தொடர்ச்சித் தன்மை (Continuity)

தொடர்ச்சித் தன்மை (Continuity)

ஒரு சார்பின் தனிச்சிறப்பு வாய்ந்த பண்புகளில் ஒன்று அதன் தொடர்ச்சியாகும். நடைமுறையில் காணும் பல இயற்கை சூழல்களில் இந்தப் பண்பினைக் காணலாம். உதாரணமாக ஒரு கம்பியை சூடேற்றும்போது கம்பியானது தொடர்ந்து நீட்சியடைகிறது. ஓர் உயிரியின் தொடர்ச்சியான வளர்ச்சி, தொடர் ஓட்டம், வளிமண்டல வெப்பநிலையின் தொடர்ச்சியான மாறுதல் எனப் பலவாறாக பேசுவதைக் கேட்டிருப்போம்.

ஒரு சார்பின் தொடர்ச்சி என்ற கருத்தானது சார்பின் வளைவரை எங்கும் “உடைந்து காணப்படவில்லை” என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்தச் சொல் “Continuous” என்பது இலத்தீன் மொழியில் "Continuere” இணைந்திருத்தல் என்ற சொல்லில் இருந்து தோன்றியது ஆகும். சார்புகளைப் பகுப்பாய்வு செய்யும்போது தொடர்ச்சியானது என்பதைக் குறிப்பிட “உடைந்து காணப்படவில்லை” அல்லது “இணைந்திருக்கிறது” எனக் கூறுவதில் பெரிய குறைபாடு உள்ளது. ஆகவே தொடர்ச்சியின்மை பற்றி அறிய சார்பின் வளைவரையை முதிர்ச்சி இல்லாமல் பயன்படுத்துவது தவறான வழிகாட்டுதலாகும். இருப்பினும் ஒரு சார்பிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சி என்பது சார்பகம் தெரிந்து கொண்டு, அந்த வளைவரையைப் பென்சிலின் முனையை எடுக்காமல் வரையக்கூடிய வளைவரை என்பதை ஒருவர் பின்னர் உணர்ந்து கொள்வார்.

தொடர்ச்சியின் கருத்தாக்கத்தைப் புரிந்துகொள்ளத் தொடர்ச்சியை எல்லையுடன் தொடர்புபடுத்திக் கற்றல் என்பது மிகச் சிறந்த வழியாகும். பொதுவாகக் கூறவேண்டுமானால், எல்லைகள் மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை உள்ளது எனக் கூறும்போது அதன் பொருள் தேவையான ஓர் எல்லை கிடைக்கின்றது என்பதாகும். எல்லையிலிருந்து தொடர்ச்சிக்கான கருத்தாக்கத்தை உருவாக்க ஒரு புள்ளியில் நமது கவனத்தைக் குவிக்க வேண்டும். ஒரு புள்ளியில் எல்லை மற்றும் தொடர்ச்சி ஆகியவை தொடக்க நிலைக் கருத்துகள் ஆகும். ஆனால் சார்பின் தொடர்ச்சி என்பது புள்ளி வாரியாக பெறப்பட்ட சார்பு முழுமைக்குமான பொதுப் பண்பு ஆகும்.

உதாரணமாக, ஒரு வெப்பமானி T ஆனது L நீளமுள்ள சூடான கம்பியின் வெப்ப நிலையைப் பதிவு செய்வதாகக் கொள்வோம். L−ன் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி x−லும் அதன் வெப்பநிலை t(x) என்க. L நீளமுள்ள கம்பியில் x0 −ஐ அடையும் வரை அதன் வெப்பநிலை 250°F எனக் கொள்வோம். x0 என்ற புள்ளியில் திடீரென்று வெப்பநிலையானது (insulation) காப்பின் காரணமாக அறையின் வெப்பநிலையான 75°F −க்குக் குறைகின்றது. x0 −க்குப் பிறகு அதன் வெப்ப நிலை 250°F ஆகத் தொடர்கிறது எனில் சார்பின் குறியீட்டால்

ஆகவே x0 என்ற புள்ளி தனித்துவப் புள்ளியாக (சிறப்பு புள்ளியாக அல்லது வழக்கமற்ற புள்ளியாக) மாறுகின்றது. வெப்பநிலையின் வீச்சை ஆராயும்போது x ஆனது x0 −ஐ நெருங்கவில்லை என்பதை அறியலாம். சுருக்கமாகக் கூறினால் x0 −ல் ஒரு துள்ளல் நிகழ்ந்துள்ளது. ஆகவே வெப்பநிலைச் சார்பானது x0 −ல் தொடர்ச்சியாக இல்லை எனக் கூற முற்படுகின்றோம். ஏனெனில் x0 −ன் அண்மையில் x இருக்கும்போது t(x) = 250°F ஆக இருப்பதால் t(x0)−ன் மதிப்பும் 250°F ஆக இருக்க வேண்டும் என எதிர்பார்க்கிறோம். இப்பொழுது நாம் தொடர்ச்சி எனும் கருத்தாக்கத்தை பொதுமைப்படுத்தும்போது பிரதி பிம்பங்கள் நெருங்கி வரும்போது அதற்குரிய பிம்பங்களும் நெருங்கி வரவேண்டும் என்கிறோம்.

மேற்கூறிய எடுத்துக்காட்டில் கம்பியின் மீதுள்ள புள்ளிகள் பிரதி பிம்பங்கள் ஆகும். அதற்கான வெப்பநிலைகளின் பிம்பங்கள் ஆகும்.

ஒரு மாணவனுக்குத் தொடர்ச்சியைப் பற்றிய உள்ளுணர்வான கருத்து அதன் தொடர்ச்சித் தன்மையிலிருந்து உருவாக வேண்டுமே அல்லாமல், நடைமுறையில் காணப்படும் திடீரென ஏற்படும் தொடர்ச்சியற்ற தன்மையிலிருந்து உருவாகக் கூடாது. உடனடியாக மனத்தில் தோன்றும் சில சார்புகளின் கணித மாதிரிகளைக் கீழே பட்டியலிட்டுள்ளோம்.

(1) ஒளி விளக்கை ஒளிரச் செய்தல் : இங்கு ஒளியின் செறிவு என்பது காலத்தைப் பொறுத்த சார்பு.

(2) வாகனங்களின் மோதல் : இங்குத் திசைவேகம் என்பது காலத்தைப் பொறுத்த சார்பு. 

(3) வானொலியினை அணைத்தல் : இங்கு ஒலியின் செறிவு காலத்தைப் பொறுத்த சார்பு. 

(4) பலூன் வெடித்தல் : இங்கு ஆரம் உள்ளே செலுத்தப்படும் காற்றைப் பொறுத்த சார்பு. 

(5) கயிற்றினை அறுத்தல் : இங்கு இறுக்கம் என்பது நீளத்தைப் பொறுத்த சார்பு. 

(6) அஞ்சல் கட்டணம் : இங்கு அஞ்சல் கட்டணம் என்பது எடையைச் சார்ந்த சார்பு. 

(7) வருமான வரி : இங்கு வரி விகிதம் என்பது வருமானத்தைச் சார்ந்த சார்பு. 

(8) வயது வருடங்களில் : இங்கு வயது முழு வருடங்களில் என்பது காலத்தைச் சார்ந்த சார்பு. 

(9) காப்பீட்டுத் தவணை : தவணை என்பது வயதைப் பொறுத்த சார்பு.

எடுத்துக்காட்டுகள் (1) – (5) வரை மிகவும் துல்லியமாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக ஒளியின் செறிவு என்பது பரவலாக பூஜ்ஜிய செறிவிலிருந்து மிகைச் செறிவை நோக்கி நகர்கிறது. உண்மையில் இயற்கை தொடர்ச்சியற்ற தன்மையை வெறுப்பதாகத் தோன்றுகிறது. (6) – (9) வரை உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் தொடர்ச்சியற்றதாகவும் மேலும் உண்மையில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் துள்ளல் இருப்பதையும் அறியலாம்.

மாணவர்கள், தொடர்ச்சியின் வரையறையை, வழக்கமாக நாம் நடைமுறையில் பயன்படுத்தும் தொடர்ச்சியான என்ற வார்த்தையின் பொருளுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க வேண்டும். ஒரு தொடர்ச்சியான நிகழ்வானது படிப்படியாக எந்த இடையூறும் இல்லாமலும், திடீரென்ற மாற்றங்களும் இல்லாதவாறு நடைபெறுவதாகும். அதாவது அதில் எந்த ஒரு ஓட்டையோ, துள்ளலோ அல்லது இடைவெளியோ இல்லாதிருத்தலாகும். கீழ்க்காணும் x−ன் மூன்று மதிப்புகளில் தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளதைக் காணலாம். இடைவெளி (a, b)−ன் மற்ற எல்லா இடங்களிலும் f−ன் வளைவரை எந்தவித குறுக்கீடும் இன்றித் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

மேற்கூறிய வளைவரைகளில் (படம் 9.33 − 9.35) மூன்று நிபந்தனைகளில் x = x0 என்ற புள்ளியில் தொடர்ச்சித் தன்மை இல்லாமல் இருக்க மூன்று நிபந்தனைகள் உள்ளன.

(1) x = x0 −ல் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.

(2) x = x0 −ல் f(x)−க்கு எல்லை வரையறுக்கப்படவில்லை.

(3) x = x0−ல் f(x)−க்கு எல்லை உள்ளது. ஆனால் இதன் மதிப்பு f(x0)−க்குச் சமமாக இல்லாமல் இருக்கிறது.

நாம் இப்பொழுது சில விளக்க எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 9.6

(i) f(x) = x2 + 3

(ii) f(x) = 16 − x2 /4 + x

தீர்வு

(i) x→2 எனில் ஒரு பக்க எல்லைகள்

f(x)−ன் எல்லை மதிப்பு இருந்தபோதிலும் x = −4−ல் சார்பின் மதிப்பு f(−4) வரையறுக்கப்படவில்லை. இதனால்   இருப்பதற்கும் f(−4)ஆக இருப்பதற்கும் எந்தத் தொடர்பும் இல்லை.

தற்போது நாம் தொடர்ச்சி பற்றி முறையான வரையறையைக் காண்போம்.

வரையறை 9.7

x0 −ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளி I என்க. f :I→ ℝ என்க. f என்ற சார்பு x = x0 −ன் அண்மைப்பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டு x = x0 என்ற புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பும், அதன் எல்லை மதிப்பும் கிடைக்கப்பெற்று சமமாகவும் இருக்குமானால், f என்ற சார்பு x = x0 என்ற புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது எனலாம்.

இவ்வாறு x = x0 என்ற புள்ளியில் ஒரு சார்பு y = f(x) தொடர்ச்சியானதாக இருக்க மூன்று நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்.

(i) x0 −ன் அண்மைப் பகுதியில் f(x) வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

என மாற்றியும் அமைக்கலாம். மேலும் x0 −ல் f−ன் தொடர்ச்சியைப் பின்வருமாறு மாற்றியும் வரையறுக்கலாம். அதாவது.

வரையறை 9.8

x0 என்ற புள்ளியின் அண்மைப் பகுதியில் சார்பு  f வரையறுக்கப்பட்டு   ஆகவும் இருக்குமானால் y = f(x) என்ற சார்பு x = x0 என்ற  புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது எனலாம்.

(iii) என்ற நிபந்தனையை   எனவும் எழுதலாம். ஆனது தொடர்ச்சியாக இருக்குமானால் எல்லைக் குறியீட்டையும், சார்புக் குறியீட்டையும் இடமாற்றம் செய்ய முடியும்.