தொகுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவலை வரைபட விளக்கமுறையில் குறித்தல்.

தொகுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவலை வரைபட விளக்கமுறையில் குறித்தல்.

நேர்க்கோட்டுப்படம், செவ்வகப்பட்டை விளக்கப்படம், படவிளக்க முறை மற்றும் வட்ட விளக்கப்படம் ஆகியவை தொகுக்கப்படாதத் தரவுகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவலைக் குறிக்கும் வரைபட விளக்க முறை ஆகும். நிகழ்வுச் செவ்வகம், நிகழ்வுப் பலகோணம், நிகழ்வு வளைவு, தொகுத்த நிகழ்வு வளைவு (Ogives) ஆகியவை சில தொகுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவலைக் குறிக்கும் வரைபட விளக்கமுறை ஆகும்.

இந்த வகுப்பில் தொகுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவலை நிகழ்வுச் செவ்வகம், நிகழ்வுப் பலகோணம் ஆகியவற்றால் மட்டும் குறிக்கக் கற்றுக்கொள்வோம். மற்ற வகையில் குறிப்பதுப் பற்றி மேல் வகுப்புகளில் படிக்கலாம்.

1. நிகழ்வுச் செவ்வகம்

நிகழ்வுச்செவ்வகம் என்பது தொடர்ச்சியான நிகழ்வெண் பரவல் வரைபடம் ஆகும். ஒரு செவ்வகத் தொகுப்பை நிகழ்வுச் செவ்வகம் பெற்றிருக்கும். செவ்வகங்களின் அடிப்பக்க நீளம் பிரிவு இடைவெளியாகவும், ஒவ்வொரு பிரிவு இடைவெளிகளின் நிகழ்வெண்ணை உயரமாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது பிரிவு இடைவெளிகள் கிடைமட்டக் கோட்டில் (x −அச்சு) குறிக்கப்படும். மேலும் மற்றும் நிகழ்வெண்கள் குத்துக்கோட்டில் (y −அச்சு) குறிக்கப்படும். 

ஒவ்வொரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் அதன் பிரிவு இடைவெளியின் நிகழ்வெண்களுக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும். மேலும் நிகழ்வுச் செவ்வகத்தின் மொத்தப் பரப்பளவானது அனைத்து நிகழ்வெண்களின் கூடுதலுக்கும் நேர்விகிதத்தில் இருக்கும். ஏனெனில், தொடர்ச்சியான நிகழ்வெண் பரவலில் செவ்வகம் ஒன்றன் பக்கத்தில் ஒன்றாக இடைவெளியின்றித் தொடர்ச்சியாக அடுத்தடுத்த செவ்வகங்களாக வரையப்பட்டிருக்கும். 

நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரையும் வழிமுறைகள்: 

1. தொடர்ச்சியற்ற முறையில் (உள்ளடக்கிய தொடர்) தரவுகள் இருந்தால் அவற்றைச் சரிசெய் காரணியைப் பயன்படுத்தித் தொடர்ச்சியானத் (விலக்கியத்தொடர்) தரவாக மாற்றிக் குறிக்கவேண்டும். 

2. x−அச்சு மற்றும் y−அச்சின் மீது பொருத்தமான அளவுத் திட்டத்தை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். 

3. அனைத்துப் பிரிவு இடைவெளிகளின் கீழ் எல்லைகளையும் x−அச்சில் குறிக்க வேண்டும். 

4. பரவலின் நிகழ்வெண்களை y−அச்சின் மீது குறிக்க வேண்டும். 

5. பிரிவு அளவை அடிப்பக்கமாகவும், அதன் நிகழ்வெண்களை உயரமாகவும் கொண்டு செவ்வகங்கள் வரைக. ஒவ்வொரு பிரிவும் மேல் மற்றும் கீழ் மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும். இது நமக்கு நிகழ்வெண்களைக் குறிக்கும் இரண்டு சமச் செங்குத்துக் கோடுகளைக் கொடுக்கும். கோடுகளின் மேல் பகுதியை ஒன்றோடொன்று இணைத்தால் தொடர்ச் செவ்வகங்கள் கிடைக்கும்.

குறிப்பு

செவ்வகப்பட்டை விளக்கப்படத்திற்கும், நிகழ்வுச் செவ்வகத்திற்கும் இடையேயுள்ள வேறுபாடு. 

செவ்வகப்பட்டை விளக்கப்படம்

1. தொகுக்கப்படாதத் தரவுகளைக் குறிக்க பயன்படுகிறது.

2. பட்டைகளுக்கு இடையில் இடைவெளி இருக்கும்.

3. பட்டையின் உயரம் கவனிக்கத்தக்கது ஆனால் அகலம் அல்ல.

நிகழ்வுச் செவ்வகம் 

1. தொகுக்கப்பட்டத் தரவுகளைக் குறிக்க பயன்படுகிறது.

2. செவ்வகங்களுக்கு இடையில் இடைவெளி இருக்காது.

3.  ஒவ்வொரு செவ்வகத்தின் உயரம்  மற்றும் அகலம் கவனிக்கத்தக்கது.

1. (i) தொடர்ச்சியான நிகழ்வெண் பரவலுக்கு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைதல்

எடுத்துக்காட்டு 6.6

கீழ்க்காணும் அட்டவணையில் ஒரு கிராமத்திலுள்ள 100 பேர்களின் வயது குறிக்கப்பட்டுள்ளது, இதற்கான நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைக. 

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரவு ஒரு தொடர்ச்சியான நிகழ்வெண் பரவலைக் கொண்டுள்ளது. x−அச்சில் பிரிவு இடைவெளிகள் குறிக்கப்படும். மேலும் அவற்றின் நிகழ்வெண்கள் y−அச்சில் குறிக்கப்படும். பிரிவுகள் (வயது) மற்றும் அதன் நிகழ்வெண்கள் (எண்ணிக்கை) இரண்டையும் ஒரு சேரக் குறித்துச் செவ்வகம் உருவாகிறது. 

கீழ்க்காணுமாறு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைய வேண்டும்.

குறிப்பு

பிரிவு இடைவெளி ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து (O) தொடங்கவில்லை எனில், இதனை ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து x அச்சின் மீது ஒரு முறுக்கு வளைவு வரைந்துக் குறிப்பிடுவோம். இந்த முறுக்கு வளைவு y அச்சின் மீதோ அல்லது இரண்டு அச்சுகளின் மீதோ தேவைப்பட்டால் வரையலாம். அதாவது கொடுக்கப்பட்டத் தரவு ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து தொடங்கவில்லை என்பதை இது குறிக்கிறது.

1. (ii) தொடர்ச்சியற்ற நிகழ்வெண் பரவலுக்கு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைதல்

எடுத்துக்காட்டு 6.7

ஒரு நகரத்தில் 10 முதல் 45 ஆண்டுகள் வயது வரையுள்ள படித்த பெண்களின் எண்ணிக்கை கீழ்க்காணும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

மேற்காணும் தரவுகளுக்கு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைக.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள பரவல் தொடர்ச்சியற்றதுடன் தரவுகளை அவ்வாறே வரைபடத்தில் குறித்தால், இரண்டு பிரிவுகளுக்கு இடையில் இடைவெளி இருப்பதால் செவ்வகப்பட்டை விளக்கப்படத்தை நாம் பெறுவோம். எனவே சரிசெய் காரணியைப் (0.5) பயன்படுத்தித் தொடர்ச்சியானப் பரவலாக மாற்ற வேண்டும்.

முதல் பிரிவு இடைவெளியை 9.5−15.5 என எழுதமுடியும். மேலும் மீதமுள்ளபிரிவு இடைவெளிகளையும் இதேபோல் மாற்ற வேண்டும். நிகழ்வெண்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லை .

புதிய தொடர்ச்சியான நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணை.

கீழ்க்காணுமாறு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.8

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வுச் செவ்வகத்தை உற்றுநோக்கிக் கீழ்க்காணும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க. 

குறிப்பு: குறைந்த எடை பிரிவு: 30 கி.கி இக்கும் குறைவாக ; சரியான எடை பிரிவு : 30−45 கி.கி; அதிக எடை பிரிவு: 45 கி.கி இக்கும் அதிகம். 

1. நிகழ்வுச் செவ்வகம் குறிக்கும் விவரம் என்ன? 

2. எந்தக் குழுவில் அதிகபட்சமான மாணவர்களின் எண்ணிக்கை உள்ளது? 

3. எத்தனை மாணவர்கள் குறைந்த எடைப் பிரிவில் உள்ளனர்? 

4. எத்தனை மாணவர்கள் அதிக எடைப் பிரிவில் உள்ளனர்? 

5. எத்தனை மாணவர்கள் 30−40 கி.கி எடைப் பிரிவில் உள்ளனர்?

தீர்வு: 

1. எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்கள் எடையைச் சேகரித்து, அதனை நிகழ்வுச் செவ்வகத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. 

2. 30−35 கிகி எடைப் பிரிவில் அதிகபட்சமாக 9 மாணவர்கள் உள்ளனர்.

3. 7(= 2+5) மாணவர்கள் குறைந்த எடைப் பிரிவில் உள்ளனர். 

4. 3 மாணவர்கள் அதிக எடைப் பிரிவில் உள்ளனர். 

5. 16 (= 9 + 7) மாணவர்கள் 30−40 கிகி எடைப் பிரிவில் உள்ளனர்.

2. நிகழ்வுப் பலகோணம்

நிகழ்வுப் பலகோணம் என்பது வரைபடமுறையில் நிகழ்வெண் பரவலைக் குறிக்கும் கோட்டு வரைபடம் ஆகும். நிகழ்வுச் செவ்வகத்திலுள்ள செவ்வகங்களின் மேல் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியைக் குறித்து அவற்றை நேர்க்கோடு மூலம் இணைக்கக் கிடைக்கும் வடிவம் நிகழ்வுப் பலகோணம் ஆகும். ஒரு பலகோணத்தைப் போன்று பல பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளதால் இதனை நிகழ்வுப் பலகோணம் என அழைக்கின்றோம்.

ஒரு நிகழ்வுப் பலகோணம், இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட நிகழ்வெண் பரவலை ஒப்பிட்டுப் பார்க்கப் பயன்படுகிறது. தொகுக்கப்பட்ட நிகழ்வெண் பரவலுக்கான நிகழ்வுப் பலகோணத்தை இரண்டு வழிகளில் வரையலாம்.

(i) நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தி

(ii) நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தாமல் 

2. (i) நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்வுப் பலகோணத்தை வரைதல் 

1. கொடுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கு நிகழ்வு செவ்வகம் வரைக. 

2. அடுத்தடுத்து அமைகின்ற செவ்வகங்களின் மேற்பக்கங்களின் மையப் புள்ளிகளைக் குறித்து நேர்க்கோடுகள் மூலம் இணைக்கவும். 

3. நிகழ்வுச் செவ்வகத்தில் முதல் செவ்வகத்திற்கு முன் ஒரு பிரிவு இடைவெளியும், கடைசிச் செவ்வகத்தைத் தொடர்ந்து ஒரு பிரிவு இடைவெளியும் இருப்பதாகக் கொண்டு மேலும் இந்தப் பிரிவு இடைவெளியின் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்வெண்ணும் பூச்சியம் எனவும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். இந்தப் பிரிவு இடைவெளியைக் கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளி என்கிறோம். 

4. நிகழ்வுப் பலகோணம் பெற, கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளியின் மையப் புள்ளிகளை முறையே முதல் மற்றும் கடைசி செவ்வகத்தின் மேல் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியுடன் இணைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.9

ஒரு பள்ளியில் படிக்கும் 200 மாணவர்கள் நூலகத்தில் செலவிடும் நேர பரவல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்வுப் பலகோணம் வரைக. 

தீர்வு:

மாணவர்கள் நூலகத்தில் செலவிடும் நேரத்தை x அச்சின் மீதும், மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை y−அச்சின் மீதும் குறிக்கவும்.

கொடுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைக. இப்பொழுது அடுத்தடுத்த செவ்வகங்களின் மேல் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிகளைக் குறிக்க. மேலும் x − அச்சின் மீது நிகழ்வெண் பூச்சியத்தைக் கொண்ட கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளியின் நடுப்புள்ளிகளையும் குறிக்க. அளவுகோல் உதவியுடன் அனைத்து நடுப்புள்ளிகளையும் இணைக்க. இப்போது நாம் நிகழ்வுச் செவ்வகத்தின் மீது அமைந்த நிகழ்வுப் பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்.

குறிப்பு

சில நேரங்களில் கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளிகள் அமைவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தேர்வில் மாணவர்கள் பெறும் மதிப்பெண்களில், பூச்சிய மதிப்பெண்ணிற்குக் கீழும், அதிகப்பட்ச மதிப்பெண்ணுக்கு மேலும் என இருபுறமும் செல்ல முடியாது. இதுபோன்ற நிகழ்வுகளின் கடைக்கோடுகள் முறையே முதல் செவ்வகத்தின் இடப்பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியையும், கடைசிச் செவ்வகத்தின் வலப்பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியையும் எடுத்துக்கொண்டு இணைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.10

நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்கண்டத் தரவுகளுக்கு நிகழ்வுப் பலகோணம் வரைக. 

தீர்வு:

பிரிவு இடைவெளியை x−அச்சின் மீதும், மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை y−அச்சின் மீதும் குறிக்கவும். கொடுக்கப்பட்டத் தரவுகளுக்கு நிகழ்வுச் செவ்வகம் வரைந்து, செவ்வகத்தின் நடுப்புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை நேர்க்கோடுகளால் இணைக்கவும். நாம் நிகழ்வுப்பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம். நிகழ்வுப் பலகோணத்தின் முதல் மற்றும் கடைசி விளிம்புகள் முறையே முதல் மற்றும் கடைசிச் செவ்வகத்தின் இடது மற்றும் வலது செங்குத்துப் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ளதைக் கவனிக்கவும். ஏனெனில், மதிப்பெண்களுக்குக் கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளிகள் அமைவதில்லை . (மேற்காணும் குறிப்பைக் கருத்தில் கொள்க)

2. (ii) நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தாமல் நிகழ்வுப் பலகோணம் வரைதல் 

(1) பிரிவு இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளியைக் கண்டுபிடித்து அட்டவணைப்படுத்தவும். 

(2) பிரிவு இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளியை x−அச்சின் மீதும், நிகழ்வெண்களை y−அச்சின் மீதும் குறிக்கவும். 

(3) ஒவ்வொரு மையப்புள்ளியிலும் அதன் நிகழ்வெண்ணிற்கேற்பப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். 

(4) அளவுகோலைப் பயன்படுத்திப் புள்ளிகளை இணைக்க, நிகழ்வுப் பலகோணம் கிடைக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 6.11

நிகழ்வுச் செவ்வகத்தைப் பயன்படுத்தாமல் கீழ்க்காணும் தரவுகளுக்கு நிகழ்வுப்பலகோணம் வரைக. 

தீர்வு :

பிரிவு இடைவெளியின் நடுப்புள்ளியைக் கண்டுபிடித்து அதனை அட்டவணைப்படுத்துக. 

புள்ளிகள் (15,4) (25,6) (35,8) (45,12) (55,10) (65,14) (75,5) (85,7) ஆகும்.

வரைபடத்தாளில், நடுப்புள்ளியை x−அச்சிலும், நிகழ்வெண்களை y−அச்சிலும் குறிக்கவும்.

கற்பனைப் பிரிவு இடைவெளி 0−10 ஐ தொடக்கத்திலும், 90−100 ஐ முடிவிலும் எடுத்துக்கொண்டு நிகழ்வெண்ணை பூச்சியம் எனக் கொள்ள வேண்டும்.

அட்டவணையிலிருந்து, நமக்குத் தேவையான ABCDEFGHIJ என்ற நிகழ்வுப் பலகோணம் பெறுவதற்கு AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ ஆகிய கோட்டுத்துண்டுகளை இணைக்கவும்.