சில சிறப்புக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric Ratios of Some Special Angles)

சில சிறப்புக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric Ratios of Some Special Angles)

சில குறிப்பிட்ட முக்கோணவியல் விகிதங்களின் மதிப்புகளை வடிவியல் முறையிலும் பெறலாம். இரு சிறப்பு வகை முக்கோணங்கள் இங்கே நமக்குப் பயன்படுகின்றன.

1. முக்கோணவியல் விகிதங்கள்  − கோண அளவு 45° (Trigonometric ratios of 45°)

45°, 45° மற்றும் 90° கோண அளவுள்ள ஒரு முக்கோணம் ABC ஐப் படம் 6.9 இல் உள்ளவாறு எடுத்துக்கொள்வோம்.

இது ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து வெட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் பாதி அளவு ஆகும். மேலும் இது ஒரு இரு சமபக்க முக்கோணம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும். (சதுரத்தின் பக்கங்கள் என்பதால் இம்முக்கோணத்தில் இரு பக்கங்கள் சம அளவானவையாக அதாவது a அலகுகள் இருக்கும்).

பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டத்தின் நீளம் a√2 என்பதைச் சரிபார்க்கலாம்.

ABC என்ற செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து,

sin 45°  = எதிர்ப்பக்கம் / கர்ணம் = BC/ AC = a / a√2 = 1 / √2

cos 45° = அடுத்துள்ள பக்கம் / கர்ணம் = AB/ AC = a / a√2  = 1 / √2

tan 45° = எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = BC/ AB = a / a  = 1

இதன் தலைகீழ் விகிதங்களை இதிலிருந்து நாம் எளிதாக cosec45° = √2 ; sec 45° = √2 மற்றும் cot45° =1 எனக் காணலாம்.

2. முக்கோணவியல் விகிதங்கள் −கோணங்கள் 30° மற்றும் 60° (Trigonometric Ratios of 30° and 60°)

பக்க அளவு 2 அலகுகள் கொண்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம் PQR ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். ∠P இன் கோண இரு சமவெட்டி வரைக. அது QR ஐ வெட்டும் புள்ளி M என்க.

PQ = QR = RP = 2 அலகுகள்.

QM = MR = 1 அலகு (ஏன்?)

PQ மற்றும் QM இன் மதிப்புகள் தெரியும் என்பதால், PM இன் மதிப்பைப் பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

இங்கு, PM = √3 அலகுகள் எனக் கிடைக்கும்.

இதன் தலைகீழ் விகிதங்களை இதிலிருந்து நாம் எளிதாக cosec30° = 2, sec 30° = 2 / √3 மற்றும் cot30° =√3 எனக் காணலாம்.

தற்போது செங்கோண முக்கோணம் PQM இலிருந்து,

sin 30°  = எதிர்ப்பக்கம் / கர்ணம் = QM / PQ = 1/ 2

cos 30° = அடுத்துள்ள பக்கம் / கர்ணம் = PM / PQ = √3 / 2

tan 30° = எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = QM / PM = 1/√3

அதே முக்கோணத்தின் மற்றொரு கோணமான 60° ஐப் பொறுத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் காண்போம்.

இதன் தலைகீழ் விகிதங்களை இதிலிருந்து நாம் எளிதாக cosec60° = 2 /√3 , sec 60° = 2 மற்றும் cot60° = 1/√3 எனக் காணலாம்.

sin 60°  = எதிர்ப்பக்கம் / கர்ணம் = PM / PQ = √3 / 2

cos 60° = அடுத்துள்ள பக்கம் / கர்ணம் = QM / PQ = 1 / 2

tan 60° = எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = PM / QM = √3 / 1 = √3

3. முக்கோணவியல் விகிதங்கள்  − கோணங்கள் 0° மற்றும் 90° (Trigonometric Ratios of 0 ° and 90°)

முக்கோணவியல் விகிதங்கள் 0° மற்றும் 90° இன் மதிப்புகளைக் காண நாம் ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்திக்கொள்வோம்.

ஓரலகு வட்டம் என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும், ஆரம் 1 அலகும் கொண்ட ஒரு வட்டம் ஆகும்.

இதற்காக இங்கு 1 அலகு ஆரம் கொண்ட வட்டத்தை வரைகிறோம். ஏன்?

இவ்வட்டத்திற்குள் நாம் எடுத்துக்கொள்ளப்போகும் அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் கர்ணத்தின் அளவு 1 அலகாகவே இருப்பதால், கோணங்களையும், விகிதங்களையும் ஒப்பிடுவதற்கு மிக எளிதாக இருக்கும்.

நாம் மிகை மதிப்புகளை மட்டும் கணக்கிடுவதால், (தூரங்களின் அளவுகள் என்பதால்) அதற்குரிய முதற்காற்பகுதியை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம்.

P(x,y) என்பது ஓரலகு வட்டத்தின் மீது முதற் காற்பகுதியில் உள்ள ஒரு புள்ளி எனில், ∠POQ = θ

sin θ = PQ / OP = y / 1 = y ; cos θ = OQ / OP = x / 1 = x ;  tan θ = PQ / OQ = y / x

θ = 0° எனும் போது, OP ஆனது OA இன் மீது அமையும். இங்கு

A(1,0) என்பதால் x =1, y =0.

இதைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுவது,

sin 0° = 0 ;    cosec 0ϒ = வரையறுக்கப்படவில்லை (ஏன்?)

cos 0° = 1 ;    sec 0ϒ = 1

tan 0° = 0 / 1= 0 ;   cot 0ϒ = வரையறுக்கப்படவில்லை . (ஏன்?)

θ = 90° எனும்போது, OP ஆனது OB இன் மீது அமையும். இங்கு B (0,1) என்பதால் x = 0, y = 1. இதைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுவது,

sin 90° =1        ; cosec 90ϒ = 1

cos 90° = 0   ; sec 90ϒ = வரையறுக்கப்படவில்லை

tan 90° = 1 / 0  = வரையறுக்கப்படவில்லை ; cot90° = 0

இவ்வாறு பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளையும் அட்டவணைப்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.5

மதிப்பு காண்க  (i) sin 30° + cos 30°  (ii) tan 60°.cot 60°

(iii) tan 45^o / ( tan 30° + tan 60°)    (iv) sin² 45° + cos ² 45°

தீர்வு

குறிப்பு

•  (sin θ)² என்பதை sin² θ = (sin θ) × (sin θ) என்போம்..

•  (sin θ)²  என்பதை  sin θ²   என எழுதக்கூடாது, ஏனெனில் இது sin (θ × θ ) எனப் பொருள்படும்

சிந்தனைக் களம்

கீழ்க்கண்ட குழுக்களில் உள்ளவை போன்ற மூன்று எண்களைப் பித்தகோரியன் எண்கள் (அல்லது Pythagorean Triplets) என்பர். அவை மூன்றும் சேர்ந்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்க அளவுகளாக அமையும்.

(i) 3, 4, 5

(ii) 5, 12, 13

(iii) 7, 24, 25

மேற்குறிப்பிட்ட ஏதாவது ஒரு பித்தகோரியன் எண்கள் குழுவில் உள்ள மூன்று எண்களையும் பூச்சியமற்ற ஒரு மாறிலியால் பெருக்கவும். தற்போது கிடைக்கப் பெற்றுள்ள புதிய மூன்று எண்களும் பித்தகோரியன் எண்களா எனச் சோதித்துப் பார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.6

பின்வருவனவற்றின் மதிப்பு காண்க.

(i) (cos 0° + sin 45° + sin 30°)(sin 90°  − cos 45° + cos 60°)

(ii) tan² 60°  − 2tan² 45°  − cot² 30° +2sin² 30° + (3 / 4) cosec² 45°

தீர்வு

(i) (cos 0° + sin 45° + sin 30°)(sin 90°  − cos 45° + cos 60°)

(ii) tan² 60°  − 2tan² 45°  − cot² 30° +2sin² 30° + (3/4) cosec² 45°

= (√3)²  − 2 (1)²  − (√3) ² + 2 (1/2) ² + 3/4 (√2) ²

= 3 – 2 – 3 +(1/2) + (3/2)

= –2 + (4/2) =  −2 + 2 = 0

குறிப்பு

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணங்கள் 45° : 45° :90° என்ற அளவில் இருந்தால், அதன் பக்கங்கள் 1:1:√2 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும்.

• இதைப் போலவே கோணங்கள் 30° : 60° : 90° என்ற விகிதத்தில் இருந்தால் அதன் பக்கங்கள் 1:√3:2 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும்.

(உங்கள் வடிவியல் கணித உபகரணப் பெட்டியில் இருக்கும் இரு மூலைமட்டக் கருவிகளே (Set Squares) மேற்கூறிய இரு முக்கோணங்களுக்கு மிகச் சிறந்த எடுத்துக்காட்டு ஆகும்.)