண்ட வெக்டர்களை ஒரே முடிவுப் புள்ளி வெக்டர்கள் எனலாம். 

வரையறை 8.6

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெக்டர்களின் இயக்கம் ஒரே நேர்க்கோட்டிலோ அல்லது அதற்கு இணையாகவோ இருப்பின், அவற்றை ஒரே கோடமை அல்லது இணை வெக்டர்கள் எனலாம்.

ஒரே தளத்தின் மீது அமைந்த அல்லது அந்தத் தளத்திற்கு இணையாக அமைந்த இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெக்டர்களை ஒரு தள அமை வெக்டர்கள் எனலாம்.

வரையறை 8.7

இரு வெக்டர்களின் எண்ணளவுகள் சமமாகவும் மற்றும் அவை ஒரே திசையினையும் பெற்றிருந்தால் அவற்றைச் சம வெக்டர்கள் எனலாம்.

சம வெக்டர்களுக்கு ஒரே தொடக்கப்புள்ளியும் இறுதிப் புள்ளியும் இருக்கவேண்டிய அவசியம் இல்லை. சான்றாக, படம் 8.2−ல் ஆகியவை சமநீளம் மற்றும் ஒரே திசையிலுள்ள வெக்டர்கள் என்பதால் அவற்றை சமவெக்டர்கள் என்கிறோம். ஆகியவை சம எண்ணளவைக் கொண்டிருந்தாலும் அவற்றின் திசை எதிராக இருப்பதால் இவை சமமற்ற வெக்டர்கள் ஆகும். ஆகியவை ஒரே திசையில் இருந்தாலும் எண்ணளவு வெவ்வேறாக இருப்பதால் இவை சமமற்ற வெக்டர்களாகும். 

வரையறை 8.8

எண்ணளவு 0 உள்ள வெக்டரை பூஜ்ஜிய வெக்டர் என்கிறோம். இதனை எனக் குறிப்பிடலாம். இது ஏதேனும் ஒரு திசையில் இருக்கும்.

அதாவது, தொடக்கப்புள்ளியும் முடிவுப்புள்ளியும் ஒன்றாக அமைந்தால் அது பூஜ்ஜிய வெக்டராக அமையும்.

எண்ணளவு 1 உள்ள வெக்டரை அலகு வெக்டர் எனலாம். −ன் திசையில் உள்ள அலகு வெக்டர் எனக்குறிப்பிடப்படும் (இதனை 'a cap' அல்லது ‘a hat’ எனப்படிக்க வேண்டும்). தெளிவாக | | = 1 ஆகும்.

எண்ணிலா திசைகளிலிருப்பதால் எண்ணிலா அலகு வெக்டர்களும் உள்ளன என்பதைக் கவனிக்க. ஒவ்வொரு திசைக்கும் ஒரு அலகு வெக்டரானது அந்த திசையில் இருக்கும்.

ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற வெக்டரையும் வெக்டரின் திசையில் உள்ள அலகு வெக்டரை ஒரு திசையிலியால் பெருக்கி எழுதலாம். அந்த திசையிலியானது வெக்டரின் எண்ணளவாகும்.

எனவே, எந்தவொரு வெக்டர் க்கும், என எழுதலாம். இங்கு என்பது −ன் திசையில் அலகு வெக்டர் ஆகும். எனவே, பூஜ்ஜியமற்ற −க்கு ஆகும்.

வரையறை 8.9

ஒரே திசையிலமைந்த இரு வெக்டர்களை ஒரே திசை வெக்டர்கள் என்றும், ஒன்றுக்கொன்று எதிர் திசையிலமைந்த இரு வெக்டர்களை எதிர் திசை வெக்டர்கள் என்றும் கூறலாம்.

இரண்டு வெக்டர்கள் ஒரே திசையிலமைந்த வெக்டர்களாகவோ எதிர்திசை வெக்டர்களாகவோ அமைந்தால் அவ்வெக்டர்களின் தாங்கிகள் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக அமையும். இரண்டு வெக்டர்கள் ஒரே திசை வெக்டர்களாக இல்லாமலும் எதிரெதிர்த்திசை வெக்டர்களாக இல்லாமலும் இருக்கலாம்.