வெக்டர் இயற்கணிதம் (Vector Algebra): அறிமுகம் (Introduction)

அத்தியாயம் – 8

வெக்டர் இயற்கணிதம் (Vector Algebra)

“புவியில் மனிதனைவிட மகத்துவமானது ஏதுமில்லை மனிதனில் மனதைவிட மகத்துவமானது ஏதுமில்லை”

− ஹாமில்டன்

அறிமுகம் (Introduction)

ஒரு விமானத்தை இயக்கும் திட்டத்தைத் தீர்மானிக்க ஒரு விமானி, விமானத்தின் பாதை, அதன் தலைப்பகுதி, காற்றின் வேகம் மற்றும் தரையில் அதன் வேகம் ஆகியவற்றைப் பற்றித் தெரிந்திருக்க வேண்டும். விமானம் நேரடியாக அதன் இலக்கை நோக்கிச் செல்ல வேண்டுமென்றால், காற்றானது சரியாக எதிர்கொள்ளும் வகையிலான கோணத்தில் விமானத்தைக் காற்றினுள் செலுத்த வேண்டும். ஒரு வழிகாட்டும் கணினி இருந்தால் இவ்வாறான கணக்கீடுகளை வேகமாகவும் துல்லியமாகவும் செய்யலாம். எனினும், அந்த வழிகாட்டும் கணினியை இயக்க முடியாத சூழ்நிலையின் போது விமானி கையில் உள்ள கால்குலேட்டர், எழுதுகோல் மற்றும் காகிதத்தை கொண்டும் வெக்டர்கள் பற்றிய அறிவின் துணை கொண்டும் இதனைத் தீர்மானிப்பார். எனவே வெக்டர்களைப் பற்றியும் அதன் மீதான செயல்பாடுகளைப் பற்றியும் அறிந்திருப்பது விமானிக்கு மிகவும் இன்றியமையாததாகும்.

விண்வீழ் விளையாட்டு வீரரின் மேல் இரண்டு முக்கிய விசைகள் செயல்படுகின்றன. முதல் விசை புவியீர்ப்பு விசை செங்குத்தாக கீழ் நோக்கிச் செயல்படுகின்றது. மற்றொன்று எதிர்ப்பு விசை மேல்நோக்கி ஏதேனும் ஒரு திசையில் செயல்படுகின்றது. எனவே, அந்த விளையாட்டு வீரரின்மேல் செயல்படும் மொத்த விசை ஆகும். (எவ்வாறு?)

ஒரு வானூர்தியின் திசைவேகம் எனவும் காற்றின் திசைவேகத்தை எனவும் எடுத்துக்கொண்டால் வானூர்தியின் பயனீட்டுத் திசைவேகம்   ஆகும். மேற்கு நோக்கி வானூர்தி பறக்க வானூர்தியின் தலை எந்த திசை நோக்கி இருக்க வேண்டும்?

ஜி.பி.எஸ் (G.P.S) என்ற கருவி தரை, வான் மற்றும் தண்ணீர் ஆகியவற்றுள் பயணிக்க வழிகாட்டும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. வெக்டர்களின் செயல்பாடுகள் மூலமே இக்கருவி இயங்குகிறது.

வெக்டரின் கருத்தாக்கமானது ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் H.G கிராஸ்மன் (1809 – 1877) மற்றும் ஐரிஷ் கணிதவியலாளர் W.R. ஹாமில்டன் (1805 – 1865) ஆகியவர்களின் தாக்கத்தினால் வளர்ச்சி பெற்றது. ஹாமில்டன் ஓர் உயர் நிலையினை பெற்றிருந்த போதும் கிராஸ்மன் ஓர் உயர் வகுப்பு பள்ளி ஆசிரியராக இருந்தார். நுண்கணிதம் மற்றும் கார்டீசியன் வடிவியலின் சிறப்பான அம்சங்களை ஒன்றிணைத்து வெக்டர் இயற்கணிதத்தை உருவாக்கிய பெருமை அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் J.B.கிப்ஸ் (1839 – 1903) மற்றும் இங்கிலாந்தை சேர்ந்த Q.ஹெவிசைடு (1850 - 1925) ஆகியோருக்கு உண்டு. தற்போதைய பயன்பாட்டிலுள்ள வெக்டர் இயற்கணிதம் மற்றும் வெக்டர் பகுப்பாய்வு கருத்தியலானது, முதன்முதலில் கிப்ஸ் என்ற கணிதவியலாளர் யேல் பல்கலைக் கழகத்தில் அவருடைய மாணவர்களுக்கு வழங்கிய விரிவுரையின் மூலம் வெளிக் கொணரப்பட்டதே ஆகும். கிளிஃபர்ட் (1845-1879) என்பவர் தன்னுடைய 'Elements of Dynamics' என்ற புத்தகத்தில் நுண்கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்பட்ட இரு குவாட்டர்னியன் பெருக்கலை இரு விதமான வெக்டர்கள் மீதான பெருக்கல்களாக, அதாவது திசையிலிப் பெருக்கம் மற்றும் வெக்டர் பெருக்கமாக பிரித்துக் காட்டினார். வெக்டர் என்ற வார்த்தையை ஹாமில்டன் என்பவர் ‘to carry' என்ற இலத்தீன் வார்த்தையில் இருந்து வரையறுத்தார்.

மேலும் கிராஸ்மனின் கோட்பாட்டு விரிவாக்கத்தின் மூலமும் வெக்டரின் கருத்தாக்கம் வளர்ச்சியடைந்தது. வடிவியல் மற்றும் இயற்பியலில் உள்ள கருத்துகளை புரிந்துணர வெக்டர் ஒரு சிறந்த கருவியாக அமைந்துள்ளது. பயனீட்டுக் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் வெக்டர்களின் கருத்தியல் ஒரு நவீன மொழியாக விளங்குகிறது.

கற்றலின் நோக்கங்கள்

இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகளாக

• வடிவியல் மற்றும் இயற்பியலில் உள்ள கணக்குகளை புரிந்துகொள்ள வெக்டரை ஒரு கருவியாக உணர்வது

• திசையிலி மற்றும் வெக்டரை வேறுபடுத்துவது

• வெக்டரின் வகைகளையும், வெக்டரின் மீதான இயற்கணிதத்தையும் புரிந்து கொள்வது

• வெக்டரின் இரு பரிமாண மற்றும் முப்பரிமாணக் கூறுகளை வடிவியலின் வாயிலாக அறிந்து கொள்ளுதல்

• வெக்டர் இயற்கணிதத்தில் அணிகள் கருத்தியலின் பயன்பாட்டை அறிவது

• திசையிலிப் பெருக்கம் மற்றும் வெக்டர் பெருக்கத்தின் மதிப்புகள் முறையே திசையிலி மற்றும் வெக்டர் என்பதைக் கண்டுணர்தல்

ஆகியவை எதிர்பார்க்கப்படுகின்றன.