முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்

முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்

எந்த ஓர் எண்ணையும், மீதமின்றி வகுக்கும் எண்ணை அதன் காரணி என்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 4 இன் காரணிகள் 1, 2 மற்றும் 4 ஆகும். எண் 12 இன் காரணிகள் 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12 ஆகும். மேலும், அந்த எண்ணை அதன் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாகவும் எழுதமுடியும். அதாவது, 12 = 1 × 12 (அல்லது) 2 × 6 (அல்லது) 3 × 4

இதேபோல், இயற்கணிதக் கோவைகளின் காரணிகள் அந்தக் கோவையை மீதமின்றி வகுக்கும். ஓர் இயற்கணிதக் கோவையை, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அக்கோவையின் பெருக்கற்பலனாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x2y = x × x × y எனவே, x2y என்னும் இயற்கணிதக் கோவையின் காரணிகள் x, x மற்றும் y ஆகும்.

x2 – 4 என்னும் கோவையைக் கருதுக. 

a2 – b2 = (a+b)(a-b) என்னும் முற்றொருமையின் படி, x2 - 4= x2- 22 = (x + 2)(x - 2)

எனவே, (x+2) மற்றும் (x- 2) ஆகியன x2 – 4 இன் காரணிகள். மேலும் 1 என்பதும் x2 – 4 இன் ஒரு காரணி ஆகும்.

x2 = x × x  என்று அறிவோம். இதேபோல் (x + 5)2 = (x + 5) × (x + 5). 

எனவே, (x + 5)2 இன் காரணிகள் (x + 5) மற்றும் (x + 5) ஆகும்.

இவ்வாறாக, ஓர் இயற்கணிதக் கோவையை அதன் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுதுவதைக் காரணிப்படுத்துதல் என்று அழைக்கின்றோம்.

அடிப்படையான முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி இயற்கணிதக் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்துதல் குறித்து மேலும் கற்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.5   

பின்வரும் இயற்கணிதக் கோவைகளை அதன் காரணிகளின்  பெருக்கற்பலனாக எழுதுக.

(i) ab2      (ii) - 3pq3     (iii) 12m2n2p 

தீர்வு

(i) ab2 =a×b×b. 

(ii) -3pq3=-3×p×q×q×q.

(iii) 12 m2n2p = 4 × 3 × m × m × n × n × p = 2 × 2 × 3 × m × m × n × n × p.

எடுத்துக்காட்டு 3.6  

a2 – b2 = (a +b)(a-b) என்னும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.

(i) a2 -1 (ii) 9k2 – 25 (iii) 64x2 – 81y2

தீர்வு 

(i) a2 -1 = a2 – 12 = (a + 1)(a - 1) [ஏனெனில், 12 = 1 × 1 = 1]

ஆகவே, a2 -1 இன் காரணிகள் (a + 1) மற்றும் (a - 1). 

(ii) 9k2 - 25= (32 × k2)- 52 = (3k) 2 - 52 [ஏனெனில், am × bm =(a×b)m]

= (3k + 5)(3k - 5) [ஏனெனில், a2 – b2 – (a + b)(a - b)] 

  எனவே, 9k2 – 25 இன் காரணிகள் (3k + 5) மற்றும் (3k - 5). 

(iii) 64x2 - 81y2 = (82 × x2)-(92 × y2)= (8x)2 - (9y)2

= (8x +9y)(8x -9y) 

எனவே, 64x2 – 81y2 இன் காரணிகள் (8x + 9y) மற்றும் (8x - 9y) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.7   

காரணிப்படுத்துக: 9x2 + 30xy + 25y2 

தீர்வு 

9x2 + 30xy +25y2 = (32 × x2)+(2×3×5) × xy + (52 × y2)

= (3x)2 +2 × (3x) × (5y)+(5y)2 

இது a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 என்னும் முற்றொருமை வடிவில் உள்ளது. 

எனவே, (3x)2 + 2 × (3x) × (5y) + (5y)2 = (3x + 5y) 2 = (3x+5y)(3x+5y). 

ஆகவே, 9x2 + 30xy +25y2 இன் காரணிகள் (3x+5y) மற்றும் (3x+5y) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.8     

காரணிப்படுத்துக 4x2 – 4xy + y2

தீர்வு

4x2 – 4xy + y2 =22 × x2 - (2×2) × xy + y2

=(2x)2 – 2 × (2x) × y+y2

இது a2 - 2ab + b2 = (a-b)2 என்னும் முற்றொருமை வடிவில் உள்ளது. 

இங்கு, 2x = a மற்றும் y = b எனவே, 

(2x)2 – 2 × (2x) × y + y2 = (2x - y)2    [முற்றொருமை 3 இன் படி]

= (2x - y)(2x - y) 

எனவே, 4x2 – 4xy + y2 இன் காரணிகள் (2x - y) மற்றும் (2x - y).

சிந்திக்க

அடிப்படையான இயற்கணித முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்த இயலுமா?

(i) x2 + 5x+4

தீர்வு :

(i) x2 + 5x + 4 = x2 + (1 + 4)x + (1 × 4)

என்னும் முற்றொருமையின் வடிவில் உள்ளது x2 + (a + b)x + ab 

= (x + a) (x + b)

x2 + (1+4)x +(1 × 4) = (x + 1) (x + 4)

∴ x2 + 5x + 4 = (x + 1) (x + 4)

(ii) x2 – 5x +4

தீர்வு :

x2  – 5x + 4 = x2 + ((–1) + (–4))x + (–1)(–4)

என்னும் முற்றொருமையின் வடிவில் உள்ளது x2 + (a + b) x + ab

= (x + a) (x + b)

x2 + ((–1) + (–4))x + ((–1)(–4)) = (x + (–1)) (x + (–4)) = (x –1) (x – 4)

x2 – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4))

எடுத்துக்காட்டு 3.9   

காரணிப்படுத்துக: x2 – 2xy + y2 – z2

தீர்வு

x2 – 2xy + y2 – z2 = (x2 – 2xy + y2)-z2 = (x - y)2 – z2 [முற்றொருமை 3 இன் படி] 

(x - y) = a மற்றும் z = b என்க. 

எனவே, (x - y)2 – z2=a2 – b2

a2 – b2 = (a + b)(a - b) என்னும் முற்றொருமை 4 இன் படி 

x2 – 2xy + y2 – z2 = (x - y + z)(x - y - z) 

ஆகவே, x2 – 2xy +y2 – z2  இன் காரணிகள் (x - y + z) மற்றும் (x - y - z) ஆகும்.

செயல்பாடு

உனது நண்பர்களுடன் சேர்ந்து விளையாடி மகிழ இதோ ஓர் எண் விளையாட்டு. பின்வரும் படிநிலைகளைப் பின்பற்றுக. 

1.  உன் நண்பனிடம், ஏதோ ஓர் எண்ணை மனதில் நினைக்கச் சொல். அந்த எண் 1  இலிருந்து 10 இக்குள் இருக்க வேண்டும். (எடுத்துக்காட்டாக, அந்த எண் 5 என்க.) 

2. அதனை இரு மடங்கை வர்க்கத்துடன் கூட்டுக. (எனவே, 10 + 25 = 35) 

3. விடையுடன் 1 ஐக் கூட்டுக. (எனவே, 35 + 1 = 36) 

4. இறுதியாகக் கிடைத்த எண்ணைக் கேட்கவும். 

5. அந்த எண் ஒரு முழு வர்க்கமாகத்தான் இருக்கும். அதன் அடிமானத்திலிருந்து (base) 1 ஐக் கழிக்கவும். கிடைக்கும் விடைதான், உனது நண்பனின் மனதில் நினைத்த எண் ஆகும். (அதாவது, 36=62 இதன் அடிமானம் 6, எனவே, 6-1=5). 

பின்வரும் வர்க்க எண்களையும், அவற்றின் அடுக்கு வடிவின் அடிமானத்தையும் நினைவில் கொள்க 1 🡪 1, 4 🡪 22, 9 🡪32, 16 🡪 42, 25 🡪 52, 36 🡪 62, 49 🡪 72, 64 🡪 82, 81 🡪 92, 100 🡪 102