கோளத்தின் கன அளவு/அரைக்கோளம்

1. கோளத்தின் கன அளவு (Volume of sphere) 

ஒரு கோளத்தின் ஆரம் r எனில், அதன் கன அளவு V = 4/3  πr3 க.அ

செயல் விளக்கம்

· சமமான ஆரத்தையும், உயரத்தையும் கொண்ட இரு நேர்வட்டக் கூம்புகளையும் அக்கூம்புகளின் உயரத்துக்குச் சமமான விட்டம் கொண்ட ஒரு கோளத்தையும் கருதுக. 

· வலப்பக்கத்திலுள்ள இரு கூம்புகளின் பொருள்கள் முழுவதுமாக சரியாக இடப்பக்கத்திலுள்ள கோளத்தினுள் அடைபடுகிறது.

படம் 7.30-லிருந்து, கோளத்தின் கன அளவு = 2 × (கூம்பின் கனஅளவு)

(கோளம் மற்றும் கூம்பின் விட்டங்கள் கூம்பின் உயர்த்திற்குச் சமம்)

கோளத்தின் கன அளவு = 4/3 πr3 க.அ

2. உள்ளீடற்ற கோளத்தின் கனஅளவு (பயன்படுத்தப்பட்ட பொருளின் கனஅளவு)

Volume of a hollow sphere / spherical shell (volume of the material used) 

r மற்றும் R என்பன ஓர் உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள் மற்றும் வெளிப்புற ஆரங்கள் என்க. 

உட்புற மற்றும் வெளிப்புறக் கோளங்களுக்கிடையேயான கனஅளவு

உள்ளீடற்ற கோளத்தின் கனஅளவு = 4/3 π (R3 − r3) க.அ 

3. திண்ம அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு (Volume of solid hemisphere)

r என்பது திண்ம அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்க. 

அரைக்கோளத்தின் கன அளவு = 1/2 (கோளத்தின் கன அளவு)

அரைக்கோளத்தின் கன அளவு = 2/3 πr3 க.அ  

4. உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் கன அளவு (பயன்படுத்தப்பட்ட பொருளின் கனஅளவு) 

[Volume of Hollow Hemisphere (volume of the material used)] 

உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற ஆரங்கள் முறையே r மற்றும் R என்க.

உள்ளீடற்ற அரைக் கோளத்தின் அளவு = 2/3 π (R3 − r3) க.அ 

சிந்தனைக் களம் 

ஒரு கூம்பு, ஓர் அரைக்கோளம் மற்றும் ஓர் உருளை ஆகியவற்றின் அடிப்புறப் பரப்புகள் சமம் ஆகும். உருளை மற்றும் கூம்பின் உயரங்கள் ஆரத்துக்குச் சமம் எனில், இவை மூன்றின் கன அளவுகள் சமமா?

எடுத்துக்காட்டு 7.21 

ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு 29106 க. செ.மீ. மூன்றில் இரண்டு பங்கு கன அளவுள்ள மற்றோர் அரைக்கோளம் இதிலிருந்து செதுக்கப்படுமானால் புதிய அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்ன? 

தீர்வு 

r என்பது செதுக்கப்பட்ட அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்க.

அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு = 29106 க.செ.மீ 

புதிய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு = 2/3 (முந்தைய அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு)

= 2/3 × 29106

புதிய அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு = 19404 க.செ.மீ

2/3 πr3   = 19404

ஆகவே, புதிய அரைக்கோளத்தின் ஆரம் 21 செ.மீ ஆகும்.

சிந்தனைக் களம்

1. கோளம் மற்றும் அரைக்கோள வடிவில் உள்ள ஏதேனும் இரு பொருட்களைக் குறிப்பிடுக. 

2. ஒரு கோளத்தின் மீப்பெரு வட்டத்தின் வழியாகச் செல்லும் தளம் கோளத்தை ________ பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். 

3. ஒரு கோளத்தின் கன அளவு மற்றும் புறப்பரப்பு ஆகியவை சம அளவில் இருக்குமெனில், கோளத்தின் ஆரம் ______________. 

எடுத்துக்காட்டு 7.22 

ஓர் உள்ளீடற்ற பித்தளை கோளத்தின் உள்விட்டம் 14 செ.மீ, தடிமன் 1 மி.மீ மற்றும் பித்தளையின் அடர்த்தி 17.3 கிராம் / க. செ.மீ எனில், கோளத்தின் நிறையைக் கணக்கிடுக.

(குறிப்பு: நிறை = அடர்த்தி × கனஅளவு) 

தீர்வு 

r, R என்பன முறையே உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள் ஆரம் மற்றும் வெளி ஆரம் என்க. 

இங்கு, உள்விட்டம் d =14 செ.மீ; உள் ஆரம் r = 7 செ.மீ; தடிமன் = 1 மி.மீ = 1/10 செ.மீ

வெளி ஆரம் R = 7 + 1/10 = 71/10 = 7.1 செ.மீ

ஆனால், 1 க.செ.மீ பித்தளையின் அடர்த்தி = 17.3 கி

மொத்த நிறை = 17.3 × 62.48 = 1080.90 கி. 

எனவே, மொத்த நிறை 1080.90 கிராம் ஆகும்

முன்னேற்றச் சோதனை

1. ஒரு கோளத்தின் கன அளவு மற்றும் புறப்பரப்பு ஆகியவற்றின் விகிதம் என்ன? 

2. ஓர் அரைக்கோளத்தின் உயரம் மற்றும் ஆரத்திற்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு __________ ஆகும். 

3. ஒரு கோளத்தின் கனஅளவு என்பது அதன் புறப்பரப்பு மற்றும் _______ ன் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.