அடுக்கு விதிகள்

அடுக்கு விதிகள்

ஒரே அடிமானம் உள்ள அடுக்கு எண்களைப் பெருக்கவும் வகுக்கவும் உதவும் சில விதிகளைக் காண்போம்.

1. அடுக்கு வடிவ எண்களின் பெருக்கல்

23 × 22 இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்.

23×22 = (2×2×2) × (2×2)

= 2×2×2×2×2

= 25

= 23+2

இங்கு 23 மற்றும் 22 இன் அடிமானம் 2 ஆகவும், அதன் அடுக்குகளின் கூடுதல் 5 ஆகவும் இருப்பதைக் காணலாம். குறை முழுக்களை அடிமானமாகக் கொண்டவற்றைக் கருதுவோம்.

இப்போது (-3)3 × (-3)2

= [(-3) × (-3) × (-3)] × [(-3) × (-3)]

= (-3) × (-3) × (-3) × (-3) × (-3) 

= (-3)5

= (-3)3+2 

இங்கு (-3)3 மற்றும் (-3)2 இன் அடிமானம் (-3) ஆகவும், அதன் அடுக்குகளின் கூடுதல் 5 ஆகவும் இருப்பதைக் காணலாம். இதேபோல, p4×p2 = (p×p×p×p) × (p×p) = p6 = p4+2 எனக் காணலாம்.

இப்போது, am மற்றும் an என்னும் இரு அடுக்கு எண்களைக் கருதுக. இங்கு ‘a' என்பது ஒரு பூச்சியமற்ற முழுக்கள் மற்றும் ‘m' மற்றும் 'n' என்பன முழு எண்கள் ஆகும். அதாவது, 

am = a×a×a×.......×a (m முறைகள்) மற்றும் an = a×a×a×...... ×a (n முறைகள்) 

எனவே, am × an = a×a×a×...×a (m முறைகள்) ×a×a×a×.....×a (n முறைகள்)

= a×a×a×…. ×a (m+n முறைகள்) = am+n

ஆகவே, am+an =am+n

இதனை அடுக்குகளின் பெருக்கல் விதி (product rule of exponents) என்பர்.

இவற்றை முயல்க 

பின்வருவனவற்றை அடுக்கு வடிவில் எழுதுக

1. 23 ×25 = 28

2. p 2 × p4 = p6

3. x 6 × x4 = x10

4. 31×35 ×34 = 310

5. (−1)2 × (−1)3 × (−1)5 = (–1)10

எடுத்துக்காட்டு 3.7 

அடுக்குகளின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குக.

(i) 57 × 53

(ii) 33 × 32 × 34

(iii) 25 × 32 × 625 × 64

தீர்வு :

(i) 57 × 53 = 57+3 

[ஏனெனில், a m × an = am +n ] 

= 510

(ii) 33 ×32 ×34 =33+2 ×34 =35 × 34

= 35+4 = 39

iii) 25×32×625×64 = (5×5)×(2×2×2×2×2) × (5×5×5×5)×(2×2×2×2×2×2)

=52 ×25 ×54 ×26

= (52 × 54) × (25 × 26) [ஒரே அடிமானத்தைக் கொண்ட  அடுக்கு எண்களைக் குழுக்களாகச் சேர்த்தல்]

= 52+4 × 25+6 = 56 × 211

2. அடுக்கு வடிவ எண்களின் வகுத்தல் (Division of Numbers in Exponential form) 

25 ÷ 22  இன் மதிப்பைக் காண்போம்.

இங்கு 25 மற்றும் 22 இன் அடிமானம் 2 ஆகவும், அதன் அடுக்குகளின் வித்தியாசம் 3 ஆகவும் உள்ளதைக் காணலாம்.

தற்பொழுது, குறை முழுக்களை அடிமானங்களாகக் கொண்டவற்றை கருதுவோம்.

மேலும், (-5)3 ÷ (-5)2 

(−5)3 / (−5)2 = [(−5) × (−5) × (−5)] / [(−5) × (−5)]

= (−5)1 = (−5)3−2

(-5)3 மற்றும் (-5)2 இன் அடிமானம் (-5) ஆகவும், அதன் அடுக்குகளின் வித்தியாசம் 1 ஆகவும் உள்ளதைக் காணலாம்.

ஆகவே, 'a' என்பது பூச்சியமற்ற முழுக்களாகவும், ‘m' மற்றும் ‘n' முழு எண்களாகவும் உள்ளவாறு am மற்றும் an ஐக் கருதுக. (m> n )

am = a × a × a × ... × a (m முறைகள்); an = a × a × a × ... × a  (n முறைகள்) என்க.

இப்போது, am / an  = [ a × a × a... × a  (m முறைகள்) / [ a × a × a... × a (nமுறைகள்)

= a × a × a... × a  (m-n முறைகள்) = am −n

எனவே, am / an  = am −n

இவ்விதி அடுக்குகளின் வகுத்தல் விதி ஆகும்.

குறிப்பு 

a2 × a0 இன் மதிப்பைக் காண இயலுமா? பெருக்கல் விதிப்படி? 

a2 × a0 = a2+0 

a2 × a0 =a2 

a0 = a2/a2=1

[a2 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க] 

எனவே , a0 =1, a ≠ 0.

எடுத்துக்காட்டு 3.8 

அடுக்குகளின் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குக. 

தீர்வு :

சிந்திக்க 

210 இல் பாதி எவ்வளவு? அதன் விடை 25 என்று ரகு கூறுகிறான். அவன் கூற்று சரிதானா? விவாதிக்க.

இவற்றை முயல்க 

பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.

1. 235 ÷ 232 = 233

2. 116 ÷ 113 = 113

3. (−5)3 ÷ (−5)2 = (–5)

4. 73 ÷73 = 1

5. 154 ÷ 15 = 153

3. அடுக்கின் அடுக்கு விதி (Power of Exponential form) 

தற்போது, (22)5 இன் மதிப்பைக் காணலாம்

( 22)5 = 22 × 22 × 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 + 2 +2

= 22+2+2+2+2 (பெருக்கல் விதியின்படி)

= 210 = 22×5 

இதேபோல்,    (33) = 33×33×33×33

= 33+3+3+3 = 312 = 33×4

(56)2 = 56×56 = 56+6 = 512 = 56×2

எனவே, 'a' என்பது ஏதேனும் ஒரு பூச்சியமற்ற முழுக்கள் ஆகவும் ‘m' மற்றும் 'n' என்பன முழு எண்களாகவும் இருக்குபோது,

(am)n = (am × am × am……× am) (n முறைகள்)

= am+m+m+….+m (n முறைகள்)

= am×n

 எனவே, (am)n = am×n 

இவ்விதி அடுக்குகளின் அடுக்கு விதி ஆகும்.

இவற்றை முயல்க 

பின்வரும் அடுக்குகளைச் சுருக்குக. 

1. (32)3 = 36

2. [(−5)3]2 = (–5)6

3. (206)2 = (20)12

4. (103)5 =(10)15

எடுத்துக்காட்டு 3.9

அடுக்கின் அடுக்கு விதிகளைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குக.

(i) ( 83 )4

(ii) (115 )2

(iii) ( 26 )2 × ( 24 )7

தீர்வு

(i)  (83)4 = 83×4 = 812  [ஏனெனில் ( a m )n = am×n ]

(ii) (115 )2 = 115×2 = 1110 [ஏனெனில் ( a m )n = am ×n ]

(iii) (26 )2 × (24)7 = 26×2 × 24×7 [ஏனெனில் ( a m )n = am ×n ]

= 212 × 228

= 212 +28 = 240        [ஏனெனில் (am × an = am+n ]

சிந்திக்க

என்பதனை 2 இன் கோபுர அடுக்கு என்பர். 22 = 2×2 என்று அறிவோம். 22 இன் மதிப்பை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது? விவாதிக்கவும்.

4. ஒரே அடுக்கு மற்றும் வெவ்வேறான அடிமானங்களைக் கொண்ட அடுக்கு எண்கள் (Exponent Numbers with Different Base and Same Power) 

1. ஒரே அடுக்கு மற்றும் வெவ்வேறான அடிமானங்களைக் கொண்ட அடுக்கு எண்களின் பெருக்கலைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, 

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனிக்க.

105 = 10 ×10 ×10 ×10 ×10

= (2×5)×(2×5)×(2×5)×(2×5)×(2×5)

= (2×2×2×2×2)×(5×5×5×5×5)

எனவே, 105 =25 ×55

ஆனால், 10 = 2 × 5 என அறிவோம். எனவே, 105= (2×5)5 = 25 × 55.

இதன் பொதுவடிவம் காண்போம். 'a' மற்றும் ‘b' என்னும் இரு பூச்சியமற்ற முழுக்கள் மற்றும் 'm’ என்பது முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (m> 0),

a m × bm = a × a × a × ... × a (mமுறைகள்) × b × b × b × ... × b (m முறைகள்)

            = (a × b) × (a × b) × (a × b) × ... × (a × b)  (m முறைகள்) = (a × b)m 

எனவே, a m × bm = (a × b)m . 

2. ஒரே அடுக்கு மற்றும் வெவ்வேறு அடிமானங்களைக் கொண்ட அடுக்கு எண்களின் வகுத்தலைப் புரிந்துகொள்வதற்குப் பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனிக்க.

105 = 10 ×10 ×10 ×10 × 10

105 = 205/25.  ஆனால், 10 = (20/2) என்று அறிவோம்.

எனவே, 105 = (20/2)5 = 205 / 25.

ஆகவே, a, b ஆகியன பூச்சியமற்ற முழுக்கள், m ஒரு மிகை முழு எனில், (m > 0)

இவற்றை முயல்க

1. am × bm = (a × b)m . என்ற விதியைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.

(i) 52 ×32 = (5 × 3)2 = 152

(ii) x 3 × y3 = (xy)3

(iii) 74 ×84 = (7 × 8)4 = 564

2. (a/b)m = am / bm  என்ற விதியைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.

(i) 53 ÷23 = 53 / 23 = (5 / 2)3

(ii) (−2)4 ÷ 34 = ( –2)4 / 34 = (– 2 / 3)4

(iii) 86 ÷56 = 86 / 56 = (8 / 5)6

(iv) 63 ÷ (−7)3 = 63 /(–7)3 = (6 / –7)3

எடுத்துக்காட்டு 3.10

அடுக்கு விதிகளைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குக.

(i) 76 × 36

(ii) 43 × 23 × 53

(iii) 725 ÷ 95

(iv) 613 × 4813 ÷ 1213

தீர்வு

(i) 76 ×36 = (7×3)6 =216        [ஏனெனில் , am × bm = (a × b)m ]

(ii) 43 ×23 ×53 =(4×2×5)3 = 403  [விதியானது  3 எண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது]

(iii) 725 ÷ 95 = (72÷9)5 = 85 [ஏனெனில், am / bm = (a / b)m ]

(iv) 613 × 4813 ÷ 1213 = 613 × (4813 ÷ 1213 ) [BIDMAS]

= 613 × (48/12)13  [ஏனெனில், a m / bm = (a / b)m ]

= 613 × 413

= (6 × 4)13           [ஏனெனில், a m × bm = (a × b)m ]

= (24)13

1. 320432 ஐ விரிவுபடுத்தினால், அனைத்து (10) இலக்கங்களும் ஒரு முறை இடம் பெறுகிறது. அதாவது 320432 = 1026753849. 

2.  ஒரே அடுக்கையும் அடுத்தடுத்த இயல் எண்களை அடிமானமாகவும் கொண்ட மிக அழகான சமன்பாடுகள் வருமாறு.

32+42 =52

102 + 112 + 122 = 132 + 142

செயல்பாடு

இணையைக் கண்டுபிடி

வகுப்பை இரு குழுக்களாகப் பிரிக்கவேண்டும். இரு குழுக்களுக்கும் சில அட்டைகள் வழங்கவேண்டும். குழு 1 இல் உள்ள ஒவ்வொருவரும் குழு 2 இல் உள்ள பொருத்தமான இணையுடன் காரணத்தைக் கூறி இணைய வேண்டும்.

வகுப்பறையில் உள்ள அனைத்துக் குழந்தைகளுக்கும் அடுக்குகளின் விதிகள் தெளிவாகும்வரை இந்தச் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தலாம்.