அசமன்பாடுகள்

அசமன்பாடுகள்

நேரியச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவது குறித்து ஏற்கனவே கற்றறிந்தோம். இப்போது அசமன்பாடுகள் குறித்துக் கற்போம்.

விதிமுறைகளின்படி, ஒருவர் ஓட்டுநர் உரிமம் (Driving Licence) பெறுவதற்கான குறைந்தபட்ச வயது 18 ஆகும். ஆகவே, ராஜீவ் என்பவர் ஓட்டுநர் உரிமம் வைத்திருக்கிறார் எனில், அவரின் வயது குறைந்தபட்சம் 18 என உறுதியாகக் கூறலாம்.

இப்போது ராஜீவின் வயதை x என்று குறிப்பிட்டால் மேற்காணும் கூற்றைக் கணித வடிவில் x ≥ 18 என எழுதலாம். அதாவது அவருடைய வயது என்னவென்று உறுதியாகத் தெரியாத நிலையிலும், அவரின் வயது 18 ஆகவோ அல்லது 18 ஐ விட அதிகமாகவோ இருக்கும் எனக் கூற இயலும்.

இதேபோல் இந்தக் குவளையானது 5 லிட்டர் நீரைக் கொள்ளும் என்னும் கூற்றை x ≤ 5 எனுமாறு கணிதமுறையில் எழுதமுடியும். இங்கு ‘x' என்பது குவளையிலுள்ள நீரின் அளவைக் குறிக்கிறது.

மேலும், ஒரு முக்கோணத்தில் இரண்டு பக்கங்களின் அளவுகளின் கூடுதலானது, அதன் மூன்றாவது பக்கத்தைவிட அதிகமாக இருக்கும் என்னும் பண்பினை நாம் நன்கறிவோம். எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a, b மற்றும் c எனில் இந்தப் பண்பினை a + b > c, a + c > b மற்றும் b + c > a எனுமாறு எழுதலாம்.

x ≠ 10 எனில், x > 10 அல்லது x < 10 ஆகும். அதாவது, ஒரு மாறி 'x' இன் மதிப்பு 10 இல்லை எனில், 'x' இன் மதிப்பு 10 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது 10 ஐ விடக் குறைவாகவோ இருக்கும்.

இவ்வாறு இரு இயற்கணிதக் கோவைகளை ஒப்பிட்டு அவை சமமானவையல்ல எனக் குறிக்கும், இயற்கணிதக் கூற்றையே அசமன்பாடுகள் என்கிறோம்.

பொதுவாக இரு கோவைகளை ஒப்பிடும்போது, ஒன்றுமற்றொன்றைவிடச் சிறியதாகவோ (<), சிறியது அல்லது சமமாகவோ (≤), பெரியதாகவோ (>), பெரியது அல்லது சமமாகவோ (≥) இருக்கும். ஓர் அசமன்பாடு, இயற்கணிதக் கோவைகளை >, ≥, < அல்லது ≤ என்னும் அசமன்பாட்டுக் குறியீடுகளின் மூலம் இணைக்கலாம்.

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் கூற்றுகளுக்குப் பொருத்தமான அசமன்பாடுகளை உருவாக்குக: 

1. ரமேஷின் மாத வருமானம் ₹25,000 மேலிருக்கும். 

2. இந்த மின்தூக்கியில் (Lift) அதிகபட்சமாக 5 நபர்கள் செல்லலாம். 

3. இந்தக் கண்காட்சி நமது நகரில் குறைந்தது 100 நாட்களாவது நடக்கும்.

தீர்வு :  

1. x > 25,000, இங்கு x என்பது ரமேஷின் மாத வருமானம்.

2. y ≤ 5, இதில் y என்பது மின்தூக்கியில் கொண்டு செல்லக்கூடிய அதிகபட்ச நபர்களின் எண்ணிக்கையாகும்  .

3. z ≥ 100, இங்கு z என்பது கண்காட்சி இருக்கும் நாட்களின் எண்ணிக்கை ஆகும் .

1. நேரிய அசமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

ஓர் எளிய நேரிய சமன்பாட்டிற்கு ஒரேயொரு தீர்வுதான் இருக்கும். ஆனால், ஒரு நேரிய அசமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கக்கூடும்.

ஓர் அசமன்பாட்டைத் தீர்க்க அதன் மாறியைப் பெறத்தக்க மதிப்புகளின் தொகுப்பை அறிதல் அவசியம். இம்மாதிரியான அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டத் தொகுப்பையே அசமன்பாட்டின் தீர்வு என்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 3x - 3 = 12 என்னும் சமன்பாட்டின் தீர்வு 5 (எப்படி?) இதனை, 3x – 3 < 12, 'x' என்பது இயல் எண் எனில் இந்த அசமன்பாட்டின் தீர்வு காண்போம். இந்த அசமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு 'அனைத்து இயல் எண்கள்' ஆகும். இப்போது,

இருபுறமும் 3 ஐக் கூட்ட நமக்கு 3x – 3 + 3 < 12 + 3 ⇒ 3x < 15 எனக் கிடைக்கும்.

இருபுறமும் 3 ஆல் வகுக்க 3x/3 <15/3 ⇒ x<5 எனக் கிடைக்கிறது. எனவே, x ன் மதிப்பு 5 ஐ விடக் குறைவாகும்.

மேலும் x ஓர் இயல் எண் என்பதால் இந்த அசமன்பாட்டின் தீர்வுகள் 1, 2, 3 மற்றும் 4 என்பதாக இருக்கும்.

குறிப்பு 

இங்கு 'x' ஆனது இயல் எண் என வரையறுக்கப்படவில்லை எனில், அதன் தீர்வுகள் x ஐ விடக் குறைவான எல்லா எண்களையும் பெற்றிருக்கும்.

அசமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் விதிகள் 

ஒரு அசமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உதவும் அதே விதிமுறைகள் பொருந்தும். 

1. ஒரே எண்ணை இருபுறமும் கூட்டுவதால், அசமன்பாட்டின் அசமத்தன்மை மாறுவதில்லை .

எடுத்துக்காட்டாக: 10> 5 ⇒ 10 + 1> 5 + 1 ⇒ 11> 6. 

இங்கு 1 இக்குப் பதிலாக, ஏதேனும் ஒரு எண் x ஐக் கூட்டினாலும் அசமன்பாடு மாறாது. அதாவது, 10+x > 5+x. 

2. ஒரே எண்ணை இருபுறமும் கழிப்பதாலும் அசமன்பாட்டின் அசமத்தன்மை மாறாது. எடுத்துக்காட்டாக 10> 5 ⇒ 10 - 1>5 – 1 ⇒ 9>4. 

இதன் நீட்சியாக 1 இக்குப் பதில் ஏதேனும் ஒரு எண் x ஐக் கழித்தாலும் அசமன்பாடு மாறுவதில்லை. அதாவது 10 – x > 5-x. 

3. இருபுறமும் மிகை எண்ணால் பெருக்கினால் அசமன்பாடு மாறாது. அதாவது 10> 5 ⇒ 10 × 2 > 5 × 2 ⇒ 20> 10, இங்கு 2 இக்குப் பதிலாக ஏதேனும் ஒரு மிகை எண் x ஐப் பெருக்கினாலும் அசமன்பாடு மாறாது 10 × x> 5 × x . 

4. ஒரு பூச்சியமற்ற மிகை எண்ணால் இருபுறமும் வகுக்க அசமன்பாட்டின் அசமத்தன்மை மாறாது அதாவது, 10>5 ⇒ 10/5> 5/5 ⇒ 2>1. இதேபோல் 5 இக்குப் பதிலாக, ஒரு பூச்சியமற்ற மிகை எண் x ஆல் வகுக்க அந்த அசமன்பாடு மாறாது. அதாவது, 10/x>5/x.

குறிப்பு 

ஓர் அசமன்பாட்டின் இருபுறமும் பூச்சியமற்ற குறை எண்ணால் பெருக்கும்போதும் வகுக்கும் போதும், அந்த அசமன்பாட்டுக் குறி மாறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3 < 12 ஐக் கருதுக. இருபுறமும் -1 ஆல் பெருக்கினால் 3×(-1) < 12×(-1)-3 < -12. 

ஆனால், இது உண்மையல்ல. ஏனெனில், இங்கு -3 என்பது - 12 ஐ விடப் பெரிய எண் எனவே, -3 > -12 அசமன்பாட்டுக் குறி மாறியதைக் காண்க. 

இதனைப் பொதுமைப்படுத்தும் போது, x<y ஐ -1 ஆல் இருபுறமும் பெருக்கும்போது, -x>-y என கிடைக்கிறது.

ஒரு சமன்பாட்டின், இருபுறமும் உள்ள கோவைகளை இட மாற்றி எழுதும்போது, அந்தச் சமன்பாட்டில் மாற்றம் ஏற்படாது. எடுத்துக்காட்டாக, x+3= 5 என்பதும் 5= x+ 3 என்பதும் ஒரே சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது சமமாகும்.

ஆனால் அசமன்பாடுகளை இடவலமாக மாற்றி எழுதும்போது அதன் அசமன்பாட்டுக்குறியை மாற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 30>20 என்பதும் 20<30 என்பதும் ஒரே அசமன்பாடு ஆகும். இதுபோல் -18<-9 என்பதும் -9>-18 என்பதும் ஒன்றேயாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.10 

தீர்க்க: 2x + 4 < 18, இங்கு x ஓர் இயல் எண் ஆகும். 

தீர்வு

2x + 4 < 18 

2x + 4 – 4 <18 -4  [இருபுறத்திலும் 4 ஐ கழிக்க]

2x < 14   [இருபுறத்தையும் 2 ஆல் வகுக்க] 

x < 7

இங்கு தீர்வுகளின் தொகுதி 7 ஐ விடச் சிறிய இயல் எண்கள் ஆகும். எனவே, x என்பது 1, 2, 3, 4, 5 மற்றும் 6 ஆகிய மதிப்புகளை ஏற்கும். எனவே, 1, 2, 3, 4, 5 மற்றும் 6 என்பவை தீர்வுகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.11 

தீர்க்க : 5 – 7x ≥ 33, இங்கு x என்பது முழுக்கள். 

தீர்வு

5 – 7x≥33

 5 – 5 – 7x ≥ 33 - 5  [இருபுறத்திலும் 5 ஐ கழிக்க]

      -7x ≥ 28 

      -7x/-7≥ 28/-7 ஆதலால் குறை எண் முற்றொருமையை இருபுறத்தையும் 7ஆல் வகுக்க]

x ≤ -4 என்பது நமக்குக் கிடைக்கிறது. இங்கு குறை எண்ணால் வகுப்பதால், அசமன்பாடு இடமாறுகிறது.

தீர்வு முழுக்களின் தொகுதியில் இருபுறத்திலும் x இன் மதிப்பு - 4 ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதாலும் -4, -5, -6, ….. ஆகியவற்றை x இன் மதிப்பாக ஏற்கிறது. 

எனவே, தீர்வுகள் -4, -5, -6, ….. என்பதாகும்.

சிந்திக்க

ஹமீது, தெருவில் ஒருவரை பார்த்தான். "அந்த அந்நிய மனிதருக்கு வயது 40 இலிருந்து 45 இக்குள் இருக்கும் என்றும், அவரது உயரம் 160 செ.மீட்டரிலிருந்து 170 செ.மீ வரை இருக்கும்" என்றும் அவன் பெற்றோரிடம் கூறினான்.

ஹமீதின் கூற்றை, வயது மற்றும் உயரத்தை முறையே x மற்றும் y என்னும் மாறிகளாகக் கொண்ட அசமன்பாடுகளாக மாற்றுக.

எடுத்துக்காட்டு 3.12  

தொழிலாளி ஒருவர் ஒரு நாளுக்கு ₹200 ஐக் கூலியாக பெறுகிறார் எனில், ₹3,00,000 மாதாந்திர செலவுத் திட்டத்தில் எத்தனை தொழிலாளர்களைப் பணியமர்த்த முடியும்? 

தீர்வு

தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையை x என்க. 

எனவே, x தொழிலாளர்களின் ஒரு நாள் கூலி = ₹ 200x 

x தொழிலாளர்களின் ஒரு மாதக் கூலி = ₹ (200x × 30)= ₹ 6000x 

செலவுத் திட்டப்படி ₹ 3,00,000 இக்கு மிகையாகக் கூடாது. 

எனவே, இந்தக் கூற்றை 6000x ≤ 300000 என்று எழுதலாம்.

6000x/6000 ≤ 300000/6000 [இருபுறமும் 6000 ஆல் வகுக்க] 

x ≤ 50

ஆகவே, ₹ 3,00,000 மாதாந்திரச் செலவுத் திட்டத்தில் அதிக பட்சமாக 50 தொழிலாளர்களைப் பணியமர்த்தலாம்.

2. வடிவக்கணிதத்தில் அசமன்பாடுகள்

ஓர் அசமன்பாட்டின் தீர்வுகளை அவற்றின் மெய் மதிப்புகளை பல்வேறு வண்ணங்களில் எண் கோட்டில் குறித்து குறிப்பிடலாம்.

பின்வரும் அசமன்பாடுகளையும் அதன் தீர்வுகளை எண்கோட்டில் குறிப்பிடும் விதத்தையும் காண்க. இந்த அசமன்பாட்டுத் தீர்வுகளின் தொகுதி இயல் எண்கள் என்க. அதாவது தீர்வு கணத்தின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் இயல் எண்கள் என்க.

1. x < 3 எனும்போது அதன் தீர்வுகள் 1 மற்றும் 2 ஆகும் இதனை எண்கோட்டில் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்.

2.  x  ≥  3 எனும் போது, அதன் தீர்வுகள் 3, 4, 5... இதனை எண்கோட்டில் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்.

3. 2 ≤ x ≤ 5 எனும் அசமன்பாட்டின் தீர்வுகள் 2, 3, 4 மற்றும் 5 என்பதனை வரைபடத்தில் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.13   

-8<2x<10 இன் தீர்வுகளை ஓர் எண்கோட்டில் குறிக்க. இங்கு x என்பது ஓர் இயல் எண் ஆகும்.

தீர்வு

-8<2x<10

-8/2<2x/2<10/2   [அசமன்பாட்டை 2 ஆல் வகுக்க]

-4 <x <5 

தீர்வுகளின் கணம் இயல் எண்கள் என்பதால், தீர்வுகள் x = 1,2,3 மற்றும் 4 ஆகும். இதனை பின்வருமாறு எண்கோட்டில் குறிக்கலாம்.

குறிப்பு 

இதன் தீர்வுகளின் தொகுதி இயல் எண்கள் என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதால்  -3, -2, -1 மற்றும் 0 ஆகியவை  இங்கு குறிக்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3.14    

3x + 9 ≤ 12 இன் தீர்வுகளை எண்கோட்டில் குறிக்கவும். இங்கு x என்பது முழுக்கள்.

தீர்வு

3x + 9 ≤ 12 இதன் தீர்வுகளின் தொகுதி முழுக்கள்.

3x/3 + 9/3 ≤ 12/3  [இருபுறத்தையும் 3 ஆல் வகுக்க]

x + 3 ≤ 4

x + 3 - 3 ≤ 4-3 [இருபுறத்திலிருந்தும் 3 ஐக் கழிக்க]

x ≤ 1

எனவே, இதன் தீர்வுகள் 1, 0, -1, -2, ..... ஆகிய முழுக்கள் ஆகும். இதனை பின்வருமாறு எண்கோட்டில் குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.15   

-2 ≤ z + 3≤5 என்னும் அசமன்பாட்டைத் தீர்க்க. இங்கு Z என்பது முழுக்கள். 

மேலும் தீர்வுகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும். 

தீர்வு

-2 ≤ z+3 ≤ 5 இன் தீர்வுகளின் தொகுதி முழுக்கள். 

-2 -3 ≤ z + 3 -3 ≤ 5 -3  [அசமன்பாட்டை -3 ஆல் கழிக்க]

-5 ≤   z    ≤2

இதன் தீர்வுகள் = -5, -4 , -3, -2, -1, 0, 1, 2. இந்தத் தீர்வுகளைப் பின்வருமாறு எண்கோட்டில் குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.16    

வரைபடம் மூலம் தீர்க்க: 6y – 5 ≤ 2y + 7 என்பது முழுக்கள் ஆகும். 

தீர்வு

6y - 5 ≤ 2y + 7 

6y - 2y - 5 ≤ 2y - 2y + 7 [இருபுறத்தையும் 2y ஆல் கழிக்க]

4y - 5 ≤7 

4y - 5 + 5 ≤ 7 + 5 [இருபுறத்திலும் 5 ஐக் கூட்ட]

4y ≤ 12

4y/4 ≤ 12/4 [இருபுறமும் 4 ஆல் வகுக்க,]

y ≤ 3  

எனவே, தீர்வுகள் 3, 2, 1, 0, -1, -2,...... இந்தத் தீர்வுகளைப் பின்வருமாறு எண்கோட்டில் குறிக்கலாம்.