நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம்

நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் (Addition Theorem of Probability) 

(i) A மற்றும் B ஆகியவை ஏதேனும் இரு நிகழ்ச்சிகள் எனில்,

P (A ∪ B) = P(A) + P(B ) −P(A ∩ B) 

(ii) A, B மற்றும் C ஆகியவை ஏதேனும் மூன்று நிகழ்ச்சிகள் எனில், P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P(B ∩C) −P (A ∩C ) + P(A ∩ B ∩C) 

நிரூபணம் 

(i) S- ஐ கூறுவெளியாக உடைய ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையில் A மற்றும் B ஆகியன ஏதேனும் இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் என்க. 

வென் படத்திலிருந்து A மட்டும், A Ո B மற்றும் B மட்டும் ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள். மேலும் அவைகளின் சேர்ப்பு ஆனது A U B ஆகும். 

ஆகையால், P (A U B) = P[ (A மட்டும்) ∪(A ∩ B) ∪ (B மட்டும்) ]

= P(A மட்டும் ) +P (A ∩ B) + P(B மட்டும்)

= [P (A) −P (A ∩ B)] + P(A ∩ B) +[P (B ) − P (A ∩ B)]

P (A U B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B)

(ii) A, B, C ஆகியன சமவாய்ப்பு சோதனையில் S என்ற கூறுவெளியின் ஏதேனும் மூன்று நிகழ்ச்சிகள் என்க. 

D = B ∪C என்க. 

P (A U B UC) = P (A ∪ D)

= P (A) + P (D) − P (A ∩ D)

= P (A) + P (B ∪ C) − P[A ∩ (B ∪C)]

= P (A) + P (B) + P(C) − P(B ∩C) − P [(A ∩ B ) ∪ (A ∩C)]

= P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩C) − P(A ∩ B) − P (A ∩C ) + P[(A ∩ B) ∩ (A ∩C)]

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P(B ∩C) −P (C ∩ A) + P(A ∩ B ∩C)

எடுத்துக்காட்டு 8.26

P(A) = 0.37 , P(B) = 0.42 , P (A ∩ B) = 0.09 எனில், P (A U B) ஐக் காண்க. 

தீர்வு 

P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P (A ∩ B) = 0.09

P (A U B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A U B) = 0.37 + 0.42 − 0.09 = 0. 7

எடுத்துக்காட்டு 8.27 

நன்கு கலைத்து அடுக்கப்பட்ட 52 சீட்டுகள் கொண்ட சீட்டுக் கட்டிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கும்போது ஓர் இராசா அல்லது ஓர் இராணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? 

தீர்வு 

மொத்தச் சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 52

இராசா சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 4 

இராசா சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 4/52

இராணி சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 4

இராணி சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 4/52

இராசா மற்றும் இராணி சீட்டுகள் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் என்பதால், 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 

எனவே, இராசா சீட்டு அல்லது இராணி சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது = 4/52 + 4/52 = 2/13

சிந்தனைக் களம்

P (A U B) + P (A ∩ B) என்பது _____.

எடுத்துக்காட்டு 8.28 

இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றன. இரண்டு முக மதிப்புகளும் சமமாக இருக்க அல்லது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4 ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க? 

தீர்வு 

இரண்டு பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும் பொழுது அதன் கூறுவெளியில் 6 × 6 = 36 உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே, n(S) = 36

A-ஆனது இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே முக மதிப்புகள் மற்றும் B-ஆனது இரண்டு பகடைகளின் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4- ஆக கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சிகள் என்க. 

எனவே,

A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

B = {(1,3),(2,2),(3,1)}

A Ո B = {(2,2)}

எனவே, n (A) = 6 , n (B) = 3 , n (A ∩ B) = 1.

P (ஒரே முக மதிப்புகள் அல்லது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4 கிடைக்க) = P (A U B)

P (A U B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B)

= 6/36 + 3/36 – 1/36 = 8/36 = 2/9

எனவே, தேவையான நிகழ்தகவு 2/9 ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 8.29 

A மற்றும் B ஆகியவை P (A) = 1/4, P (B) = 1/2 மற்றும் P(A மற்றும் B) = 1/8 என இருக்குமாறு அமையும் இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் எனில், பின்வருவனவற்றைக் காண்க. 

(i) P(A அல்லது B) (ii) P(A-ம் இல்லை மற்றும் B-ம் இல்லை) 

தீர்வு 

(i) P (A அல்லது B)  = P (A U B)

= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A அல்லது B) = 1/4 + 1/2 – 1/8  = 5/8

(ii) P(A-ம் இல்லை மற்றும் B-ம் இல்லை) = P ( ∩ )

= P 

= 1 − P (A ∪ B)

P(A-ம் இல்லை மற்றும் B-ம் இல்லை) = 1 – 5/8 = 3/8

எடுத்துக்காட்டு 8.30 

52 சீட்டுகள் கொண்ட சீட்டுக் கட்டிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகின்றது. அந்தச் சீட்டு இராசா அல்லது ஹார்ட் அல்லது சிவப்பு நிறச் சீட்டாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க. 

தீர்வு 

மொத்த சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 52; n(S) = 52

A ஆனது இராசா சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(A) = 4

B ஆனது ஹார்ட் சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(B) =13

C ஆனது சிவப்பு நிறச் சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(C) = 26

P (A Ո B) = P (ஹார்ட் மற்றும் இராசா சீட்டு கிடைக்க) = 1/52

P (B ՈC) = P (சிவப்பு நிற ஹார்ட் சீட்டு கிடைக்க) = 13/52

P (A ՈC) = P (சிவப்பு நிற இராசா சீட்டு கிடைக்க) = 2/52

P (A Ո B ՈC) = P (ஹார்ட், இராசா சீட்டு சிவப்பு நிறத்தில் கிடைக்க) = 1/52

தேவையான நிகழ்தகவானது 

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B ) − P(B ∩C) −P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩C)

 = 4/52 + 13/52 + 26/52 – 1/52 – 13/52 – 2/52 + 1/52 = 28/52 

= 7/13

எடுத்துக்காட்டு 8.31 

50 மாணவர்கள் உள்ள ஒரு வகுப்பில், 28 பேர் NCC-யிலும், 30 பேர் NSS-லும் மற்றும் 18 பேர் NCC மற்றும் NSS-லும் சேர்கிறார்கள். ஒரு மாணவர் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார். அவர்

(i) NCC - யில் இருந்து, ஆனால் NSS-ல் இல்லாமல் 

(ii) NSS -ல் இருந்து, ஆனால் NCC-யில் இல்லாமல் 

(iii) ஒன்றே ஒன்றில் மட்டும் சேர்ந்து

இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க. 

தீர்வு 

மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை n (S) = 50.  

A மற்றும் B ஆகியவை முறையே NCC மற்றும் NSS -யில் சேர்ந்த மாணவர்கள் என்க.

n (A) = 28, n (B) = 30 , n (A ∩ B) = 18 

(i) NCC யில் சேர்ந்து NSS-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு 

P (A Ո  )  = P (A) −P (A ∩ B) = 28/50 – 18/50 =1/5 

(ii) NSS - யில் சேர்ந்து NCC-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு

P ( Ո B ) = P (B ) −P (A ∩ B) = 30/50 – 18/50 = 6/25

(iii) ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே சேர்ந்த மாணவரைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு P(A மட்டும் அல்லது B மட்டும்)

(குறிப்பு:  (A Ո ), (Ո B) ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்)

எடுத்துக்காட்டு 8.32 

A மற்றும் B ஆகிய இரு விண்ணப்பதாரர்கள் IIT -யில் சேர்வதற்காகக் காத்திருப்பவர்கள். இவர்களில் A தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.5, A மற்றும் B இருவரும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.3 எனில், B தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு 0.8 என நிரூபிக்க. 

தீர்வு 

P (A) = 0.5 , P (A ∩ B) = 0.3

P (A U B ) ≤ 1 என அறிவோம்.

P (A) + P(B) −P (A ∩ B) ≤ 1

0.5 + P (B) − 0.3 ≤ 1

P (B) ≤ 1 − 0.2

P (B)  ≤ 0.8

எனவே, B தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும்.