முக்கோணவியல்

அலகு  − 6

முக்கோணவியல்

உண்மையில் முக்கோணவியலைப் போல் கணிதத்தில் முக்கியமான இடத்தைப் பெற்றிருப்பது எதுவுமில்லை.  − ஜே.எஃப்.ஹெர்பர்ட்

ஆய்லரும்(Euler), நீயூட்டனைப் போலவே அவருடைய தலைமுறையில் சிறந்த கணிதமேதையாவார். அவர் கணிதத்தின் அனைத்து துறைகளையும் கற்றதோடு, தனது பார்வையை இழந்த பின்பும் கடின உழைப்பைத் தொடர்ந்தார். கணிதத்தின் பல துறைகளில், குறிப்பாக நுண்கணிதம் மற்றும் முக்கோணவியலில் ஆய்லர் தனது சிறந்த பங்களிப்பைச் செய்துள்ளார்.

வடிவியலில் பல தேற்றங்களுக்கு நிரூபணம் அளித்தவர்களில் முதலாமவர் இவரே.

லெனார்டு ஆய்லர் (கி.பி. (பொ .ஆ.) 1707 −1783)

கற்றல் விளைவுகள்

• பல்வேறு முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகளைப் புரிந்துகொள்ளச் செய்தல்.

• முக்கோணவியல் விகிதங்கள் மற்றும் அவற்றின் தலைகீழிகளின் மதிப்புகளை அடையாளம் காணுதல்.

• நிரப்புக் கோணங்களின் கருத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

• முக்கோணவியல் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

அறிமுகம்

முக்கோணவியல் என்பதின் ஆங்கிலச் சொல்லான Trigonometry என்பது கிரேக்கச் சொற்களான Trigonon-metron என்பவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டுள்ளது. Trigonon −என்பதின் பொருள் முக்கோணம் என்பதாகும், மற்றும் metron  − என்பதின் பொருள் அளவுகள் என்பதாகும். இது முக்கோணத்தின் கோண அளவுகள் மற்றும் அதன் பக்கங்களின் நீளங்களுக்கு இடையில் உள்ள தொடர்புகளைப் பற்றி விவரிக்கும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு ஆகும். பொறியியல் வல்லுநர்கள், அறிவியல் அறிஞர்கள் மற்றும் நில அளவையாளர்களுக்கு முக்கியமானதொரு கருவியாக முக்கோணவியல் பயன்படுகிறது. இது கடற்பயணம் மற்றும் நிலநடுக்கம் சார்ந்த துறைகளிலும் பயன்படுகிறது.

கீழ்க்காணும் மூன்று செங்கோண முக்கோணங்களை உற்று நோக்குங்கள். குறிப்பாக அவற்றின் அளவுகளை ஆராயுங்கள். மூன்று முக்கோணங்களிலும் கோண அளவுகள் ஒன்றாகவே உள்ளன. எதிர்ப்பக்கத்தின் (கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம்) அளவுகளையும், அடுத்துள்ள பக்கங்களின் (கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு அடுத்துள்ள பக்கம்) அளவுகளையும் நன்கு ஆராயவும்.

ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் அடுத்துள்ளப் பக்கங்களுக்கிடையேயான விகிதம் (எதிர்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம்) என்ன என்று கூற இயலுமா? இங்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு செங்கோண முக்கோணத்திலும் இந்த விகிதம் 0.7; இந்த முடிவைப் பொறுத்துப் படம் 6.2 இல் x இன் மதிப்பு என்னவாக இருக்கும் ? அது 15 ஆக இருக்குமா?

இதைப் போன்ற குறிப்பிடத்தக்க விகிதங்கள் அக்காலக் கணித அறிஞர்களை வியப்பில் ஆழ்த்தியதோடு மட்டுமல்லாமல், முக்கோணவியல் என்ற புதிய பாடம் உருவாவதற்கான வழிவகையையும் செய்தன.

முக்கோணவியலில் மூன்று அடிப்படை விகிதங்கள் உள்ளன. அம்மூன்று விகிதங்களும் செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தை மற்றொரு பக்கத்தால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விகிதங்களாகும். அவையாவன:

எடுத்துக்காட்டு 6.1

கீழ்க்காணும் படத்தில் உள்ள அளவுகளுக்கு θ வைப் பொறுத்து sine , cosine மற்றும் tangent விகிதங்களைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டுள்ள செங்கோண முக்கோணம் PQR இல் கோணம் θ விற்கு எதிர்ப்பக்கம் PR, அடுத்துள்ள பக்கம் PQ ஆகும்.

முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்னங்களாகவே குறிப்பிடலாம். தேவைப்பட்டால் அவற்றைச் சுருக்கியும் எழுதலாம்.

குறிப்பு

முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் குறிப்பிடும்போது பக்க அளவுகளின் விகிதங்களாகக் குறிப்பிடுவதால் அவை அலகுகளற்ற எண்களாகும்.

sin θ  , cos θ , tan θ போன்ற விகிதங்களை (sin) × (θ) , (cos) × (θ) , (tan) × (θ) எனத் தவறாக எடுத்துக் கொள்ளக்கூடாது.

சிந்தனைக் களம்

கொடுக்கப்பட்டுள்ள முக்கோணங்கள் ABC, DEF மற்றும் GHI இன் பக்க அளவுகள் 3 −4 −5, 6 −8 −10 மற்றும் 12 −16 −20.

இவை அனைத்தும் செங்கோண முக்கோணங்களா? விவாதிக்கவும்.

முனைகள் B, E மற்றும் H இல் அமையும் கோணங்களின் அளவுகள் சமமாக இருக்கும். (அவை ஒவ்வொன்றும் θ விற்குச் சமம்)

மேற்குறிப்பிடப்பட்டுள்ள விவரங்களைக் கொண்டு பின்வரும் அட்டவணையில் நிரப்பி, கிடைக்கும் விகிதங்களைப் பற்றிய கருத்துகளைக் கூறுக.

தலைகீழ் விகிதங்கள் (Reciprocal ratios)

மூன்று முக்கோணவியல் விகிதங்களை நாம் sine , cosine மற்றும் tangent எனக் குறிப்பிட்டோம். இம்முக்கோணவியல் விகிதங்களின் தலைகீழ் விகிதங்கள் கணக்கீடுகளில் பெரிதும் பயனுள்ளவையாக இருக்கின்றன. அவற்றை நாம் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

மேற்கண்ட விகிதங்களிலிருந்து கீழ்க்காணும் விகிதத் தொடர்புகளை நாம் அறியலாம்.

cosec θ = 1 / sin θ

sec θ  = 1 / cos θ

cot θ = 1 / tan θ

sin θ = 1 / cosec θ

cos θ = 1 /sec θ

tan θ = 1 / cot θ

(sin θ ) × (cosec θ) = 1. இதை நாம் sin θ . cosec θ = 1 என்று எழுதுவோம்.

(cos θ ) × (sec θ ) = 1. இதை நாம் cos θ . sec θ = 1 என்று எழுதுவோம்.

(tan θ ) × (cot θ) = 1. இதை நாம் tan θ . cot θ = 1 என்று எழுதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.2

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் θ -வைப் பொறுத்து 6 முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் காண்க.

தீர்வு

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AB = √[ BC²  − AC² ] 

= √[(25)²  − 7²]  

= √[625  − 49]   = √ 576 = 24

ஆறு முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்வருமாறு நாம் எழுதலாம்.

sin θ  = எதிர்ப்பக்கம் / கர்ணம் = 7/ 25

cos θ = அடுத்துள்ள பக்கம் / கர்ணம் = 24 / 25

tan θ = எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = 7 / 24

cosec θ = கர்ணம் / எதிர்ப்பக்கம் = 25 / 7

sec θ = கர்ணம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = 25 / 24

cot θ = அடுத்துள்ள பக்கம் / எதிர்ப்பக்கம் = 24 / 7

எடுத்துக்காட்டு 6.3

tan A = 2/3 எனில், மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் காண்க.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 6.4

sec θ = 13 / 5 , எனில் (2 sin θ  − 3 cos θ )/ ( 4 sin θ  − 9 cos θ ) = 3   என நிறுவுக. 

தீர்வு:

BC = 13 மற்றும் AB = 5 என்க.

sec θ = கர்ணம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = BC /AB = 13 / 5

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AC = √[BC²  − AB² ]

= √ [13²  − 5²]

= √[169 −25] = √144 =12

குறிப்பு : முனைப்புள்ளி C இல் கோணம் θ அமையுமாறு எடுத்துக்கொண்டும் மேற்கண்ட கணக்கை இதே வழியில் செய்யலாம்.