கணக்கு - தொடர்ச்சியான சார்புகளின் இயற்கணிதம் (Algebra of continuous functions) | 11th Mathematics : UNIT 9 : Differential Calculus Limits and Continuity
தொடர்ச்சியான சார்புகளின் இயற்கணிதம் (Algebra of continuous functions)
f மற்றும் g என்ற சார்புகள், x0 −ஐ உள்ளடக்கிய அண்மைப் பகுதியிலும் x0 என்ற புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியானவைகள் எனில்,
(1) x = x0 −இல் f + g தொடர்ச்சியானது
(2) x = x0 = x −இல் f − g தொடர்ச்சியானது
(3) x = x0−இல் f . g தொடர்ச்சியானது
(4) x = x0 −இல் f /g (g(x) ≠ 0) தொடர்ச்சியானது
(5) தொடர்ச்சியைப் பற்றிய சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் f என்ற சார்பு g(x0)−இல் மற்றும் g என்ற சார்பு x = x0 −இல் தொடர்ச்சியானவை எனில் fog −யும் x0 −இல் தொடர்ச்சியானது.
மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சி (Continuity in a closed interval)
வரையறை 9.9
f: [a,b] → ℝ என்ற சார்பு, திறந்த இடைவெளி (a, b)−ல் தொடர்ச்சியானதாகவும் ஆகவும் இருப்பின், அந்தச் சார்பு மூடிய இடைவெளி [a, b] −ல் தொடர்ச்சியானது எனக்கூறலாம்.
அதாவது ஒரு சார்பு a−க்கு வலப்பக்கமிருந்து தொடர்ச்சியாகவும் b−க்கு இடப்பக்கமிருந்து தொடர்ச்சியாகவும் மற்றும் (a,b) திறந்த இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி x0−க்கும் தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும்.
விளக்க எடுத்துக்காட்டு 9.7
என்ற சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையை ஆராய்க.
தீர்வு
சார்பு f−ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [−1,1] ஆகும்.
(1 − x2 ≥ 0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது)
c ∈ (−1, 1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு
இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [−1, 1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 9.36
பின்வரும் சார்புகள் எந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது எனக் காண்க.
தீர்வு
(i) f(x) = tan x என்ற சார்பு x = (2n + 1) π/2 ,n ∈ Z என்ற இடங்களில் வரையறுக்கப்படவில்லை. மற்ற எல்லா இடங்களிலும் இது தொடர்ச்சியானது, எனவே f(x) = tan x சார்பு போன்ற திறந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது.
(ii) y = 1/x என்ற சார்பு x = 0−ஐ தவிர ℝ −ன் மற்ற எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது.
x = 0−இல் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.
g(x) = sin 1/x என்ற சார்பு x = 0 தவிர மற்ற எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது.
மதிப்பு கிடைக்காது. எனவே g என்ற சார்பு (−∞, 0) மற்றும் (0, ∞) இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது.
(iii) h(x) என்ற சார்பு, ℝ = (− ∞, ∞)−ல் x0 ≠ 0 என உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே மெய்யெண் கோட்டில் உள்ள எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் h(x) தொடர்ச்சியானது.
எடுத்துக்காட்டு 9.37
தக்காளி மொத்த விற்பனையாளர் ஒருவர் புதியதாக அறுவடையான தக்காளியின் விலை 100 கிலோவுக்கு குறைவாக வாங்கினால் ரூபாய் ₹ 0.16/கி வீதமும் குறைந்தபட்சம் 100 கி வாங்கினால் ரூபாய் ₹ 0.14/கி விற்பதாகக் காண்கிறார். மொத்த விலையின் சார்பையும் 100 கிலோ வாங்கும்போது உள்ள விலையையும் காண்க.
தீர்வு
நாள் ஒன்றுக்கு வாங்கும் தக்காளியின் அளவு x என்க. மற்றும் விலை C என்க.
இந்தச் சார்பின் படம் பின்வருமாறு:
இங்குச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு 14−ல் இருந்து மற்றொரு எண் 16க்கு மாற்றம் அடைகிறது.