அணிக்கோவை: பூஜ்ஜியக் கோவை மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணிகள் (Singular and non−singular matrices)

பூஜ்ஜியக் கோவை மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணிகள் (Singular and non−singular matrices)

வரையறை 7.21

ஒருசதுர அணி A−ன் அணிக்கோவை |A| = 0 எனில், அது பூஜ்ஜியக்கோவை அணி எனப்படும். ஒரு சதுர அணி A−ன் அணிக்கோவை |A| ≠ 0 எனில், அது பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணி எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, என்க.

| A |= 3(1−1) − 8(−4 + 4) +1(−4 + 4) = 0.

எனவே A என்பது ஒரு பூஜ்ஜியக் கோவை அணியாகும்.

என்க. |B| = 2(0 − 20) − (−3) (− 42 − 4) + 5(30 − 0) = −28 ≠ 0.

எனவே, Bஎன்பது ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணியாகும்.

குறிப்பு 7.14

A, Bஎன்பன ஒரே வரிசை உள்ள பூஜ்ஜியமற்ற அணிகள் எனில், |AB| = |A| |B| = |BA| என்பதால் ABமற்றும் BA என்பனவும் பூஜ்ஜியமற்ற அணிகளாகும்.

பாடத் தொகுப்பு

இப்பாடப்பகுதியில் நாம் கற்றுத் தெளிந்தவை

• மெய்யெண்கள் அல்லது ℝ −ன் மீதான மெய்மதிப்புச் சார்பு அல்லது கலப்பெண்களை செவ்வக வடிவில் வரிசைப்படுத்துதல் அணியாகும்.

• ஓர் அணி m நிரைகள் மற்றும் n நிரல்கள் பெற்றிருந்தால், அதன் வரிசை m × n ஆகும்.

• A = [aij]m×n என்ற அணியில்

m = n எனில், அவ்வணி சதுர அணியாகும்.

m = 1 எனில், அவ்வணி நிரை அணியாகும்.

n = 1 எனில், அவ்வணி நிரல் அணியாகும்.

aij = 0 ∀ i,j எனில் அவ்வணி பூஜ்ஜிய அணியாகும்.

m = n மற்றும் aij = 0 ∀ i ≠ j எனில் அவ்வணி மூலைவிட்ட அணியாகும்.

m = n, aij = 0 ∀ i ≠ j மற்றும் aii = λ, ∀ i அவ்வணி திசையிலி அணியாகும். 

m = n, aij = 0 ∀ i ≠ j மற்றும் aii = 1, ∀ i எனில் அவ்வணி அலகு அணி அல்லது சமனி அணியாகும்.

m = n மற்றும் aij = 0 ∀ i > j எனில் மேல் முக்கோண வடிவ அணியாகும். 

m = n மற்றும் aij = 0 ∀ i < j எனில் கீழ்முக்கோண வடிவ அணியாகும்.

• A=[aij] m×n மற்றும் B= [bij] m×n என்ற அணிகளுக்கு aij = bij , ∀  i மற்றும் j எனில் அவை சம அணிகள் எனப்படும்.

• A = [aij] m×n மற்றும் B= [bij] m×n எனில் A + B= [cij] m×n , இங்கு cij = aij + bij .

• A = [aij] m×n மற்றும் λ ஒரு திசையிலி எனில் λ A=[ λ aij] m×n

• − A = (− 1)A

• A + B= B+ A

• A − B= A + (− 1)B

•  (A + B) + C = A + (B+ C), இங்கு A, B, C என்பன ஒரே வரிசை உடையவை.

(i) A(BC) = (AB)C (ii) A(B+ C) = AB+ AC (iii) (A + B)C = AC + BC

• ஓர் அணி A−யின் நிரை மற்றும் நிரல்களை இடமாற்றம் செய்வதன் மூலம் பெறப்படும் அணி A−ன் நிரை நிரல் மாற்று அணி AT எனப்படும்.

(i) (AT) T = A, (ii) (kA)T = kAT , (iii) (A + B)T = AT + BT , (iv) (AB)T = BT AT

• A என்ற ஒரு சதுர அணி

(i) AT = A எனில், அது சமச்சீர் அணி எனப்படும்

(ii) AT = −A எனில், அது எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

• ஒரு சதுர அணியை சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகளின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

• ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் பூஜ்ஜியமாகும்.

• A என்பது மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி எனில் A + AT என்பது சமச்சீர் அணியாகும் மற்றும் A − AT என்பது எதிர் சமச்சீர் அணியாகும். மேலும் A = ½ ( A + AT ) + ( A − AT).

• சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே அணிக்கோவைகளை வரையறுக்க முடியும்.

• | AT | = | A| .

• A, Bஎன்பன சம வரிசை உடைய இரு சதுர அணிகள் எனில், |AB| = |A| |B| 

• ஒரு சதுர அணி A = [aij]m×n எனில் | kA| = kn | A| இங்கு k என்பது ஒரு திசையிலி. 

• ஒரு சதுர அணி A−ன் அணிக்கோவையின் மதிப்பானது அதன் ஒரு நிரையின் (அல்லது நிரலின்) உறுப்புகள் மற்றும் அவற்றின் ஒத்த இணைக்காரணிகள் ஆகியவற்றின் பெருக்கலின் கூடுதலுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, |A| = a11A11 + a12A12  + a13A13

• ஒரு சதுர அணி A−ன் அணி அணிக்கோவையின் ஏதேனும் ஒரு நிரை அல்லது நிரலின் உறுப்புகள் மற்றும் மற்றொரு நிரை அல்லது நிரலின் உறுப்புகளின் ஒத்த இணைக்காரணிகள் ஆகியவற்றின் பெருக்கற் பலனின் கூடுதலானது பூஜ்ஜியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, = a11A13 + a12A23  + a13A33 = 0

• ஓர் அணிக்கோவையின் அனைத்து நிரைகளையும் நிரல்களாக இடமாற்றம் செய்தால், அணிக்கோவையின் மதிப்பு மாறாது.

• ஓர் அணிக்கோவையின் இரு நிரைகள் அல்லது நிரல்கள் இடமாற்றம் செய்யப்பட்டால், அணிக்கோவையின் குறி மாறும்.

• ஓர் அணிக்கோவையின் ஒரு நிரை அல்லது நிரலில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியம் எனில், அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

• ஓர் அணிக்கோவையின் இரு நிரைகள் அல்லது நிரல்கள் சர்வசமம் எனில், அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

• ஓர் அணிக்கோவையில் ஏதேனும் ஒரு நிரை அல்லது நிரலில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு திசையிலி kஆல் பெருக்கப்பட்டிருப்பின் அந்த அணிக்கோவையின் மதிப்பு kஆல் பெருக்கப்பட்டதாக அமையும்.

• ஓர் அணிக்கோவையில் உள்ள ஒரு நிரை அல்லது நிரலில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் r உறுப்புகளின் கூடுதலாக இருக்குமெனில், அவ்வணிக்கோவையை r அணிக்கோவைகளின் கூட்டல் பலனாக எழுதலாம்.

• ஓர் அணிக்கோவை Ri + αRj + βRk (j, k ≠ i) என்ற நிரை (Ri) உருமாற்றத்திற்கு அல்லது Ci + αCj + βCk (j,k ≠ i) என்ற நிரல் (Ci) உருமாற்றத்திற்கு உட்படுத்தப்பட்டால், அணிக்கோவையின் மதிப்பு மாறாது. இங்கு α, β என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள்.

• காரணித் தேற்றம்: ஓர் அணி A−ன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் x−ல் அமைந்த பல்லுறுப்புக் கோவையாக இருந்து, x = a எனப் பிரதியிட | A |−ன் மதிப்பு பூஜ்ஜியம் எனில், x = a என்பது | A |−ன் ஒரு காரணியாகும்.

• (x1, y1), (x2, y2) மற்றும் (x3, y3) என்ற உச்சிப்புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு –ன் எண்ணளவாகும்.

• முக்கோணத்தின் பரப்பு பூஜ்ஜியம் எனில், இம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையும்.

• ஒரு சதுர அணி A−க்கு |A| = 0 எனில், அது பூஜ்ஜியக்கோவை அணி எனப்படும். | A | ≠ 0 எனில், அது பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணி எனப்படும்.

இணையச் செயல்பாடு 7 (a)

அணிகளும் அணிக்கோவைகளும்

படி − 1

கீழ்க்காணும் உரலி / விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி GeoGebra−வின் "Matrices and Determinants" பக்கத்திற்குச் செல்க. உங்கள் பாடம் சார்ந்த பல பணித்தாள்கள் இப்பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்.

படி −2

"Matrices−Algebraic operations" என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். அதில் உள்ள கணக்குகளைச் செய்து, அதெற்கென கொடுத்திருக்கும் கட்டங்களில் விடைகளைச் சரி பார்க்கவும். மேலும் புது வினாக்களுக்கு "New Problem" என்பதைத் தேர்வு செய்யவும்.

உரலி :

https://ggbm.at/cpknpvvh

*படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டும்.

இணையச் செயல்பாடு 7 (b)

அணிகளும் அணிக்கோவைகளும்

படி − 1

கீழ்க்காணும் உரலி / விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி GeoGebra−வின் "Matrices and Determinants" பக்கத்திற்குச் செல்க. உங்கள் பாடம் சார்ந்த பல பணித்தாள்கள் இப்பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்.

படி −2

"Determinants" என்பதைத் தேர்வு செய்து கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் அணிக்கோவைகளின் மதிப்பினை நிர்ணயிக்கவும், மேலும் கொடுத்திருக்கும் கட்டங்களைத் தேர்வு செய்து அதன் படிகளைச்சரி பார்க்கவும்.

புது வினாக்களைப் பெறுவதற்கு “New Problem” என்பதைத் தேர்வு செய்யவும்.

உரலி :

https://ggbm.at/cpknpvvh

*படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டும்.