முக்கோணத்தின் வகைகள் மற்றும் பண்புகள்

முக்கோணத்தின் வகைகள் மற்றும் பண்புகள்

புள்ளித்தாளில் சில முக்கோணங்கள் வரையப்பட்டுள்ளன. மீதமுள்ள புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி இயன்றவரை பல முக்கோணங்கள் வரைக. அனைத்து முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களை அளந்து கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையில் நிரப்புக.

அட்டவணையிலிருந்து, பின்வருவனவற்றை உற்றுநோக்கலாம் :

• ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் வெவ்வேறானவை எனில் மூன்று பக்கங்களும் வெவ்வேறானவை.

• ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் சமம் எனில் இரண்டு பக்கங்கள் சமம்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் சமம் எனில் மூன்று பக்கங்களும் சமம். ஒவ்வொரு கோணமும் 60° ஆக இருக்கும்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°.

 செயல்பாடு

மாணவர்களைக் குழுக்களாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் 9 அலகுகள் கொண்ட மூன்று குச்சிகளும், 3 அலகுகள் கொண்ட இரண்டு குச்சிகளும், 2 அலகுகள் கொண்ட இரண்டு குச்சிகளும், 5 அலகுகள் கொண்ட ஒரு குச்சியும், 4 அலகுகள் கொண்ட ஒரு குச்சியும் கொடுத்து, அக்குச்சிகளைப் பயன்படுத்தி மூன்று முக்கோணங்களை உருவாக்கி அம்முக்கோணங்களின் பக்க அளவுகளைக் கண்டறிந்து அட்டவணைப்படுத்தச் செய்க.

அட்டவணையிலிருந்து பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளி.

1. ஒவ்வொரு குழுவும் மூன்று முக்கோணங்களை உருவாக்க முடிந்ததா?

2. நீங்கள் உருவாக்கிய முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் எத்தனை பக்கங்கள் சமம்?

1. பக்கங்களின் அடிப்படையில் முக்கோணங்களின் வகைகள்

(i) ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் வெவ்வேறு அளவுடையவை எனில் அது ஓர் அசமபக்க முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(ii) ஒரு முக்கோணத்தில் எவையேனும் இரண்டு பக்கங்கள் சம அளவுடையவை எனில் அது ஓர் இருசமபக்க முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(iii) ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் சம அளவுடையவை எனில் அது ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

இவ்வாறு பக்கங்களின் அடிப்படையில் முக்கோணங்களை 3 வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்.

இவற்றை முயல்க

அட்டவணையை நிரப்புக. ஒரு முக்கோணத்தில்,

2. கோணங்களின் அடிப்படையில் முக்கோணங்களின் வகைகள் 

AB மற்றும் AC கோட்டுத்துண்டுகளால் அமைந்த பின்வரும் கோணங்களைக் குறுங்கோணம், செங்கோணம் அல்லது விரிகோணம் என வகைப்படுத்துக.

இப்பொழுது, மூன்றாவது பக்கத்தை வரைந்து முக்கோணம் அமைத்து, அம்மூன்று கோணங்களின் வகைகளையும் கண்டறிந்து எழுதுக.

இந்த மூன்று முக்கோணங்களையும் உற்று நோக்கவும்.

(i) ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் குறுங்கோணங்களாக (0°இக்கு மேல் 90°இக்குள்) இருப்பின் அது ஒரு குறுங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(ii) ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு கோணம் செங்கோணமாக (90°) இருப்பின் அது ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(iii) ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு கோணம் விரிகோணமாக (90°இக்கு மேல் 180°இக்குள்) இருப்பின் அது ஒரு விரிகோண முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

இவ்வாறு, கோணங்களின் அடிப்படையில் முக்கோணங்களை 3 வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்.

இவற்றை முயல்க

அட்டவணையை முழுமைப்படுத்துக.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஒரு முக்கோணத்தில் மூன்று கோணங்களும் குறுங்கோணங்களாக இருக்கலாம். ஆனால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கோணங்கள் செங்கோணங்களாகவோ அல்லது விரிகோணங்களாகவோ இருக்க இயலாது.

செயல்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் சில முக்கோணங்கள் உள்ளன. அவற்றின் பக்கங்களையும், கோணங்களையும் அளந்து இரு வேறு முறைகளில் பெயரிடுக. உங்களுக்காக ஒரு முக்கோணம் பெயரிடப்பட்டுள்ளது.

3. முக்கோணச் சமனின்மைப் பண்பு

இந்தச் சூழல் குறித்துச் சிந்திக்க:

கமலா, மதன் மற்றும் சுமதி ஆகிய மூன்று மாணவர்களிடம் முறையே 6 செ.மீ, 8 செ.மீ, 5 செ.மீ ; 4 செ.மீ, 10 செ.மீ, 5 செ.மீ மற்றும் 10 செ.மீ, 6 செ.மீ, 4 செ.மீ. நீளமுள்ள குச்சிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மூவரும் முக்கோணம் அமைக்க முயல்கின்றனர். முதலாவதாக உள்ள கமலா வெற்றிகரமாக முக்கோணத்தை அமைத்தாள். ஆனால் கமலாவிற்கு அடுத்துள்ள மதன் மற்றும் சுமதி ஆகிய இருவராலும் முக்கோணங்கள் அமைக்க இயலவில்லை. ஏன்?

குறிப்பு

மூன்று பக்க அளவுகளும் சமம் எனில் உறுதியாக முக்கோணம் அமைக்க இயலும்.

இருவரும் குச்சிகளின் முனைகளை இணைக்க முயற்சி செய்யும் பொழுது, இரண்டு சிறிய குச்சிகளும், நீளமான குச்சியின் மேல் ஒன்றோடொன்று பொருந்துகின்றன அல்லது நீளமான குச்சியை விடக் குறைவாக உள்ளன. எனவே அவர்களால் முக்கோணம் அமைக்க இயலவில்லை. இதிலிருந்து, இரு சிறிய பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் தான் முக்கோணம் அமைக்க இயலும் என்பதைப் புரிந்து கொள்கின்றனர்.

ஒரு முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்க அளவை விட அதிகமாக இருக்கும். இது முக்கோணச் சமனின்மைப் பண்பாகும்.

AB + BC > CA

BC + CA > AB

CA + AB > BC

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஒரு முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் மூன்றாவது பக்கமானது, இரு பக்கங்களின் வித்தியாசம் மற்றும் கூடுதல் ஆகியவற்றின் இடையில் அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 1: 7 செ.மீ, 10 செ.மீ மற்றும் 5 செ.மீ ஆகிய பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலுமா?

தீர்வு : முக்கோணச் சமனின்மை விதியை அனைத்துப் பக்கங்களுக்கும் சரிபார்ப்பதற்குப் பதிலாக, இரு சிறிய பக்க அளவுகளைக் கொண்டு சரிபார்க்க இயலும்.

இரு சிறிய பக்க அளவுகளின் கூடுதல் = 7 + 5 = 12 செ.மீ > 10 செ.மீ, மூன்றாவது பக்கம்.

இரு சிறிய பக்கங்களின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்கத்தைவிட அதிகமாக உள்ளது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: 7 செ.மீ, 7 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ ஆகிய பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலுமா?

தீர்வு: மூன்று பக்க அளவுகளும் சமமாக உள்ளன. எனவே முக்கோணச் சமனின்மைப் பண்பை இவை நிறைவு செய்யும் என்பதால் இவற்றைக் கொண்டு உறுதியாக முக்கோணம் அமைக்க இயலும்.

எடுத்துக்காட்டு 3: 8 செ.மீ, 3 செ.மீ மற்றும் 4 செ.மீ ஆகிய பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலுமா?

தீர்வு : இரு சிறிய பக்கங்களின் கூடுதல் = 3 + 4 = 7 செ.மீ < 8 செ.மீ, மூன்றாவது பக்கம்.

இரு சிறிய பக்கங்களின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்கத்தைவிடக் குறைவாக உள்ளது. 

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலாது.

இவற்றை முயல்க

கொடுக்கப்பட்டுள்ள பக்க அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலுமா? ஆம் எனில், அதன் வகையினை எழுதுக.

எடுத்துக்காட்டு 4: 80°, 30°, 40° ஆகிய கோண அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலுமா?

தீர்வு: மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் = 80° + 30° + 40° = 150° (180°இக்குச் சமமில்லை). 

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோண அளவுகளைக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் அமைக்க இயலாது.

சிந்திக்க

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பெரிய பக்கங்களின் வித்தியாசம் மூன்றாவது பக்கத்தை விடக் குறைவாக இருக்குமா? ஆம்

செயல்பாடு

முக்கோண விளையாட்டு : மாணவர்கள் ஒவ்வொருவரும் தங்கள் முறை வரும் போது இருவேறு புள்ளிகளை இணைத்துக் கோட்டுத்துண்டினை வரைய வேண்டும். அக்கோட்டுத்துண்டு வேறு புள்ளியினைத் தொடக்கூடாது, பிற கோட்டுத்துண்டுகளின் குறுக்காகச் செல்லுமாறும் வரையக் கூடாது. மாணவர் தான் வரையும் கோட்டினால் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கினால் அதற்கு ஒரு வெற்றிப்புள்ளியைப் பெறுவார். விளையாட்டின் முடிவில் அதிக வெற்றிப்புள்ளிகள் பெற்ற மாணவரே வெற்றியாளர் ஆவார்.

சிந்திக்க

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் மற்ற இரு கோணங்கள் எந்தெந்த அளவுகளைப் பெற்றிருக்கலாம்?