வரையறை, தேற்றம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் - சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகள் (Symmetric and skew−symmetric matrices) | 11th Mathematics : UNIT 7 : Matrices and Determinants

11 வது கணக்கு : அலகு 7 : அணிகளும் அணிக்கோவைகளும் (Matrices and Determinants)

சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகள் (Symmetric and skew−symmetric matrices)

A என்பது ஒரு சதுர அணி என்க. AT = A எனில், A என்பது சமச்சீர் அணியாகும்.

சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகள் (Symmetric and skew−symmetric matrices)

வரையறை 7.17

A என்பது ஒரு சதுர அணி என்க. AT = A எனில், A என்பது சமச்சீர் அணியாகும்.

அதாவது, A = [aij]m×n என்பது ஒரு சமச்சீர் அணி எனில், அனைத்து i, j −க்கு aij = aji ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, என்ற அணிக்கு AT = A என்பதால், இவ்வணி ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.

AT என்ற அணியின் நிரை நிரல் மாற்று அணி A என்ற அணியேயாகும் என்பதை கவனிக்கவும். அதாவது (AT) T = A.

வரையறை 7.18

A என்ற சதுர அணிக்கு AT = −A எனில், அவ்வணி எதிர் சமச்சீர்அணி எனப்படும்.

A = [aij]m×n என்பது எதிர் சமச்சீர்அணி எனில், அனைத்து i, j −க்கு aij = − aji ஆகும்.

i = j எனப்பிரதியிட்டால், 2aii = 0 அல்லது aii = 0 ∀ i

அதாவது, ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணியில் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாகும் என்பதே இதன் பொருளாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, என்ற அணிக்கு AT = −A என்பதால், இவ்வணி ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்.

மேலும் எந்தவொரு சதுர அணியையும் சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகளின் கூடுதலாக எழுதலாம் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

தேற்றம் 7.1

A என்பது மெய்யெண் மூலகங்களைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி எனில், A + AT என்பது ஒரு சமச்சீர் அணியாகும். மற்றும் A − AT என்பது ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்.

நிரூபணம்

B = A + AT என்க

BT = (A + AT) T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT = B

எனவே (A+AT) ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.

C = A − AT என்க

CT = (A + (−AT ))T = AT + (−AT)T = AT − (AT) T = AT − A = −(A-AT) = −C

எனவே A − AT என்பது ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்.

தேற்றம் 7.2

ஒரு சதுர அணியை சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகளின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

நிரூபணம்

A என்பது ஒரு சதுர அணி என்க.

A = ½ (A + AT) + ½ ( A − AT) என எழுதலாம்.

தேற்றம் 7.1 லிருந்து (A + AT) மற்றும் ( A − AT) என்பன முறையே சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகளாகும். (kA)T = kAT என்பதிலிருந்து ½ (A + AT) மற்றும் ½ ( A − AT) ஆகியவை முறையே சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகள் ஆகும். இதிலிருந்து தேவையான முடிவினைப் பெறலாம். இதன் மூலம் தேற்றம் நிரூபிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு 7.4

சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணியாக உள்ள அணி பூஜ்ஜிய அணியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.13

ஆகவே A என்பதை ஒரு சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகளில் கூடுதலாக எழுதலாம்.

Tags : Definition, Theorem, Solved Example Problems வரையறை, தேற்றம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள்.

11th Mathematics : UNIT 7 : Matrices and Determinants : Symmetric and Skew-symmetric Matrices Definition, Theorem, Solved Example Problems in Tamil : 11th Standard TN Tamil Medium School Samacheer Book Back Questions and answers, Important Question with Answer. 11 வது கணக்கு : அலகு 7 : அணிகளும் அணிக்கோவைகளும் (Matrices and Determinants) : சமச்சீர் மற்றும் எதிர் சமச்சீர் அணிகள் (Symmetric and skew−symmetric matrices) - வரையறை, தேற்றம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் : 11 ஆம் வகுப்பு தமிழ்நாடு பள்ளி சமசீர் புத்தகம் கேள்விகள் மற்றும் பதில்கள்.