நிரப்புக் கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric Ratios for Complementary Angles)

நிரப்புக் கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric Ratios for Complementary Angles)

இரு குறுங்கோணங்களின் கூடுதல் 90° எனில், அவை நிரப்புக் கோணங்கள் என்பதை நினைவுகூர்வோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள இரு குறுங்கோணங்களைப் பற்றி என்ன கூறலாம்?

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திலுள்ள இரு குறுங்கோணங்களின் கூடுதல் 90°. எனவே செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள இரு குறுங்கோணங்கள் எப்பொழுதுமே ஒன்றுக்கொன்று நிரப்புக் கோணங்கள் ஆகும்.

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படம்6.13 இல், முக்கோணம் ABC ஆனது B இல் செங்கோணத்தைத் தாங்கியுள்ளது. மேலும் ∠C = θ எனில், ∠A = 90°  − θ ஆகும்.

கோணம் θ ஐப் பொறுத்து

sin θ = AB / AC

cos θ = BC / AC

tan θ = AB / BC                   …………..(1)

cosec θ = AC / AB

sec θ = AC / BC

cot θ = BC / AB

இதைப் போலவே கோணம் (90°  − θ ) ஐப் பொறுத்து,

sin (90°  − θ ) = BC / AC

cos (90°  − θ ) = AB / AC

tan (90°  − θ ) = BC / AB                 …………..(2)

cosec (90°  − θ ) = AC / BC

sec (90°  − θ ) = AC / AB

cot (90°  − θ ) = AB / BC

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட ,

sin θ = cos (90°  − θ )

cos θ = sin (90°  − θ )

tan θ = cot (90°  − θ )               

cosec θ = sec (90°  − θ )

sec θ = cosec (90°  − θ )

cot θ = tan (90°  − θ )

எனக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.7

கீழ்க்கண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் கேட்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் விகிதங்களில் மாற்றிக் கூறுக. (i) sin 74° இன் மதிப்பை cosine இல் (ii) tan 12° இன் மதிப்பை cotangent இல்  (iii) cosec39° இன் மதிப்பை secant இல்

தீர்வு

(i) sin 74° = sin (90°  −16°)                                    (ஏனெனில், 90°  −16° = 74° )

வலப்பக்கமானது sin (90°  − θ) = cos θ என்ற வடிவில் உள்ளது.

எனவே , sin 74° = cos 16°

(ii) tan 12° = tan (90°  −78°)                                (ஏனெனில், , 12° = 90°  − 78°)

வலப்பக்கமானது tan (90°  − θ) = cot θ என்ற வடிவில் உள்ளது.

எனவே, tan 12° = cot 78°

(iii) cosec 39° = cosec(90°  − 51°)                          (ஏனெனில், 39° = 90°  − 51° )

வலப்பக்கமானது cosec(90°  − θ) = sec θ என்ற வடிவில் உள்ளது.

எனவே , cosec 39° = sec 51°

எடுத்துக்காட்டு 6.8

மதிப்பிடுக.   (i)   (ii) 

தீர்வு

(i) sin 49° / cos 41°

sin 49° = sin (90°  − 41°) = cos 41° ஏனெனில், 49° + 41° = 90° (நிரப்புக் கோணங்கள்),

sin 49° = cos 41° எனப் பிரதியிட நாம் பெறுவது, cos 41° / cos 41° = 1

(ii) sec 63° / cosec 27°

sec 63° = sec(90°  − 27°) = cosec 27° ,எனப் பிரதியிட,

(இங்கு, 63° மற்றும் 27° நிரப்புக் கோணங்கள்) நாம் பெறுவது,

sec 63° / cosec 27° = cosec 27° / cosec 27° = 1

எடுத்துக்காட்டு 6.9

மதிப்புக் காண்க. (i) tan 7° tan 23° tan 60° tan 67° tan 83°

(ii)

தீர்வு

 (i) tan 7° tan 23° tan 60° tan 67° tan 83°

= tan 7° tan 83° tan 23° tan 67° tan 60°         (நிரப்புக் கோணங்களைக் குழுப்படுத்த)

= tan 7° tan (90°  −7°) tan 23° tan (90°  − 23°) tan 60°

= (tan 7° cot 7°) (tan 23° cot 23°) tan 60°

= (1) × (1) × tan 60°

= tan 60° = √3

எடுத்துக்காட்டு 6.10

(i) cosec A = sec 34° எனில், A இன் மதிப்பைக் காண்க.

(ii) tan B = cot 47° எனில், B இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

(i) cosec A = sec (90°  − A) என நாம் அறிவோம்.

sec (90°  − A) = sec (34°)

90°  − A = 34°

A = 90°  − 34°

A = 56°

(ii) tan B = cot(90°  − B) என நாம் அறிவோம்.

cot(90°  − B) = cot 47°

90°  − B = 47°

B = 90°  − 47°

B = 43°