முடிவுறு கூறுவெளி (Finite Sample Space)

முடிவுறு கூறுவெளி (Finite Sample Space)

இப்பகுதியில் முடிவுறு கூறுப்புள்ளிகள் உடைய கூறுவெளிகளை மட்டுமே காண்போம்.

நிகழ்ச்சிகளின் வகைகள் :

இந்தப் பாட பகுதியில் நாம் அடிக்கடிப் பயன்படுத்தக்கூடிய சில முக்கிய நிகழ்ச்சிகளை (Events) வரையறுப்போம்.

● நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி (Sure event or certain event)

● இயலா நிகழ்ச்சி (Impossible event)

● நிரப்பி நிகழ்ச்சி (Complementary event)

● ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி (Mutually exclusive events)

● ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சி (Mutually inclusive event)

● யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் (Exhaustive events)

● சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் (Equally likely events)

● சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் (Independent events) (நிகழ்தகவு கொள்கைகளைப் பற்றி அறிந்த பின் வரையறுக்கப்படும்)

வரையறை 12.6

கூறுவெளியானது முடிவுறு உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் அதன் ஒவ்வொரு உட்கணமும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகும். அதாவது கூறுவெளியின் அடுக்குக்கணம் P(S) -இல் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகும். ஒரு நிகழ்வானது கூறுபுள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். இந்நிலையில் S ஆனது உறுதியான அல்லது நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி என அழைக்கப்படும். S-இல் உள்ள வெற்றுக் கணம் Ø ஆனது இயலா நிகழ்ச்சி என அழைக்கப்படும்.    

வரையறை 12.7

ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சி A-உடன் Ā என்ற மற்றொரு நிகழ்ச்சியைத் தொடர்புபடுத்தலாம். Ā என்பது Ā ன் நிரப்பியாகும். நிகழ்ச்சி Ā-ஐ, A இல்லா நிகழ்ச்சி எனவும் அழைக்கலாம்..

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.2

கூறுவெளி S = {1,2,3,4}-ன் எல்லா உட்கணங்களின் (S-ன் அடுக்குக்கணம்) கணம், 

P(S) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1,3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

(i) P(S)-ன் எல்லா உறுப்புகளும் ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியாகும்.

(ii) Ø என்பது இயலா நிகழ்ச்சியாகும்.

(iii) {1},{2},{3},{4}என்பவை சாதாரண நிகழ்ச்சிகளாகும்

(iv) {1,2,3,4}என்பது நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி (Sure event or certain event) ஆகும். 

வரையறை 12.8

இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் நிகழக்கூடியவையல்ல எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் (Mutually exclusive events) ஆகும்.

A1,A2,A3,…Ak என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் (mutually exclusive) எனில் Ai ∩ Aj  = Ø, i ≠ j

வரையறை 12.9

இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் நிகழக்கூடியவை எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் (Mutually inclusive events) ஆகும். A1,A2,A3,…Ak என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் எனில், Ai ∩ Aj = Ø, i ≠ j

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.3

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது S = {1,2,3,4,5,6}.

(i) {1,3} ∩ {2, 4, 5, 6} = Ø, என்பதால்{1,3} மற்றும்{2,4,5,6} ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(ii) {1,6,},{2,3,5} ஆகியன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(iii) {2,3,5}, {5,6} என்ற நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகளாகும் ஏனெனில் {2, 3, 5}∩{5, 6} = {5} ≠ Ø

வரையறை 12.10

A1∪A2∪A3∪...∪Ak = S எனில் A1, A2, A3,..,Ak ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் என அழைக்கப்படும்.

வரையறை 12.11

(i) Ai ∩ Aj = Ø, i ≠ j (ii) A1∪A2∪A3∪,...,∪Ak = S எனில் A1, A2, A3,..,Ak ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

S எனில் A, A,, A,,..,A ஆகியவை

நிகழ்தகவு கோட்பாடு - ஓர் அறிமுகம்

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.4

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது, S = {1,2,3,4,5,6}. 

இக்கூறுவெளியில் {2,3},{1,3,5},{4,6},{6} மற்றும் {1,5} என்பவை சில நிகழ்ச்சிகளாகும். 

(i) {2,3} ∪ {1, 3, 5} ∪ {4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S (கூறுவெளி), என்பதால் {2,3},{1,3,5},{4,6} ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(ii) அதே போன்று {2,3},{4,6} மற்றும் {1,5} ஆகியவையும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். 

(iii) {1,3,5},{4,6},{6} மற்றும் {1,5} ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. (ஏனெனில் {1, 3, 5} ∪ {4, 6} ∪ {6} ∪ {1, 5} ≠ S).

(iv) {2,3},{4,6}, மற்றும் {1,5}ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். ஏனெனில் {2,3} ∩ {4,6} = Ø, {2,3} ∩ {1,5} = Ø,{4,6} ∩ {1,5} = Ø மற்றும் = {2, 3}∪ {4, 6}∪ {1, 5} = S

வென்படங்களின் வாயிலாகப் பல்வகை நிகழ்ச்சிகளுடன் கூடிய கூறுவெளிகளைக் கண்டறிவது எளிது என்பதனைக் கீழ்க்காணும் படங்கள் விளக்குகிறது.

வரையறை 12.12

ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியும் நிகழும் வாய்ப்பினைச் சமமாக பெற்றிருப்பின் அவை சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் (Equally likely events) என அழைக்கப்படும்.

(i) சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிக்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுகிறது

 (ii) சமவாய்ப்பில்லாத நிகழ்ச்சிகளுக்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: படத்தில் காட்டிய ஒரு நிறம் பூசப்பட்ட பகடை உருட்டப்படுகிறது.

இதே போல் ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டிவிடும் போது தலை அல்லது பூ விழும் நிகழ்ச்சிகள் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகளாகும்.

கூறுவெளிகளைக் காணும் முறைகள்

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.5

(i) இரு நாணயங்களைச் சுண்டிவிடும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது

S = {H,T}×{H,T} = {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} அல்லது {HH,HT,TH,TT} 

(ii) ஒரே சமயத்தில், ஒரு நாணயம் சுண்டப்படுகிறது மற்றும் ஒரு பகடை உருட்டப்படுகிறது எனில் கிடைக்கும் கூறுவெளியானது

S = {H,T}×{1,2,3,4,5,6} = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5,T6} அல்லது 

S = {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5),(T,6)}. 

நாணயம் மற்றும் பகடையால் கிடைக்கும் முடிவுகளை (out comes) வரிசை மாற்றியும் கூறுவெளியை எழுதலாம். சில சமவாய்ப்பு சோதனைகளால் கிடைக்கும் கூறுவெளிகள் பின்வரும் அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது.

குறியீடுகள்

A மற்றும் B என்பன இரு நிகழ்ச்சிகள் என்க.

(i) A ∪ B என்பது A அல்லது B அல்லது இரண்டும் நிகழ்வது 

(ii) A ∩ B என்பது A மற்றும் B ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வது.

A ∩ B என்பதை AB எனவும் குறிப்பிடலாம்.

(iii) Ā அல்லது A' அல்லது Ac என்பது A நிகழாமையைக் குறிக்கிறது .

(iv) (A ∩ ) என்பது A மட்டும் நிகழ்வதைக் குறிக்கிறது.