கணங்களின் ஆதி எண்ணின் பயன்பாட்டுக் கணக்குகள் (Application Problems on Cardinality of Sets)

கணங்களின் ஆதி எண்ணின் பயன்பாட்டுக் கணக்குகள் (Application Problems on Cardinality of Sets)

கணங்களின் சேர்ப்பு, வெட்டு, நிரப்பு மற்றும் வித்தியாசம் பற்றிக் கற்றுள்ளோம். இப்போது நாம் அன்றாட வாழ்வினையொட்டிய சில கணக்குகளைக் கணங்களின் மூலம் தீர்க்க முயல்வோம்.

முடிவுகள் :

A, B என்பன இரு முடிவுறு கணங்கள் எனில்

(i) n(A∪B) = n(A)+n(B) − n(A∩B) 

(ii) n(A−B) = n(A) − n(A∩B) 

(iii) n(B−A) = n(B) − n(A∩B) 

(iv) n(A') = n(U) − n(A)

குறிப்பு

மேலே உள்ள முடிவுகளில் இருந்து, நாம் பெறுவது, 

• n(A∩B) = n(A)+n(B) − n(A∪B) 

• n(U) = n(A)+n(A') 

• A மற்றும் B என்பன வெட்டாக் கணங்கள் எனில், n(A∪B) = n(A)+n(B).

எடுத்துக்காட்டு 1.27

கொடுக்கப்பட்டுள்ள வென்படத்தில் இருந்து n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) என்பதை சரிபார்க்க 

தீர்வு

தரப்பட்டுள்ள வென்படத்தில் இருந்து,

A = {5, 10, 15, 20}

B = {10, 20, 30, 40, 50,} 

இங்கு A∪B = {5, 10, 15, 20, 30, 40, 50}

A∩B = {10, 20} 

 n(A) = 4, n(B) = 5, n(A∪B) = 7, n(A∩B) = 2

 n(A∪B) = 7        …… (1)

 n(A)+n(B) − n(A∩B) = 4+5−2  

= 7  …….. (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து n(A∪B) = n(A)+n(B) − n(A∩B) எனச் சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.28

 n(A) = 36, n(B) = 10, n(A∪B)=40, மற்றும் n(A')=27 எனில், n(U) மற்றும் n(A∩B) காண்க. 

தீர்வு

n(A) = 36, n(B) =10, n(A∪B)=40, n(A')=27 

(i) n(U) = n(A)+n(A') = 36+27 = 63 

(ii) n(A∩B) = n(A)+n(B) − n(A∪B) = 36+10−40 = 46−40 = 6

செயல்பாடு−4

பொருத்தமான ஆதி எண்களை அட்டவணையில் நிரப்புக 

எடுத்துக்காட்டு 1.29

 A={b, d, e, g, h} மற்றும் B = {a, e,c, h} எனில், n(A−B) = n(A) − n(A∩B) என்பதைச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு 

A = {b, d, e, g, h}, B = {a, e, c, h}

A − B = {b, d, g} 

n(A−B) = 3          ….. (1) 

A∩B = {e, h}

n(A∩B) = 2, n(A) = 5 

n(A) − n(A ∩ B) = 5−2

       = 3               ..... (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து நாம் பெறுவது 

n(A−B) = n(A) − n(A∩B) எனச் சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.30

ஒரு பள்ளியில் எல்லா மாணவர்களும் வளைகோல்பந்தாட்டம் அல்லது மட்டைப் பந்து அல்லது இரண்டும் விளையாடுகிறார்கள். 300 மாணவர்கள் வளைகோல்பந்தாட்டத்தையும் 250 மாணவர்கள் மட்டைப் பந்து விளையாட்டையும், 110 மாணவர்கள் இரண்டையும் விளையாடுகிறார்கள் எனில்

(i) எத்தனை மாணவர்கள் வளைகோல்பந்தாட்டம் மட்டும் விளையாடுகிறார்கள்.

(ii) எத்தனை மாணவர்கள் மட்டைப் பந்து மட்டும் விளையாடுகிறார்கள்.

(iii) பள்ளியில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. 

தீர்வு

வளைகோல்பந்தாட்டம் விளையாடும் மாணவர்களின் கணம் H என்க. மட்டைப் பந்து விளையாடும் மாணவர்களின் கணம் C என்க.

இங்கு n(H)=300, n(C)=250 மற்றும் n(H∩C)=110.

வென்படத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காணல். 

வென்படத்தில் இருந்து, 

(i) வளைகோல்பந்தாட்டம் மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 190 

(ii) மட்டைப் பந்து மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 140

(iii) பள்ளியில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 190 + 110 + 140 = 440 

மாற்று முறை

(i) வளைகோல்பந்தாட்டம் மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 

n(H−C) = n(H) − n(H ∩ C)

= 300 − 110 = 190

(ii) மட்டைப் பந்து மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை

n(C−H) = n(C) − n(H∩C)

= 250 − 110 = 140 

(iii) பள்ளியில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 

n(H ∪ C) = n(H) + n(C) − n(H∩C)

= 300+250 − 110 = 440

எடுத்துக்காட்டு 1.31

ஒரு விருந்தில் 60 பேர் கலந்து கொண்டனர். அதில் 35 பேர் வெண்ணிலா பனிக்கூழ் (vennila ice cream) மற்றும் 30 பேர் சாக்லேட் பனிக்கூழ் (chocolate ice cream) எடுத்துக்கொண்டனர். பங்கேற்றவர்களில் அனைவரும் குறைந்தபட்சம் ஒரு வகைப் பனிக்கூழையாவது எடுத்துக் கொண்டால், 

(i) வெண்ணிலா மற்றும் சாக்லேட் என இரண்டு வகைப் பனிக் கூழையும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள், 

(ii) வெண்ணிலா பனிக்கூழ் மட்டும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள் மற்றும்

(iii) சாக்லேட் பனிக்கூழ் மட்டும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு

V என்பது வெண்ணிலா பனிக்கூழ் எடுத்துக்கொண்டவர்களின் கணம் மற்றும் C என்பது சாக்லேட் பனிக்கூழ் எடுத்துக்கொண்டவர்களின் கணம் என்க.

எனவே, இங்கு n(V) = 35, n(C) = 30, n(V∪C) = 60, 

மேலும் இருவகையையும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள் எண்ணிக்கை x என்க. 

வென்பட முறையில் தீர்வு காணல்

35 – x + x +30 – x = 60

65 − x = 60

 x = 5

 5 பேர்கள் இருவகைப் பனிக்கூழையும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள்

(i) வெண்ணிலா பனிக்கூழ் மட்டும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள் = 35 − x = 35 − 5 = 30 

(ii) சாக்லேட் பனிக்கூழ் மட்டும் எடுத்துக்கொண்டவர்கள் = 30 − x = 30 − 5 = 25 

 n(A∪B = n(A) + n(B) − n(A∩B) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு கணங்களுக்கான கணக்குகளுக்கு தீர்வு காணும் முறையைக் கற்றறிந்தோம். 

இதைப்போலவே மூன்று கணங்கள் கொடுக்கப்பட்டாலும் கீழ்க்காணும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காணலாம்.

A, B மற்றும் C என்பன எவையேனும் மூன்று முடிவுறு கணங்கள் எனில்,  

n(A∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(A∩C) + n(A∩ B∩C)

குறிப்பு

வென்படங்களைக் கொண்டு கணக்குகளைத் தீர்ப்பதில் பின்வரும் முடிவுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதைக் கருதுவோம்.

A, B மற்றும் C என்பன மாணவர்களைக் குறிக்கும் மூன்று கணங்கள் என்க.

 வென்படத்திலிருந்து

கணம் A இல் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = a. 

கணம் B இல் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = b. 

கணம் C இல் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = c. 

• ஒரே ஒரு கணத்தில் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = (a + b + c)

• இரண்டு கணங்களில் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = (x + y + z)
• மூன்று கணங்களில் மட்டும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = r.

• குறைந்தது இரு கணங்களில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை (இரண்டும் அதற்கு மேலும்) = (x + y + z + r ) 

• மூன்று கணங்களிலும் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = (a + b + c +x + y + z +r)

எடுத்துக்காட்டு 1.32 

ஒரு கல்லூரியில் உள்ள மாணவர்களில், 240 மாணவர்கள் மட்டைப்பந்தும் (cricket), 180 மாணவர்கள் கால்பந்தும் (football), 164 மாணவர்கள் வளைகோல் பந்தும் (hockey), 42 பேர் மட்டைப்பந்து மற்றும் கால்பந்தும், 38 பேர் கால்பந்து மற்றும் வளைகோல் பந்தும், 40 பேர் மட்டைப் பந்து மற்றும் வளைகோல் பந்தும், 16 பேர் மூன்று விளையாட்டுகளும் விளையாடுகிறார்கள். ஒவ்வொரு மாணவரும் குறைந்தது ஒரு விளையாட்டிலாவது பங்கேற்கிறார் எனில்,

(i) கல்லூரியில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை. 

(ii) ஒரே ஒரு விளையாட்டு மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க

தீர்வு

C என்பது மட்டைப்பந்து, F என்பது கால்பந்து, H என்பது வளைகோல் பந்து விளையாடும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.

n(C) = 240, n(F) = 180, n(H) = 164, n(C∩F) = 42, n(F∩ H) = 38, n(C∩ H) = 40, n(C∩F∩H) = 16.

பெறப்பட்ட தரவுகளை வென்படத்தில் குறிப்போம். 

(i) கல்லூரியில் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை

= 174+26+116+22+102+24+16 = 480 

(ii) ஒரே ஒரு விளையாட்டு மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை

= 174+116+102 = 392

எடுத்துக்காட்டு 1.33

600 குடும்பங்கள் உள்ள ஒரு குடியிருப்பில் 3/5 பங்கு துள்ளுந்து (scooter), 1/3 பங்கு மகிழுந்து (car), 1/4 பங்கு மிதிவண்டி (bicycle) வைத்துள்ளனர். 120 குடும்பங்கள் துள்ளுந்து மற்றும் மகிழுந்தும், 86 குடும்பங்கள் மகிழுந்து மற்றும் மிதிவண்டியும், 90 குடும்பங்கள் துள்ளுந்து மற்றும் மிதிவண்டியும் 2/15 பங்கு குடும்பங்கள் மூன்று வகை வாகனங்களையும் வைத்திருக்கிறார்கள் எனில்,

 (i) குறைந்தது இரண்டு வகை வாகனங்களை வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை, 

(ii) எந்த ஒரு வாகனமும் வைத்திருக்காத குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க. 

தீர்வு

S என்பது துள்ளுந்து, C என்பது மகிழுந்து மற்றும் B என்பது மிதிவண்டி வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் கணங்கள் என்க.

கொடுக்கப்பட்டது, n(U) = 600; n(S) = (3/5) × 600 = 360

 n(C) = (1/3) × 600 = 200, n(B) =(1/4) × 600 = 150

n(S∩C∩B) = (2/15) × 600 = 80

வென்படத்திலிருந்து, 

(i) குறைந்தது இரண்டு வகை வாகனங்களை வைத்திருக்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை = 40+6+10+80 = 136

(ii) எந்த ஒரு வாகனமும் வைத்திருக்காத குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை

= 600 − (குறைந்தது ஒரு வாகனத்தை வைத்திருக்கும் குடும்பங்கள்) 

= 600 − (230 + 40 +74 + 6 + 54 + 10 + 80) 

= 600 – 494 = 106

எடுத்துக்காட்டு 1.34

100 மாணவர்கள் உள்ள ஒரு குழுவில், 85 மாணவர்கள் தமிழ் பேசுபவர்கள், 40 மாணவர்கள் ஆங்கிலம் பேசுபவர்கள், 20 மாணவர்கள் பிரெஞ்சு பேசுபவர்கள், 32 பேர் தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலமும், 13 பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் பிரெஞ்சும், 10 பேர் தமிழ் மற்றும் பிரெஞ்சும் பேசுபவர்கள். ஒவ்வொரு மாணவரும் குறைந்தது ஒரு மொழியாவது பேசுகிறார் எனில், மூன்று மொழிகளும் பேசும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு

A என்பது தமிழ், B என்பது ஆங்கிலம் மற்றும் C என்பது பிரெஞ்சு மொழி பேசும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க. 

கொடுக்கப்பட்டவை

 n(A∪ B∪C) = 100, n(A) = 85, n(B) = 40, n(C) = 20,

 n(A∩B) = 32, n(B∩C) = 13, n(A∩C) = 10. 

விதியின்படி, 

 n(A∪ B∪C)= n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩ B) – n(B∩C) – n(A∩C) + n(A∩ B∩C)

100 = 85 + 40 + 20 – 32 – 13 – 10 + n(A∩B∩C) 

 n(A∩B∩C) = 100 – 90 = 10 

ஆகவே, 10 மாணவர்கள் மூன்று மொழிகளையும் பேசுபவர்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.35

 A, B மற்றும் C என்ற மூன்று வெவ்வேறு வகையான இதழ்கள் வாங்கும் 200 சந்தாதாரர்களிடம் நடத்தப்பட்ட ஆய்வில், 75 நபர்கள் A என்ற இதழை வாங்குவதில்லை எனவும், 100 நபர்கள் B என்ற இதழை வாங்குவதில்லை எனவும், 50 நபர்கள் C என்ற இதழை வாங்குவதில்லை எனவும், 125 நபர்கள் குறைந்தது இரண்டு இதழ்களாவது வாங்குவதாகவும் கண்டறியப்பட்டது. அதில்,

(i) சரியாக இரண்டு இதழ்களை வாங்கும் சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை, 

(ii) ஒரே ஓர் இதழை மட்டும் வாங்கும் சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க. 

தீர்வு

மொத்தச் சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை = 200

வென்படத்திலிருந்து,

ஒரே ஓர் இதழை மட்டும் வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை = a + b + c 

சரியாக, இரண்டு இதழ்களை வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை = x + y + z 

மற்றும் 125 பேர் குறைந்தது இரண்டு இதழ்களையாவது வாங்குகின்றனர். 

அதாவது, x + y + z + r = 125         ... (1) 

கொடுக்கப்பட்டவை: n(A∪B∪C) = 200 , n(A) = 125, n(B) = 100, n(C) = 150, n(A∩B) = x + r, n(B∩C) = y +r; n(A∩C) = z +r; n(A∩B∩C) = r 

இப்பொழுது,

 n(A∪ B∪ C) = n(A)+ n(B)+ n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(A∩ C)+ n(A∩ B∩ C)

200 = 125 + 100 + 150 − x − r − y − r − z − r + r

= 375 − (x+y+z+r) − r

= 375 – 125 − r    [ ∵ x + y + z + r = 125 ] 

200 = 250 − r 

 r = 50 

(1) இலிருந்து, x + y + z + 50 = 125

x + y + z = 75 

ஆகவே, சரியாக இரண்டு இதழ்களை மட்டும் வாங்கும் சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை = 75. வென்படத்திலிருந்து,

(a + b + c) + (x + y + z + r ) = 200         ... (2) 

(1) −ஐ (2) இல் பிரதியிட,

a + b + c + 125 = 200

a + b + c = 75 

ஆகவே, ஒரே ஓர் இதழை மட்டும் வாங்கும் சந்தாதாரர்களின் எண்ணிக்கை = 75