தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள்: ஒரு பரிமாண இயக்கம்

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் சராசரித் திசைவேகம்

எடுத்துக்காட்டு 2.25

துகள் ஒன்று x-அச்சுத் திசையில் நகர்கிறது என்க. அவ்வாறு அது நகரும் போது அதன் x - ஆய அச்சு நேரத்தைப் பொருத்து x = 2 - 5t + 6t2 என்ற சமன்பாட்டின்படி மாறுகிறது எனில் துகளின் ஆரம்பத் திசைவேகம் என்ன?

தீர்வு

ஆரம்பத் திசைவேகத்தில் உள்ள எதிர்க்குறி என்பது, பொருளானது ஆரம்பத்தில் எதிர் x - அச்சு திசையில் திசைவேகத்தைக் கொண்டிருந்தது என்று குறிக்கிறது.

துகள் கடந்த மொத்த பாதையின் நீளத்திற்கும், எடுத்துக் கொண்ட நேரத்திற்கும் உள்ள தகவு சராசரி வேகம் எனப்படும்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் ஒரு பரிமாண மற்றும் இருபரிமாண இயக்கத்தில் சார்புத் திசைவேகம்

எடுத்துக்காட்டு 2.26

A மற்றும் B என்ற இரண்டு கார்கள் இணையான பாதையில் ஒரே திசையில் தரையைப் பொருத்து சீரான திசைவேகத்தில் செல்கின்றன. A மற்றும் B கார்களின் திசைவேகங்கள் முறையே 35 km h-1 மற்றும் 40 km h-1 கிழக்காக செல்கின்றன. A காரினைப் பொருத்து B காரின் சார்புத் திசைவேகம் என்ன?

தீர்வு 

A காரினைப் பொருத்து B காரின் சார்புத் திசைவேகம் 

கிழக்கு திசையில்

இதே போன்று B காரினைப் பொருத்து A காரின் சார்புத் திசைவேகம்

மேற்குத்திசையில் A காரில் உள்ள பயணிக்கு B காரானது கிழக்கு நோக்கி 5 km h-1 என்ற திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும். B காரில் உள்ள பயணிக்கு A காரானது மேற்கு நோக்கி 5 km h-1 என்ற திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.27

A மற்றும் B என்ற இரண்டு ரயில் வண்டிகள் இணையான இரயில் பாதையில் ஒன்றுக் கொன்று எதிர் திசையில் செல்கின்றன. இரயில் வண்டி A இன் திசைவேகம் கிழக்கு நோக்கி 40 km h-1 மற்றும் இரயில் வண்டி B இன் திசைவேகம் மேற்கு நோக்கி 40 km h-1 இரயில் வண்டிகளின் சார்புத் திசைவேகங்களைக் காண்க.

தீர்வு

இரயில் வண்டி B ஐப் பொருத்து, இரயில் வண்டி A இன் சார்புத் திசைவேகம், VAB = 80 km h-1 கிழக்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி B இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில்வண்டி A கிழக்கு நோக்கி 80 km h-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.

இரயில் வண்டி A ஐப் பொருத்து, இரயில் வண்டி B இன் சார்புத் திசைவேகம், VBA = 80 km h-1 மேற்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி A இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில் வண்டி B மேற்கு நோக்கி 80 km h-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.28 

A மற்றும் B என்ற இரண்டு இரயில் வண்டிகள் இணையான இரயில் பாதையில் ஒரே திசையில் கிழக்கு நோக்கி 50 km h-1 என்ற திசைவேகத்தில் செல்கின்றன. இரயில் வண்டிகளின் சார்புத் திசைவேகங்களைக் காண்க. 

தீர்வு 

இவ்வாறே, இரயில் வண்டி B ஐப்பொருத்து, இரயில் வண்டி A இன் சார்புத் திசைவேகம் vAB சுழியாகும்.

எனவே இந்த இரு இரயில் வண்டியும் ஒன்று மற்றொன்றைப் பொருத்து ஓய்வு நிலையில் இருப்பது போன்று தோன்றும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.29 

36 km h-1 வேகத்தில் செல்லும் இரயில் வண்டியின் ஜன்னல் ஓரம் அமர்ந்திருக்கும் சிறுவன், எதிர் திசையில் 18 km h-1 வேகத்தில் செல்லும் 90 m நீளமுள்ள இரயிலை எவ்வளவு நேரத்திற்குப் பார்க்க முடியும்.

தீர்வு:

சிறுவனைப் பொருத்து எதிர்திசையில் செல்லும் இரயில் வண்டியின் சார்புத் திசைவேகம்

= (36 + 18) km h-1 = 54 km h-1

= 54 × 5/18 ms-1 = 15 ms-1

சிறுவன் எதிர் திசையில் செல்லும் இரயில் வண்டியை முழுவதும் பார்ப்பதற்கான நேரத்தினைக் கணக்கிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.30 

ஆற்று நீரோட்டத்தின் திசையில் நீந்தும் நீச்சல் வீரரின் திசைவேகம் 12 km h-1 ஆற்று நீரோட்டத்தின் திசைக்கு எதிர்திசையில் அவரின் நீச்சல் திசைவேகம் 6km h-1 எனில், அமைதி நிலையில் இருக்கும் நீரினைப் பொருத்து நீச்சல் வீரரின் வேகத்தையும் மற்றும் ஆற்று நீரோட்டத்தின் திசைவேகத்தையும் காண்க.

தீர்வு 

தரையைப் பொருத்து நீச்சல் வீரர் மற்றும் ஆற்று நீரோட்டத்தின் திசை வேகங்கள் முறையே VS மற்றும் Vr என்க

இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டும் போது, 

2vs = 12 + 6 = 18 km h-1 (அல்லது)

vs = 9 km h-1 

சமன்பாடு (1) இல் இருந்து

9 + vr = 12 (அல்லது) vr = 3 km h-1 நீச்சல் வீரர் ஆற்று நீரோட்டம் பாய்ந்து கொண்டிருக்கும் அதே திசையில் நீந்தும் போது அவரின் தொகுபயன் திசைவேகம் 12 kmh-1

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 2.31

x- அச்சுத் திசையில் இயங்கும் துகளொன்றின் திசைவேகம் - நேரம் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதிலிருந்து கீழ்க்கண்டவற்றைக் காண்க.

அ) 0 முதல் 55 வினாடி கால இடைவெளியில் துகளின் இயக்கத்தினை விளக்கவும். 

ஆ) 0 முதல் 40 வினாடி கால இடைவெளியில் துகள் கடந்த தொலைவு மற்றும் துகளின் இடப்பெயர்ச்சியைக் கணக்கிடவும். 

இ) t = 5 வினாடி மற்றும் t = 20 வினாடியில் துகளின் முடுக்கத்தினைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு: 

அ) 0 முதல் A வரை: (0 வினாடி முதல் 10 வினாடி வரை) 

t = 0 வினாடியில் துகளின் திசைவேகம் சுழி அதன் பின்பு துகள் நேர்க்குறி திசை வேகத்தைப் பெறும். எனவே துகள் நேர்க்குறி X திசையில் இயங்கும். 0 வினாடியிலிருந்து 10 வினாடி வரை வளைகோட்டின் சாய்வு நேர்க்குறி ஆகும். இது துகளின் நேர்க்குறி முடுக்கத்தினைக் காட்டுகிறது. மேலும் 0 வினாடியிலிருந்து 10 வினாடி வரை துகளின் திசைவேகம் அதிகரிப்பதைக் காணலாம். 

A முதல் B வரை: (10 வினாடியிலிருந்து 15 வினாடி வரை) 

10 வினாடி முதல் 15 வினாடி வரை 60 ms^-1 என்ற மாறாத திசை வேகத்தில் துகள் உள்ளது. இது துகளின் சுழி முடுக்கத்தினைக் காட்டுகிறது. மேலும் துகள் தொடர்ந்து நேர்க்குறி திசையில் இயங்குவதை இது காட்டுகிறது.

B முதல் C வரை: (15 வினாடியிலிருந்து 30 வினாடி வரை) 

15 வினாடியிலிருந்து 30 வினாடி வரை வளைகோட்டின் சாய்வு எதிர்க்குறி ஆகும். இது 15 வினாடியிலிருந்து 30 வினாடி வரை துகளின் திசைவேகம் குறைவதைக் காட்டுகிறது. இருப்பினும் துகள் நேர்க்குறி x அச்சு திசையிலேயே தொடர்ந்து இயங்குகின்றது. 30 வினாடியில் துகளின் திசைவேகம் சுழியாகிறது. துகள் நேர்க்குறி x திசையில் பெரும் தூரத்தைக் கடந்து பின்பு கண நேர ஓய்வினை அடைகிறது. 

C யிலிருந்து D வரை : (30 வினாடியிலிருந்து 40 வினாடி வரை) 

30 வினாடியிலிருந்து 40 வினாடி வரை துகள் எதிர்க்குறி திசைவேகத்தினை அடையும். இது துகள் எதிர்க்குறி x அச்சு திசையில் இயங்கத் தொடங்குவதைக் காட்டுகிறது. திசை வேகத்தின் எண்மதிப்பு 40 ms-1 என்ற பெரும் மதிப்பினை அடைகிறது. 

D யிலிருந்து E வரை (40 வினாடியிலிருந்து 55 வினாடி வரை): 

40 வினாடியிலிருந்து 55 வினாடி வரை திசைவேகம் எதிர்க்குறியில்தான் இருக்கிறது. அது மட்டுமின்றி குறையத் தொடங்குகிறது. t = 55 வினாடியில் துகளின் திசைவேகம் சுழியினை அடைந்து துகள் ஓய்வுநிலைக்கு வரும். 

ஆ) 0 முதல் 40 வினாடி வரை கொடுக்கப்பட்ட வளைகோட்டின் கீழே உள்ள பரப்பு துகளின் இடப்பெயர்ச்சியைக் கொடுக்கும். இங்கு 0 முதல் வரை உள்ள பரப்பு துகள் நேர்க்குறி X திசையில் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியையும், C முதல் D உள்ள பரப்பு துகள் எதிர்க்குறி x திசையில் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியையும் கொடுக்கும்.

0 வினாடி முதல் 10 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி

= 1/2 × 10 × 60 = 300 m

10 வினாடி முதல் 15 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி

= 60 × 5 = 300 m

15 வினாடி முதல் 30 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி

= 1/2 × 1560 = 450m

30 வினாடி முதல் 40 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி

= 1/2 × 10 × (-40) = -200m.

இங்கு எதிர்க்குறியானது, துகள் எதிர்க்குறி x அச்சு திசையில் 200 m சென்றதைக் காட்டுகிறது.

300 m + 300 m + 450 m - 200 m

= +850 m. 

இங்கு நேர்க்குறியானது துகளின் தொகுபயன் இடப்பெயர்ச்சி நேர்க்குறி அச்சின் திசையில் உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

O வினாடியிலிருந்து 40 வினாடி வரை துகள் கடந்த மொத்த தூரம் (பாதையின் நீளம்)

= 300 + 300 + 450 + 200 = 1250 m.

(இ) திசைவேகம் - நேரம் வரைபடத்தின் சாய்வு துகளின் முடுக்கத்தைக் கொடுக்கும். முதல் 10 வினாடிகளுக்கு திசை வேகம் மாறாத சாய்வினைக் கொண்டுள்ளது (மாறாத முடுக்கம்)

மேலும் துகள் 15 வினாடியிலிருந்து 30 வினாடி வரை மாறாத எதிர்க்குறி சாய்வினைக் கொண்டுள்ளது. இந்நிகழ்வில் v2 = 0 மற்றும் v1 = 60ms-1. எனவே t = 20 வினாடியில் முடுக்கமானது எதிர்க்குறி சாய்வானது துகளின் எதிர் முடுக்கத்தைக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.32

துகளின் நிலை வெக்டர் இதிலிருந்து கீழ்க்கண்டவற்றைக் காண்க 

அ) t = 3 வினாடியில் துகளின் திசை வேகம் 

ஆ) t = 3 வினாடியில் துகளின் வேகம் 

இ) t = 3 வினாடியில் துகளின் முடுக்கம்

தீர்வு:

(அ) திசைவேகம்

இங்கு

திசைவேகம் இரண்டு கூறுகளை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. அதாவது Vx = 6t (நேரத்தைச் சார்ந்துள்ளது) மற்றும் Vy = 5 (நேரத்தைச் சாராதது) 

t = 3 வினாடியில் திசைவேகம்

(ஆ) t = 3 வினாடியில் துகளின்வேகம் 

(இ) முடுக்கம்

முடுக்கம் x- கூறினை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. மேலும் இது நேரத்தைச் சாராதது. t = 3 வினாடியிலும் முடுக்கம் மாறாத மதிப்பான ஐ பெற்றிருக்கும் என்பதை கவனிக்க வேண்டும். மேலும் இந்நிகழ்வில் துகள் சீரற்ற திசை வேகத்தையும் சீரான முடுக்கத்தையும் பெற்றுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.33 

பொருளொன்றை செங்குத்தாக கீழ் நோக்கி எறியும் போது அது எவ்வகையான முடுக்கத்தினைப் பெறும்?

தீர்வு: 

நாம் அறிந்தபடி, தடையின்றித் தானே புவியை நோக்கி விழும் பொருள் புவியீர்ப்பு விசையினால் ஒரு முடுக்கத்தைப்பெறும் அது புவியீர்ப்பு முடுக்கமாகும். g = 9.8 ms-2. படத்தில் உள்ளபடி நாம் தகுந்த ஆய அச்சுத் தொகுப்பினை தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

இதிலிருந்து முடுக்கமானது எதிர்க்குறி y திசையில் செயல்படும் என அறியலாம்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் புவியீர்ப்பினால் இயங்கும் பொருளின் இயக்கச் சமன்பாடுகள்: நிகழ்வு (1): h உயரத்திலிருந்து தானே விழும் பொருள்:

எடுத்துக்காட்டு 2.34 

10 m உயரத்திலிருந்து இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் விழுகின்றன. இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு இரண்டும் தரையை அடைய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் எவ்வளவு? 

அ) இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு இரண்டும் தரையை அடையும் போது அவற்றின் திசை வேகங்கள் எவ்வளவு? 

(காற்றுத் தடையைப் புறக்கணிக்கவும் மேலும் g = 10 m s-2 என்க)

தீர்வு: 

இயக்கச் சமன்பாடுகள் நிறையைச் சார்ந்ததல்ல. சமன்பாடு (2.18) இலிருந்து, இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடையும். இதனைப் பின்வருமாறு அறியலாம்.

எனவே, இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடையும் சமன்பாடு (2.19) இலிருந்து இரும்புப் பந்து மற்றும் இறகு தரையை அடையும்போது அவற்றின் திசைவேகங்கள் சமம். இதனைப் பின்வருமாறு அறியலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 2.35

இயக்கச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கிணற்றின் ஆழத்தை அளக்கமுடியுமா?

தண்ணீர் இல்லாத கிணறு ஒன்றைக் கருதுக. அதன் ஆழம் d என்க. ஒரு சிறிய எலுமிச்சம்பழம் மற்றும் நிறுத்து கடிகாரத்தை எடுத்துக்கொள்க. எலுமிச்சம்பழத்தை கிணற்றின் விளிம்பிலிருந்து போடும் போது கடிகாரத்தை இயக்கவும். அது கிணற்றின் தரையை அடையும்போது கடிகாரத்தை நிறுத்தி தரையை அடைய எடுத்துக்கொண்ட நேரத்தைக் கண்டுபிடிக்கவும். அதனை ‘t’ என்க.

எலுமிச்சம்பழத்தின் ஆரம்ப திசைவேகம் u = 0 மேலும் கிணறு முழுவதும் புவியீர்ப்பு முடுக்கம் ‘g’ மாறிலி. எனவே சீரான முடுக்கம் பெற்ற பொருளின் இயக்கச் சமன்பாடுகளை இங்கு பயன்படுத்தலாம்.

u = 0, s = d, a = g (கீழ் நோக்கிய இடப்பெயர்ச்சியை நேர்க்குறி y அச்சு திசையில் கருதுக)

g = 9.8ms-2 எனப் பிரதியிட்டு கிணற்றின் ஆழத்தினைக் கணக்கிடலாம்.

கணக்கீட்டில் ஏற்பட்ட பிழையினைக் கண்டறிய நமக்குக் கிணற்றின் சரியான ஆழம் தெரிய வேண்டும். இதனை ஒரு கயிற்றினைப் பயன்படுத்தி அறியலாம். ஒரு கயிற்றினை எடுத்து அதைக் கிணற்றின் தரையைத் தொடும் அளவுக்கு தொங்கவிட வேண்டும். இப்போது கயிற்றின் நீளம் dcorrect குறிக்கப்படுகிறது.

பிழைக்கான காரணம் என்ன? 

சோதனையை வெவ்வேறு நிறைகளுக்கு மீண்டும் நிகழ்த்தி அதன் முடிவினை dcorrect உடன் ஒவ்வொரு முறையும் ஒப்பிடவும்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் புவியீர்ப்பினால் இயங்கும் பொருளின் இயக்கச் சமன்பாடுகள்: நேர்வு (ii): பொருளொன்றை செங்குத்தாக மேல்நோக்கி எறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 2.36

இரயில் வண்டியொன்று 54 km h-1 என்ற சராசரி வேகத்தில் சென்று கொண்டிருக்கிறது. தடையை செலுத்திய பின்பு அவ்வண்டி 225 m சென்று நிற்கிறது எனில் இரயில் வண்டியின் எதிர் முடுக்கத்தைக் காண்க.

தீர்வு: இரயில் வண்டியின் இறுதித் திசைவேகம் v = 0 இரயில் வண்டியின் ஆரம்பத்திசைவேகம்

எதிர் முடுக்கம் எப்போதும் திசைவேகத்திற்கு எதிராக இருக்கும் எனவே,