உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சார்புகளை வரைபடமாக்குதல்

உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சார்புகளை வரைபடமாக்குதல்

(Graphing Functions using Tranformations)

"ஒரு சித்திரம் ஆயிரம் சொற்களுக்குச் சமம்" என்பது பழமொழி. ஒரு சார்பைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ளப் பகுமுறை கோவையை விட அதன் வரைபடமே நமக்கு நன்கு புரிந்து கொள்ள உதவுகிறது என்றால் மிகையில்லை. பல புள்ளிகளைத் தளத்தில் குறியிட்டு வரைவதனைத் தவிர்த்து, ஒரு வளைவரையை வரைவது ஒரு சிறந்த கலைத்திறமையாகும். சில கடினமான சார்புகளை வரைபடமாக்க, சில அடிப்படை வடிவங்கள் மற்றும் சார்புகளைப் பற்றிய புரிதல் இன்றியமையாதது. சமச்சீர் தன்மையும், உருமாற்றமும் வரைப்படக் கலையைச் செம்மையாக்குகிறது. இப்பிரிவு வெறும் வரைபடங்களின் தொகுப்பன்று. மாறாகச் சில சார்புகளை வரைபடமாக்கும் முறைகளைப் பற்றி கற்பிக்கிறது.

உதாரணமாக y = 2 sin(x - 1) + 3 எனும் வளைவரையின் சார்பினைப் பார்த்த மாத்திரத்தில் வளைவரையை வரைவது கடினம் என்ற எண்ணம் தோன்றும். ஆனால் சார்பின் அமைப்பினைப் பிரித்துப் புரிந்து கொண்டால் எளிதாக வரைய இயலும். இப்பகுதியின் முடிவில் இச்சார்பின் வளைவரையைக் காணலாம்.

ஒரு கோட்டைப் பொறுத்து வரைபடத்தின் ஒரு பாதி மற்ற பாதியின் பிம்பம் என்பதை அறிந்திருந்தாலோ அல்லது குறிப்பிட்ட வளைவரையை சற்றுத் திசை நகர்த்துவதன் மூலம் முன்னர் அறிந்த வளைவரையைக் கொண்டு அறியாத வளைவரையை புதியதாக வரையலாம். மேலும் ஒரு வளைவரையை பெரியதாக ஆக்கவோ, சுருக்கவோ கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை மூலமாகப் பெற முடிந்தால் புதிய வளைவரைகளை, தெரிந்த வளைவரைகளைக் கொண்டே எளிதாக வரைய இயலும்.

கீழ்க்காணும் உருமாற்றங்களின் வகைகள் வரைப்படமாக்கலில் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது.

(i) பிரதிபலிப்பு (reflection)

(ii) இடப்பெயர்ச்சி (translation)

(iii) விரிதல் / சுருங்குதல் (dilation)

பிரதிபலிப்பு மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி உருமாற்றங்களைப் பொறுத்தவரை மூல வரைபடங்களுக்கு சர்வசமமாக அவை அமையும். அதாவது அதன் அளவு, தோற்றம் முதலியன மாறாது. ஆனால் விரிதலில் அங்ஙனம் நிகழ்வதில்லை.

பிரதிபலிப்பு (reflection)

கொடுக்கப்பட்ட வரைப்படம் f - க்கு, l என்ற கோட்டின் மீதான பிரதிபலிப்பு f ' என்பது l -ஐப் பொறுத்து f - க்குச் சமச்சீராக அமையும் வரைபடம் ஆகும். l என்ற கோட்டினைக் கண்ணாடியாகக் கொண்டு ஒரு வளைவரைக்கு கிடைக்கும் பிம்பமே பிரதிபலிப்பாகும் [படம் 1.47].

இங்கு, f' என்பது l மீதான -ன் கண்ணாடி பிம்பமாகும். f -ல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் f'-ல் ஒத்திசைவான ஒரு புள்ளி அமையும்.

(i) x -அச்சைப் பொறுத்து, y = f (x) -ன் பிரதிபலிப்பு y = - f(x) எனும் வரைபடம்    

(ii) y -அச்சைப் பொறுத்து y = f (x) -ன் பிரதிபலிப்பு y = f(-x) எனும் வரைபடம் 

(iii) y = x என்ற நேர்க்கோட்டினைப் பொறுத்து y = f (x) -ன் பிரதிபலிப்பு y = f -1(c) எனும் வரைபடம் ஆகும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.5

(i) y = x2

(ii) y = -x2 என்னும் சார்புகளைக் கருதுக.

f(x) = x2 என்ற சார்புக்கு -f(x) = -x2 ஆகும். ஆகையால் . x- அச்சினைப் பொறுத்து y = x2 -ன் பிரதிபலிப்பு y =-x2 ஆகும் [படம் 1.48].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.6 y2 = x மற்றும் y2= -x ஆகிய வளைவரைகளின் மிகைக் கிளைகளைக் கருத்தில் கொள்க.

f(x) = √x என்ற சார்புக்கு f(x) = √-x. ஆகையால் y-அச்சைப் பொறுத்து        f(x) = √x -ன் பிரதிபலிப்பு f(x) = √-x ஆகும். இங்கு x < 0 [படம் 1.49].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.7   (i) y = ex       ii) y = logex

y = logex -ன் நேர்மாறு y = ex என நாம் அறிவோம். ஆதலால் y = x என்ற கோட்டினைப் பொறுத்து y = logex -ன் பிரதிபலிப்பு y = ex ஆகும். [படம் 1.50]

இடப்பெயர்ச்சி (Translation)

ஒரு வரைபடத்தைக் கிடைமட்டமாக அல்லது நிலைக்குத்தாக இடப்பிறழ்வில் ஒருங்கிசைவான வரைபடங்களை உருவாக்குவது இடப்பெயர்ச்சி எனப்படும்.

வளைவரை y = f (x) -ஐ C அலகுகளுக்குக் கிடைமட்டமாக இடப்பக்க நகர்வால் கிடைப்பது y = f(x + c) , c > 0 என்ற வளைவரையாகும்.

வலப்பக்க நகர்வால் கிடைப்பது y = f(x - c) , c > 0 என்ற வளைவரையாகும்.

வளைவரை y = f (x) -ஐ d அலகுகளுக்கு நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி நகர்வால் கிடைப்பது y = f (x) + d , d > 0 என்ற வளைவரையாகும்.

கீழ்நோக்கிய நகர்வால் கிடைப்பது y = f(x) - d, d > 0 என்ற வளைவரையாகும். 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.8

(i) f(x) = | x |                             

(ii) f(x) = | x-1 |                         

(iii) f(x) = | x + 1|  

என்ற வளைவரைகளை கருதுக.

f(x) =| x -1| என்பதன் வளைவரை f(x) = | x | என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு வலப்பக்கமாக நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

f(x) = | x +1| என்பதன் வளைவரை f(x) = | x | என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு இடப்பக்கமாக நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும் [படம் 1.51].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.9

(i) f(x) = | x |                   

(ii) f(x) =| x | - 1                  

(iii) f(x) = | x | + 1

என்ற வளைவரைகளை கருதுக.

f(x) = | x | - 1 என்ற வளைவரை, f(x) = | x | என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு கீழ்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

f(x) = | x | + 1 என்ற வளைவரை, f(x) = | x | என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு மேல்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும் [படம் 1.52] 

விரிதல் / சுருங்குதல் (dilation)

வரைபடத்தை x - அச்சை நோக்கி விரிக்கவோ அல்லது y -அச்சை நோக்கிச் சுருங்கவோ செய்வது, விரிதல் l சுருங்குதல் ஆகும். ஒரு மிகை மாறிலியால் ஒரு சார்பினைப் பெருக்குவதால் வரைபடமானது, விரிதல் அல்லது சுருங்குதல் அடைகிறது; அதாவது x- அச்சிலிருந்து விலகிச் செல்லவோ அல்லது நெருங்கவோ செய்கிறது. குறிப்பாக மிகை மாறிலி, ஒன்றை விடப் பெரியதாக இருப்பின், வரைபடம் x - அச்சிலிருந்து விலகிச் செல்லும். அதாவது y - அச்சை நோக்கிச் சுருங்கும். ஒன்றை விட மிகை மாறிலி குறைவாக இருப்பின், வரைபடம் x - அச்சை நோக்கி நெருங்கும். அதாவது y- அச்சை விட்டு விலகி விரிவடையும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.10: 

(i) f(x) = x2            

(ii) f(x) = 1/2x2               

(iii) f(x) = 2x2

என்ற வளைவரைகளை கருதுக.

f(x) = 1/2x2 என்ற சார்பின் வரைபடம், f(x) = x2 -ன் வரைபடத்தை x -அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது விரிவடைகிறது. ஏனெனில், இங்குப் பெருக்கல் காரணி 1/2 , ஒன்றை விடச் சிறியதாக இருக்கிறது.

f(x) = 2x2 என்ற சார்பின் வரைபடம் f(x) = x2 -ன் வரைபடத்தை x -அச்சிலிருந்து விலகி y - அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது வரைபடம் y - அச்சை நோக்கிச் சுருங்குகிறது. ஏனெனில், இங்கு பெருக்கல் காரணி 2, ஒன்றை விடப் பெரியதாக இருக்கிறது [படம் 1.53]. 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.11:

(i) f(x) = x2                              

(ii) f(x) = x2 + 1                       

(iii) f(x) = (x + 1)2 என்ற வளைவரைகளைக் கருதுக.

f(x) = x2 + 1 என்ற சார்பின் வரைபடம், f(x) = x2 -ஐ ஒரு அலகு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி நகர்த்துகிறது

f(x) = (x + 1)2 என்ற சார்பின் வரைபடம் f(x) = x2-ஐ ஒரு அலகு கிடைமட்டமாக இடப்பக்கம் நோக்கி நகர்த்துகிறது [படம் 1.54].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.12: y = x2 - 1, y = 4(x2 - 1) மற்றும் y = (4x)2 - 1 வரைபடங்களை ஒப்பீடு மற்றும் வேறுபடுத்திக் காண்க.

வரைபடங்கள் 1.55 மற்றும் 1.56 ஆகியவை y- அச்சு அளவீட்டில் காண்பதற்கு முன், இவை ஒன்றுபோல் காட்சி அளிக்கின்றன. படம் 1.56 -ல் உள்ள அளவீடு மூலச் சார்பினை (படம்1.55) நான்கால் பெருக்குவதால் y அளவீட்டை நான்கு மடங்காக மாற்றுகிறது. ஒரே அளவீட்டில் இந்தச் சார்புகளை ஒரே தளத்தில் வரைபடங்களாக வரைந்தால் படம்1.57 -ன் படி வேறுவகையில் காட்சியளிக்கிறது.

y = (4x)2 - 1 -ன் வரைபடம் படம் 1.58 -ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. படம் 1.55 மற்றும் படம் 1.58 ஆகிய இரு வரைபடங்களுக்கிடையே உள்ள வேறுபாடு கண்டுபிடிக்க இயலுமா? இங்கு அளவீடு படம் 1.55 -ல் பயன்படுத்திய அதே நான்கின் காரணியால் மாறுபட்டுள்ளது. இந்த வேறுபாட்டைக் காண y = (4x)2 - 1 ல் x =1/4  எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது        12 -1. அதுவே மூலச் சார்பில் (படம் 1.55) x = 1 -ஆல் பிரதியிடக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகும். ஒரே தளத்தில் இரண்டு சார்புகளையும் வரையும்போது (படம் 1.59) y = (4x)2 - 1 என்ற வளைவரை y - அச்சை நோக்கி நெருங்கிக் காட்சியளிக்கின்றது. இங்கு x - வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறானாலும் y - வெட்டுத்துண்டுகளில் மாற்றம் இல்லை.

விளக்க எடுத்துக் காட்டு 1.13

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.12 -ல் பயன்படுத்திய செயல்முறையை    y = sin x ; y = sin 2x வரைபடங்களுக்கும் ஒருங்கிணைந்த வரைபடங்களுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டுக் கீழே தரப்பட்டுள்ளது [படங்கள் 1.60, 1.61 மற்றும் 1.62]

sin x மற்றும் sin2x ஆகியவற்றின் மீச்சிறு மற்றும் பெரும மதிப்புகளில் மாறுபாடு இல்லை. ஆனால் x வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறாக அமையும். y = sinx என்ற சார்பின் x வெட்டுத்துண்டுகள் ±nπ ஆகும். ஆனால், y = sin 2x -ன் வெட்டுத்துண்டுகள் ±1/2 nπ ஆகும். இங்கு n ∈ Z.

இப்பகுதியின் தொடக்கத்தில் y = 2sin (x-1)+3 என்ற சார்பின் வரைபடத்தை வரைவது பற்றி கூறினோம். இப்போது அதை வரைவதற்கு தேவையானவற்றைத் தெரிந்து கொண்டுள்ளோம். மேலும் இதனை விடக் கடினமான வளைவரை வரைவதற்குக் கூட ஆயத்தமாக இருக்கின்றோம். இனி y= 2sin (x-1) +3 என்ற சார்பின் வளைவரையை வரைவோம்.

விளக்க எடுத்துக் காட்டு 1.14 y = 2sin (x-1) + 3 என்ற சார்பின் வளைவரையை வரைக.

y = sinx என்ற வளைவரையை இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விரிதலைப் பயன்படுத்தி இவ்வளைவரையை வரைய இயலும் என்பது புலனாகிறது. முதலில் y = sinx என்பதன் வளைவரையை வரைவோம். இதிலிருந்து           y = sin(x-1) -ஐ எளிதாக வரையலாம். பிறகு y = 2sin (x-1) -ன் வளைவரையை வரைந்து இறுதியாக y = 2sin (x-1) + 3 என்பதன் வளைவரையை வரையலாம் [படங்கள் 1.63, 1.64, 1.65 மற்றும் 1.66].

பயிற்சி 1.4

1. கொடுக்கப்பட்டுள்ள [படம் 1.67] y = x3 என்ற வளைவரையின் படத்தினைப் பயன்படுத்தி அச்சு மதிப்பு மாறாமல் ஒரே தளத்தில் கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரைக. 

(i) y = – x3                  

(ii) y = x3 + 1                 

(ii) y = x3 -1                 

(iv) y = (x + 1)3

2. கொடுக்கப்பட்டுள்ள [படம் 1.68] y = x(1/3) என்ற வளைவரையைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்காணும் சார்புகளை ஒரே தளத்தில் வரைக. 

3. ஒரே தளத்தில் f(x) = x3 மற்றும் g(x) =3√ x சார்புகளை வரைபடமாக்குக. f ◦ g-ஐ கணித்து அதே தளத்தில் வரைபடமாக்குக. முடிவுகளை ஆய்வு செய்க 

4. y = x2 என்ற வளைவரையிலிருந்து y = 3(x - 1)2 + 5 என்ற வளைவரையை காணும் படிநிலைகளை எழுதுக. 

5. y = sin x என்ற சார்பினை வரைந்து அதன் மூலம்

(i) y = sin(-x)                        

(ii) y = – sin(-x) 

(iii) y= sin (π/2+x)                   

(iv) y= sin (π/2-x) 

ஆகியவற்றை வரைக. (இங்கு (iii), (iv) என்பவை cos x என்பது முக்கோணவியல் மூலம் தெரிந்து கொள்ளலாம்.)

6. y = x என்ற நேர்கோட்டின் மூலம்

(i) y= -x          

(ii) y = 2x           

(iii) y = x+1

(iv) y = 1/2 x +1    

(v) 2x + y + 3 = 0     

ஆகியவற்றைத் தோராயமாக வரைக. 

7. y = | x | என்ற வளைவரையின் மூலம்

(i) y = |x-1|+1     

(ii) y = |x +1|-1       

(iii) y =|x + 2| + 3 ஆகியவற்றை வரைக. 

8. y = sin x என்ற வளைவரை மூலம் y = sin|x | என்பதன் வரைபடத்தை வரைக. [இங்கு sin(- x) = - sin x] .