புறப்பரப்பு : நேர் வட்ட உருளை

புறப்பரப்பு (Surface Area)

ஒரு திண்ம உருவத்தின் அனைத்து வெளிப்பக்கப் பகுதிகளின் பரப்பு அதன் புறப்பரப்பு எனப்படும்.

நேர் வட்ட உருளை (Right Circular Cylinder)  

படம் 7.2-ல் தரப்பட்ட உருவங்களை அடையாளம் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட உருவங்கள் ஓர் உருளையின் வடிவத்தை ஒத்துள்ளன.

வரையறை:

ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஏதேனும் ஒரு பக்கத்தை அச்சாகக் கொண்டு ஒரு முழுச்சுற்று சுழற்றும்போது உண்டாகும் திண்ம உருவம் நேர்வட்ட உருளை எனப்படும்.

உருளையின் அச்சானது அதன் ஆரத்துக்குச் செங்குத்தாக இருப்பின் அது நேர்வட்ட உருளை (Right Circular Cylinder) ஆகும். 

(படம் 7.3-ல்), உயரம் AB=h மற்றும் ஆரம் AD=r.

இரு தள வட்டப் பரப்புகளாலும் ஒரு வளைபரப்பாலும் உருவாக்கப்படுவது ஒரு திண்ம உருளை எனப்படும். இரு வட்டங்களுக்கு இடைப்பட்ட பகுதியை "மேற்பரப்பு" அல்லது "வளைபரப்பு" எனலாம். 

நேர்வட்ட உருளை உருவாக்கம் - செயல் விளக்கம். (Formation of a Right Circular Cylinder - Demonstration)

(i) நீளம் l மற்றும் அகலம் b உடைய செவ்வகத் தாளை எடுத்துக்கொள்க.

(ii) அகலப் பக்கங்கள் (b) இரண்டும் இணையுமாறு செவ்வகத் தாளைக் சுழற்றி மடிக்க (மேற்பொருந்தாதவாறு).

(iii) அடிச்சுற்றளவு l மற்றும் உயரம் b உடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளை கிடைக்கிறது

நேர்வட்ட உருளையின் புறப்பரப்பு (Surface Area of a Right Circular Cylinder) 

(i) வளைபரப்பு (Curved Surface Area) 

நேர் வட்ட உருளையின் வளைபரப்பு = செவ்வகத்தின் பரப்பு

= l ×b

= 2πr ×h (இங்கு, l என்பது அடிப்பக்கத்தின் சுற்றளவு, b என்பது உயரம். படம் 7.5-ஐ பார்க்க)

= 2πrh 

உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrh. சதுர அலகுகள் 

(ii) மொத்தப் புறப்பரப்பு (Total Surface Area)

மொத்தப் புறப்பரப்பு என்பது ஒரு திண்ம உருளையின் வளைபரப்போடு, அதன் அடிப்பக்க மற்றும் மேற்பக்க வட்டப் பரப்புக்களைக் கூட்டக் கிடைப்பதாகும். 

அதாவது, நேர்வட்ட உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 

= வளைபரப்பு + மேல் வட்டத்தின் பரப்பு + கீழ் வட்டத்தின் பரப்பு 

= 2πrh + πr2 + πr2  (படம்.7.4 -ஐ பார்க்க)

= 2πrh + 2πr2

= 2πr (h + r)

உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr (h + r) ச. அ

குறிப்பு

• மதிப்புக் கொடுக்கப்படாத போது π -யின் தோராய மதிப்பை π = 22/7 எனக் கொள்க. 

• புறப்பரப்பு / மேற்பரப்பு எனும் சொல் மொத்தப் புறப்பரப்பை குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.1 

ஓர் உருளை வடிவப் பீப்பாயின் உயரம் 20 செ.மீ மற்றும் அடிப்புற ஆரம் 14 செ.மீ எனில், அதன் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காண்க. 

தீர்வு 

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. 

இங்கு, h = 20 செ.மீ ; r =14 செ.மீ 

உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrh. ச. அ

= 2 × (22/7) × 14 ×20 = 2 ×22 × 2 ×20 = 1760 செ.மீ 2

உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr (h+ r) ச. அ

= 2 × (22/7) × 14 × (20 + 14) = 2 × 22/7 × 14 × 34 

= 2992 செ.மீ2 

ஆகவே, உருளையின் வளைபரப்பு = 1760 செ.மீ2, மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2992 செ.மீ2

எடுத்துக்காட்டு 7.2 

88 ச. செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 14 செ.மீ எனில், உருளையின் விட்டம் காண்க. 

தீர்வு

r மற்றும் h என்பன முறையே திண்ம நேர்வட்ட உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. 

இங்கு, உருளையின் வளைபரப்பு = 88 ச.செ.மீ

2πrh = 88

2 × (22/7) × r ×14 = 88    (உயரம் h=14 செ.மீ)

2r = (88 × 7) / (22 ×14) = 2

ஆகவே, உருளையின் விட்டம் = 2 செ.மீ 

எடுத்துக்காட்டு 7.3 

நீளம் 3 மீ மற்றும் விட்டம் 2.8 மீ உடைய ஒரு சமன்படுத்தும் உருளையைக் கொண்டு ஒரு தோட்டம் சமன்படுத்தப் படுகிறது. 8 சுற்றுகளில் எவ்வளவு பரப்பை உருளை சமன் செய்யும்? 

தீர்வு

விட்டம் d = 2.8 மீ, உயரம் h = 3 மீ, ஆரம் r = 1.4 மீ 

உருளை ஒரு சுற்றில் சமன்படுத்தும் பரப்பு = சமன்படுத்தும் உருளையின் வளைபரப்பு

= 2πrh ச.அ

= 2 × (22/7) × 1.4 ×3 = 26.4

உருளை ஒரு சுற்றில் சமன்படுத்தும் பரப்பு = 26.4 ச.மீ 

ஆகவே, 8 சுற்றுகளில் சமன்படுத்தப்படும் மொத்தப் பரப்பு = 8 × 26.4 = 211.2

எனவே, உருளை சமன் படுத்தும் பரப்பு 211.2 மீ2 ஆகும்.

சிந்தனைக் களம் 

1. ஓர் அலகு தடிமனும், r அலகுகள் ஆரமும் கொண்ட h வட்ட வில்லைகளை ஒன்றின் மீது ஒன்றாக அடுக்கும்போது தோன்றும் திண்ம உருவத்தின் வடிவம் என்ன? அதன் வளைபரப்பைக் காண்க. 

2. ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தின் இரு மடங்கு எனில், வளைபரப்பிற்கும் அடிப்புறப் பரப்பிற்கும் உள்ள தொடர்பைக் காண்க. 

3. 12 மீ நீளமும், 5 மீ அகலமும் கொண்ட இரண்டு செவ்வக வடிவ அலுமினியத் தாள்களை, ஒன்று நீளத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டும், மற்றொன்று அகலத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டும் சுழற்றுவதன் மூலம் இரு நேர்வட்ட உருளைகள் உருவாக்கப்படுகின்றன எனில் அவற்றின் வளைப்பரப்புகளுக்கு இடையே உள்ள விகிதத்தைக் காண்க.