ஒரு நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு (Total Probability of an event)

ஒரு நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு (Total Probability of an event)

தேற்றம் 12.10 (ஒரு நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு)

A1, A2, A3,.., An என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் B என்பது கூறுவெளி S-ல் உள்ள ஒரு நிகழ்ச்சி எனில் P(B) என்பது B நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்வு ஆகும்.

நிரூபணம்

B என்பது கூறுவெளி S -ல் உள்ள ஒரு நிகழ்ச்சி படத்திலிருந்து

B = (A1∩ B) ∪ (A2∩B) ∪ (A3∩B)∪… (An∩B). 

A1, A2, A3, ...An என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் எனவே

(A1∩B), (A2∩B), (A3∩B), … (An∩B) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

P(B) = P[(A1∩ B) ∪ (A2∩B) ∪ (A3∩B)∪… ∪ (An∩B)]

P(B) = P(A1∩ B) + P (A2∩B) + P (A3∩B) + … +  P(An ∩ B)

பின்வரும் கணக்குகள் நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. 

எடுத்துக்காட்டு 12.24

ஒரு ஜாடியில் 8 சிவப்பு மற்றும் 4 நீல நிறப்பந்துகள் உள்ளன. மற்றொரு ஜாடியில் 5 சிவப்பு மற்றும் 10 நீல நிறப்பந்துகள் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு ஜாடி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு அதிலிருந்து இரண்டு பந்துகள் எடுக்கப்படுகின்றன. இரு பந்துகளும் சிவப்பு நிறப்பந்துகளாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

A1 என்பது ஜாடி -Iஐ தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. மற்றும் A2 என்பது ஜாடி-II-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

B என்பது இரண்டு சிவப்பு நிறப்பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. B-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காண வேண்டும். அதாவது P(B).

A1 மற்றும் A2 என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய, யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது.

P(A1) = 1/2, P(B/ A1) = 8c2 / 12c2 = 14/33

P(A2) = 1/2, P(B/ A2) = 5c2 / 15c2 = 2/21

P(B) = P(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2)

P(B) = 1/2 . 14/33 + 1/2 . 2/21 = 20/77

எடுத்துக்காட்டு 12.25

ஒரு தொழிற்சாலையில் இயந்திரங்கள் I மற்றும் II என இருவகைகள் உள்ளன. இயந்திரம்-I தொழிற்சாலையின் உற்பத்தியில் 40% தயாரிக்கிறது மற்றும் இயந்திரம்- II உற்பத்தியில் 60% தயாரிக்கிறது. மேலும் இயந்திரம்-I -ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 4% குறைபாடுள்ளதாகவும் இயந்திரம்-II-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 5% குறைபாடுள்ளதாகவும் இருக்கின்றன. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு பொருள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அப்பொருள் குறைபாடுடன் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது? 

தீர்வு

A1 என்பது இயந்திரம்-I ன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. A2 என்பது இயந்திரம்-IIன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. Bஎன்பது குறைபாடுள்ளபொருள்களைத்தேர்ந்தெடுக்கப்படும் நிகழ்ச்சி என்க.

நிகழ்ச்சி B-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காணவேண்டும். அதாவது, P(B).

A1 மற்றும் A2 என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். ஆதலால்

P(B) = P(A1) . P(B/ A1) + P(A2). P(B/ A2)

P(A1) = 0.40, P(B/ A1) = 0.04 

P(A2) = 0.60, P(B/A2 ) = 0.05

P(B) = P(A1) . P(B/ A1) + P(A2). P(B/ A2)

= (0.40) (0.04) + (0.60 ) (0.05)

= 0.046.