கணங்கள்

கணங்கள் (Sets)

கடந்த வகுப்புகளில், கணம் என்பது முறையாக வரையறுக்கப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பாகப் பார்த்தோம். நவீனக் கணிதத்தின் கட்டமைப்பில் ஒன்றாகக் கணங்கள் விளங்குவதால், கணங்களின் கோட்பாட்டைப் பற்றிக் கவனமாகவும் ஆழமாகவும் உள்ளார்ந்து புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அதற்கு முறையாக வரையறுக்கப்பட்டது" என்கிற சொல்லின் உள்ளார்ந்த பொருளினைக் காண்போம்.

கீழ்க்காணும் இரு கூற்றுக்களைக் கவனிக்கவும்:

(i) உதகை ரோஜா தோட்டத்திலுள்ள அழகான மலர்களின் தொகுப்பு. 

(ii) தமிழகத்திலுள்ள அனைத்து முதியவர்களின் தொகுப்பு.

இத்தொகுப்புகள் கணங்களாக இருக்க இயலுமா?

"அழகான மலர்கள்" மற்றும் "முதியவர்கள்" என்கிற சொற்கள் முறையாக வரையறுக்கப்படவில்லை. அழகுக்கு அறுதியிட்டு அர்த்தம் கூற இயலாததால், "அழகான மலர்" என்கிற வார்த்தைக்குத் தெளிவான அல்லது முறையான வரையறை இல்லை. அழகு என்பது நபருக்கு நபர், இடத்துக்கு இடம், பொருளுக்குப் பொருள் மாறக் கூடியது. எனவே உதகை ரோஜா தோட்டத்திலுள்ள அழகான மலர்களின் தொகுப்பு" போன்ற கூற்றுகளை நாம் கணமாகக் கருத இயலாது. இப்போது "உதகை ரோஜா தோட்டத்திலுள்ள சிவப்பு மலர்களின் தொகுப்பு" -ஐ ஒரு கணம் என்று சொல்ல இயலுமா? இதற்கு 'ஆம்' என்பதே நமது பதிலாக அமையும்.

சிலர் அறுபது வயதை முதுமையாகக் கருதுவர். சிலர் அவ்வாறு கருதுவதில்லை முதுமைக்கான உரிய வயது அளவிற்கு, முறையான வரையறை இல்லை. எனவே இரண்டாவது கூற்றினை,

"தமிழகத்தில் உள்ள 70 வயதைக் கடந்தவர்களின் தொகுப்பு"

என வரையறுக்கும் போது வயது பற்றிய தெளிவான வரையறையுடன், மேற்குறிப்பிட்ட தொகுப்பு ஒரு கணமாக அமையும்.

எனவே, ஒரு கணத்தைப் பற்றிய விவரம், குறிப்பிட்ட பொருள் அந்தக் கணத்தின் உறுப்பாக அமைகிறதா, இல்லையா என்பதை நமக்குத் தெளிவாக்க வேண்டும். எனவே கணமானது, தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொகுப்பு ஆகும்.

∈, ⊂, ⊆, U மற்றும் ∩ போன்ற குறியீடுகளை ஏற்கனவே நாம் பயன்படுத்தியுள்ளோம். அந்தக் குறியீடுகளைச் சரியாகக் குறிப்பிட்ட இடங்களில் பயன்படுத்துவதைப் பற்றிப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு கேள்வியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

"A மற்றும் B என்பன இரு கணங்களாயின், A ∈ B என எழுதுவது சரியான பொருள் தருமா?"

முதல் பார்வையில், இது எப்போதுமே அர்த்தமற்றது, ஏனெனில், " ∈ என்ற குறியீட்டை ஒரு உறுப்புக்கும் ஒரு கணத்திற்கும் இடையில் உள்ள தொடர்புக்கு மட்டுமே பயன்படுத்த வேண்டும் என்றும், அது இரண்டு கணங்களுக்கு இடையில் உள்ள தொடர்புக்குப் பயன்படுத்தப்படக்கூடாது என்றும் கூற விழையலாம். இரண்டாவதாகக் கூறியது உண்மை இல்லை என்றாலும், வாக்கியத்தின் முதல் பகுதி உண்மைதான். எடுத்துக்காட்டாக, A = {1, 2} மற்றும் B = {1,{1,2},3,4} எனும் போது இரு கணங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு, A ∈ B ஆகும். இப்பகுதியில் நாம் அத்தகைய குறியீடுகளின் செயல்பாடுகளை மேலும் ஆழமாக ஆராய்வோம்.

     முந்தைய வகுப்புகளில் நாம் கற்றுக் கொண்டதைப் போன்று, எந்த உறுப்பும் இல்லாத ஒரு கணம் வெற்று கணம் அல்லது வெற்றிடக் கணம் (empty set) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது பொதுவாக φ அல்லது { } எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேலும் A ⊆ B என்ற கூற்றின்படி, A என்னும் ஒரு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் B என்னும் கணத்தில் அமைந்திருக்கிறது எனப் பொருள். இப்போது A கணமானது B-யின் உட்கணம் (subset) எனவும், B கணமானது A கணத்தின் மேற்கணம் அல்லது மிகைக் கணம் (super set) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்கு A ⊆ B மற்றும் B ⊆ A என இருப்பின், இரண்டு கணங்களும் சம கணங்கள் (equal sets) ஆகும். எந்தவொரு A என்கிற கணத்திற்கு வெற்றுக்கணமும் அந்தக் கணமும் எப்போதும் உட்கணங்களாகும். இந்த இரு உட்கணங்களும் வெள்ளிடை உட்கணங்கள் (trivial subsets) எனப்படுகின்றன. மேலும் A கணமானது B-ன் உட்கணமாகவும் A ≠ B எனவும் இருந்தால் A கணமானது B - இன் தகு உட்கணம் (proper subset) எனப்படும். அதாவது கேணத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பாவது A கணத்தின் உறுப்பாக இருக்காது. A என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் A என்னும் கணத்திலேயே அமைந்திருப்பதால் A⊆ A எனலாம். இத்தகைய உட்கணம் தகா உட்கணம் (improper subset) எனப்படும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், A எனும் எந்த ஒரு வெற்றுக்கணமில்லாத கணமும், A எனும் கணத்தின் தகா உட்கணமே ஆகும். மேலும், N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ஆகும். இதில் N என்பது இயல் எண்க ளின் கணம் அல்லது மிகை முழு எண்களின் கணம் எனவும், W என்பது குறையற்ற முழு எண்களின் கணம் எனவும், Z என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் எனவும், Q  என்பது விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனவும் மற்றும் R என்பது மெய்யெண்களின் கணம் எனவும் குறிப்பிடப்படும். இதில் விகிதமுறா எண்களின் கணம், R-ன் உட்கணமாகவும், மேற்குறிப்பிட்ட வேறு எந்த ஒரு கணத்திற்கும் உட்கணமாக அமையவில்லை என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

A, B என்ற இரு கணங்களின் சேர்ப்புக் கணம்,

A ∪ B = {x : x ∈ A அல்லது x ∈ B} மற்றும் அதன் வெட்டுக்கணம்

A ∩ B = {x : x ∈ A மற்றும் x ∈ B}

என்ற வரையறைகளையும் ஏற்கனவே பார்த்துள்ளோம். A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்குப் பொதுவான உறுப்பு ஏதுமின்றி அமைந்தால் அவை வெட்டாக் கணங்கள் (disjoint sets) ஆகும். அதாவது A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டாக் கணங்கள் எனில் A∩B = φ ஆகும். 

மேலும் சில குறியீடு முறைகளைக் காண்போம். போன்ற குறியீடு முறைகளை நாம் ஏற்கனவே அறிந்துள்ளோம். இது a1 + a2+... + an என்பதன் சுருக்கமே. இதே போன்று மற்றும் ஆகியவை முறையே A1 ∪ A2 ∪… ∪An மற்றும் A1 ∩ A2 ∩..... ∩ An ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன.

= {x : x ∈ Ai, ஏதோ ஒரு i -க்கு} என்றும் = {x : x ∈ Ai, ஒவ்வொரு i -க்கு} என்றும் கூறலாம். அதிக எண்ணிக்கையிலானக் கணங்களின் பயன்பாட்டின்போது இக்குறியீடுகள் தேவைப்படுகிறது.

A என்பது ஒரு கணம் எனில், A -ன் அனைத்து உட்கணங்களையும் உள்ளடக்கிய கணம் அடுக்குக் கணம் (power set) எனப்படும். இதனை P(A) எனக் குறிக்கலாம். அதாவது, P(A) = {B:B⊆A}. A என்ற கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n எனில் P(A) -ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2n ஆகும்.

நிரப்பிக் கணத்தினைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ள அனைத்துக்கணத்தைப் பற்றி முழுமையாகத் தெரிந்து கொள்வது அவசியமாகிறது. பொதுவாகக் கணித செயல்பாட்டில் கருத்தில் கொள்ளப்படும் எல்லாக் கணங்களும் உட்கணங்களாக அமையுமாறு ஒரு நிலையான கணம் அமையும். இந்தக் குறிப்பிட்ட கணமே அனைத்துக்கணம் (universal set) ஆகும். உதாரணமாக, சூழ்நிலைகளுக்கு ஏற்ப பகா எண்களுக்கு, பகா எண்களை உள்ளடக்கிய ஒரு கணம் அனைத்துக்கணமாக செயல்படும். எனவே N, W, Z, Q, R ஆகிய இவற்றில் ஒன்று பகா எண்களின் கணத்திற்கு அனைத்துக்கணமாக, செயல்படும் இடத்தைப் பொறுத்து அமையும். அனைத்துக் கணத்தினைப் பொதுவாக U எனக் குறிப்பிடுவோம்.

U எனும் அனைத்துக்கணத்தின் உட்கணமான A எனும் ஒரு கணத்திற்கு, நிரப்பிக்கணம் A' அல்லது Ac எனக் குறிப்பிடப்பட்டு, A' = { A’ = {x : x ∈ U மற்றும் x ∉ A} என வரையறுக்கப்படுகிறது.

கணம் B -ல், கணம் A-ன் கண வேறுபாடு (set difference) என்பதை A-B அல்லது A\B எனக் குறிப்பிட்டு,

A − B = {a : a ∈ A மற்றும் a ∉ B}. என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும், 

(i) U-A = A'    (ii) A-A = ϕ    (iii) ϕ- A = ϕ    (iv) A - ϕ = A    (v) A - U = ϕ.

A மற்றும் B ஆகிய கணங்களின் சமச்சீர் வேறுபாடு (symmetric difference) என்பதனை, A ∆ B எனக் குறிப்பிட்டு, A ∆ B = (A – B) U (B – A) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

உண்மையில், A ∆ B -ல் உள்ள உறுப்புகள், A ∩ B -ல் இல்லாமல் A ∪ B -ல் மட்டுமே இருக்கும் உறுப்புகளாகும். அதாவது A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) ஆகும்.

X என்ற கணமானது முடிவுறு (finite set) அல்லது முடிவுள்ள கணம் ஆக இருக்க வேண்டுமாயின் கணத்தில் k உறுப்புகள், k ∈ ℕ என இருத்தல் வேண்டும். இப்போது இம்முடிவுறு கணத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை செவ்வெண்மை என்றும் ஆதி எண் (cardinality) என்றும் அழைக்கலாம். இதனை k எனவும், குறியீட்டால் n(X) எனவும் குறிப்பிடுவோம். A என்ற கணம் முடிவுறு கணம் இல்லையெனில் அதனை முடிவுறாக் கணம் அல்லது முடிவிலாக் கணம் (infinite set) எனவும் குறிப்பிடுவோம். மேலும் n(A)= 1 எனில் அதனை ஓருறுப்பு கணம் (singleton set) எனக் கூறலாம். குறிப்பாக n(∅) = 0 மற்றும் n({∅}) = 1 என்பதனைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

கணச் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் (Properties of Set Operations)

நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருந்த பண்புகளையும் மேலும் தெரிந்திருக்க வேண்டிய சில புதிய பண்புகளையும் முடிவுகளாகக் காண்போம்.

பரிமாற்றுப் பண்புகள் (Commutative)

(i) A ∪ B = B ∪ A

(ii) A ∩ B = B ∩ A

சேர்ப்புப் பண்புகள் (Associative)

(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

பங்கீட்டு பண்புகள் (Distributive)

(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

சமனிப் பண்புகள் (Identity)

(i) A ∪ ϕ = A

(ii) A ∩ U = A

தன்னடுக்குப் பண்புகள் (Idempotent) 

(i) A ∪ A = A

(ii) A ∩ A = A

உட்கவர் பண்புகள் (Absorption)

(i) A ∪ (A ∩ B) = A

(ii) A ∩ (A ∪ B) = A

டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan Laws)

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B' 

(ii) (A ∩ B) = A' ∪ B' 

(iii) A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)

(iv) A - (B ∩ C) = (A - B) U (A – C)

சமச்சீர் வேறுபாட்டு பண்புகள் (Symmetric difference) 

(i) A ∆ B = B ∆ A

(ii) (A∆B) ∆ C = A ∆ (B∆C) 

(iii) A ∩ (B∆C) = (A∩B) ∆ (A∩C) 

வெற்று கணத்திற்கும் அனைத்துக் கணத்திற்குமான பண்புகள் (Empty and universal sets) 

(i) ϕ' = U

(ii) U' = ϕ

(iii) A ∪ A' = ϕ

(iv) A ∪ A' = ϕ

(V) A ∪ U = U

(vi) A ∩ U = A

செவ்வெண்மைக் குணங்கள் (Cardinality)

(i) A மற்றும் B எனும் எந்த இரு முடிவுறு கணங்களுக்கும்,

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B).

(ii) A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டாக் கணங்களெனில், n (A ∪ B) = n (A) + n (B).

(iii) A, B மற்றும் C எனும் எந்த மூன்று கணங்களுக்கும்,

n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)