முடிவுறா எல்லை மற்றும் முடிவிலியில் எல்லை (Infinite limits and Limits at infinity)

முடிவுறா எல்லை மற்றும் முடிவிலியில் எல்லை (Infinite limits and Limits at infinity)

முடிவுறா எல்லை (Infinite Limits)

ƒ : ℝ \{0} → ℝ என்ற சார்பு ƒ(x) = 1/x2 என வரையறுக்கப்படுகிறது என்க. இப்போது கணக்கிடுவதைக் காண்போம். 0−ன் அருகில் 1/x2 −ன் மதிப்புகளை கீழ்க்காணும் அட்டவணை காண்பிக்கிறது.

அட்டவணையிலிருந்து x−ன் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை நெருங்க, நெருங்க f(x) =1/x2 −ன் மதிப்பு பெரிய, பெரிய மதிப்பாக மாறுவதைக் கவனிக்கலாம். உண்மையில் x−ன் மதிப்பு இருபுறமிருந்தும் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது 1/x2  −ன் மதிப்பு எல்லை இல்லாமல் அதிகரிக்கிறது. இந்நிலையில் x பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது f(x) ஆனது ∞−ஐ நெருங்குகிறது எனலாம்.

x→ 0− எனில், 1/x2  → ∞ மற்றும் x→ 0− எனில் 1/x2  → ∞ .எனவே x → 0 எனில், 1/x2  → ∞

வடிவியலில், x = 0 அதாவது y−அச்சு f(x) = 1/x2   என்ற வளைவரையின் செங்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடு ஆகும்.

f(x) = 1/x2   −ன் வரைபடம் படம் 9.22−ல் தரப்பட்டுள்ளது.

x = 0 எனில் எல்லை மதிப்பு முடிவிலி. அதனால்   கிடைக்கப்பெறாது. ∞ என்பது f(x) = 1/x2   என்ற சார்பின் இந்த செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு குறியீடு மட்டுமே. அது ஒரு புதிய எண் அல்ல என்பதை மாணவர்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இதுபோல் f(x) = 1/x    (படம் 9.23) என்ற சார்புக்கு

x→ 0− எனில், 1/x → −∞

x → 0+ எனில், 1/x →  +∞ எனச் சுலபமாகக் காணலாம்.

இதனை f(x) = 1/x −ன் வடிவியல் முறையில் தெளிவாக அறியலாம்.

பொதுவாகப் பின்வரும் உள்ளுணர்வு வரையறைகளைக் காணலாம்.

வரையறை 9.4

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு M > 0−க்கு (M, ∞) என்ற திறந்த இடைவெளி ∞ −ன் அண்மைப்பகுதியாகும். 

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு K < 0க்கு (−∞, K) என்ற திறந்த இடைவெளி –∞−ன் அண்மைப்பகுதியாகும்.

வரையறை 9.5

கொடுக்கப்பட்ட மிகைஎண் M−க்கு x−ன் மதிப்பு x0 −ன் அண்மைப்பகுதியில் f(x) > M (அதாவது f(x) ∈ (M, ∞)) என இருக்குமாறு x0 −ன் அண்மைப்பகுதி அமையுமானால் x→ x0 எனும்போது f(x)→ ∞ எனலாம்.

இதே போன்று கொடுக்கப்பட்ட K < 0−க்கு x−ன் அண்மைப்பகுதியில் f(x) < K (அதாவது f(x) ∈ (−∞, K)) என இருக்குமாறு x0 அண்மைப்பகுதி அமையுமானால் x→ x0 எனும்போது f(x )→ −∞ எனலாம்.

இந்நிகழ்வுகளை குறியீடு வாயிலாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.

x → x0 எனும்போது f(x) → ∞

x → x0 எனும்போது f(x) → −∞

x → x0− எனும்போது f(x ) → ∞

x → x0+ எனும்போது f(x) → −∞

x → x0+ எனும்போது f(x) → ∞

x→ x0− எனும்போது f(x) → − ∞

என்பன முடிவிலி எல்லைகள் எனப்படும். மேற்கண்ட நிபந்தனைகளில் ஒன்று நிவர்த்தி செய்யப்படின் x = x0 என்ற கோடு f(x) வரைபடத்தின் செங்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 9.21

மதிப்பிடுக:

தீர்வு

பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் (இருபுறமிருந்தும்) உள்ள x−ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்தினால் −ன் மதிப்பு எல்லையற்று அதிகரிக்கின்றது என அறியலாம். எனவே x → 0 எனில் f(x) → ∞ ஆகும்.

இந்தச் சார்பின் எல்லை மதிப்பினை அட்டவணை இல்லாமல் காண்பதற்கு, முதலில் தொகுதியையும் பகுதியையும் x2−ஆல் வகுக்க வேண்டும். எல்லை மதிப்புக் காணும்போது x ≠ 0 மற்றும் x2 ≠ 0. எனவே வகுத்தல் சாத்தியமாகிறது.

அதாவது, பகுதி 1−ஐ நெருங்கும்போது தொகுதி முடிவில்லாமல் அதிகரிக்கின்றது. அதாவது, முடிவிலியை நோக்கிச் செல்கிறது எனலாம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டு ஒரு கடினமான கணக்கிடுதலை சில இயற்கணித மாற்றங்களின் மூலம் எவ்வாறு எளிமையாக்கலாம் என விளக்குகின்றது.

எடுத்துக்காட்டு 9.22

பொதுவாக

(i) n ஒரு இரட்டைப்படை முழு எண் :

x → a எனில்1/(x − a)n → ∞

x → a −  எனில்1/(x − a)n → ∞

x → a + எனில்1/(x − a)n → ∞

(ii) n ஒரு ஒற்றைப்படை மிகை முழு எண் :

x → a −  எனில்1/(x − a)n → −∞

x → a + எனில்1/(x − a)n → +∞

x = a என்ற கோடு செங்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடாக அமையும்.