கணங்களின் வகைகள் (Types of Sets)

கணங்களின் வகைகள் (Types of Sets)

ஆர்வத்தைத் தூண்டும் வகையில் ஒரு கணம் உண்டு. அதுவே வெற்றுத் தொகுப்பு எனப்படும். வெற்றுத் தொகுப்பை ஏன் அறிய வேண்டும்? x² +1 = 0 என்கிற சமன்பாட்டின் மெய் எண்களின் தீர்வு கணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். அதில் உறுப்புகளே இல்லை, அதேபோல் 90 பாகைக்கு மேலுள்ள கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தைக் கருதுவோம். அத்தகைய செவ்வகமே இல்லையாதலால் அது வெற்றுக் கணம் என அழைக்கப்படுகிறது.

அதனால்தான் வெற்றுக்கணம் முக்கியத்துவம் பெறுவதோடு அதற்குரிய ஒரு குறியீட்டையும் தனக்கெனப் பெறுகிறது.

1. வெற்றுக்கணம் அல்லது வெறுமைக்கணம் (Empty Set or Null Set)

எந்த ஓர் உறுப்பும் இல்லாத கணம் வெற்றுக்கணம் அல்லது உறுப்புகள் இன்மைக்கணம் அல்லது வெறுமைக் கணம் எனப்படும்.

இது { } அல்லது ∅ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

(i) A = { x : x என்பது ஓர் ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் இரண்டால் மீதியின்றி வகுபடும் எண்}

 ∴ A = { } or ∅

(ii) எண்கள் 1 மற்றும் 2 −க்கும் இடையேயுள்ள முழுக்களின் கணம்.

சிந்தனைக் களம்: {0} மற்றும் {∅} என்பவை வெற்றுக்கணங்களா?

2. ஓருறுப்புக் கணம் (Singleton Set)

ஓர் உறுப்பு மட்டுமே உடைய கணம், ஓருறுப்புக் கணம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக,,

(i) A = {x: 3 <x<5, x ∈ ℕ}

(ii) இரட்டைப்படைப் பகா எண்களின் கணம்.

3. முடிவுறு கணம் (Finite Set)

முடிவுறு எண்ணிக்கையில் அமைந்த உறுப்புகளைக் கொண்ட கணம் முடிவுறு கணம் எனப்படும்

எடுத்துக்காட்டாக,

1. ஒரு குடும்பத்திலுள்ள உறுப்பினர்களின் கணம்.

2. உள்ளரங்கு / வெளியரங்கு மைதானத்தில் விளையாடும் விளையாட்டுகளின் கணம்.

3. பள்ளியில் கற்கும் கல்விசார் பாடங்களின் கணம்.

4. A = {x : x என்பது 36 இன் காரணி}

குறிப்பு: வெற்றுக்கணத்தில் உறுப்புகள் இல்லை . எனவே ∅ ஒரு முடிவுறு கணமாகும்.

4. முடிவுறாக் கணம் (Infinite Set)

ஒரு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவுறு எண்ணிக்கையில் இல்லை எனில் அக்கணம் முடிவிலாக் கணம் அல்லது முடிவுறாக் கணம் எனப்படும்.

சிந்தனைக் களம்: இயல் எண்களின் கணம் முடிவுறு கணமா?

எடுத்துக்காட்டாக,

(i) {5,10,15,...)

(ii) ஒரு நேர்க்கோட்டில் அமையும் அனைத்துப் புள்ளிகளின் கணம்.

ஒரு கணத்தின் ஆதி எண்: ஒரு கணம் முடிவுறு கணம் எனில், அதில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாகும்.

ஒரு முடிவுறு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அதன் ஆதி எண் எனப்படும்.

A என்ற கணத்தின் ஆதி எண்ணை n(A) எனக் குறிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.3

A = {1,2,3,4,5,7,9,11} எனில் n(A) காண்க.

தீர்வு

A = {1,2,3,4,5,7,9,11} கணம் A இல் 8 உறுப்புகள் இருப்பதால், n(A) = 8.

சிந்தனைக் களம்: A = {1, b, b, {4, 2}, {x, y, z}, d, {d}}, எனில் n(A) = ____

5. சமான கணங்கள் (Equivalent Sets)

A, B என்ற இரு முடிவுறு கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் எனில் அவை சமான கணங்கள் எனப்படும். இது A ≈ B எனக் குறிக்கப்படும்.

A, B என்ற கணங்கள் சமான கணங்கள் எனில்

n(A) = n(B)

எடுத்துக்காட்டாக,

A = { பந்து, மட்டை } மற்றும் B = {வரலாறு, புவியியல்}.

இங்கு n(A) = n(B) = 2. A மற்றும் B சமான கணங்கள்

சிந்தனைக் களம்: A ={ x : x என்பது இந்திய தேசியக் கொடியில் உள்ள ஒரு நிறம்} மற்றும் B={சிவப்பு, நீலம், பச்சை} எனில் இவ்விரு கணங்களும் சமான கணங்களா?

எடுத்துக்காட்டு 1.4

p = { x : − 3 ≤ x ≤ 0, x ∈ ℤ} மற்றும் Q = 210 என்ற எண்ணின் பகாக் காரணிகளின் தொகுப்பு, இவை இரண்டும் சமான கணங்களா?

தீர்வு

P = {−3, −2, −1, 0}, 210 இன் பகாக் காரணிகள் 2,3,5 மற்றும் 7 எனவே, Q = {2, 3, 5, 7}

 n(P) = 4 மற்றும் n(Q) = 4. ஆகையால், கணம் P மற்றும் கணம் Q ஆகியவை சமான கணங்கள்.

6. சம கணங்கள் (Equal Sets)

இரு கணங்கள் ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் அவை சம கணங்கள் எனப்படும். அவ்வாறு இல்லை எனில் சமமற்ற கணங்கள் எனப்படும்.

சிந்தனைக் களம்: ∅, {0}, {∅} என்ற கணங்கள் சம கணங்களா? சமான கணங்களா?

A, B என்ற இரு கணங்கள், சம கணங்கள் எனில்

(i) கணம் A இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும், கணம்

 B இன் ஓர் உறுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.

(ii) கணம் B இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும் கணம் A இன் ஓர் உறுப்பாக இருத்தல் வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

 A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {4, 2, 3, 1}

இங்கு A மற்றும் B சரியாக அதே உறுப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால் A யும் B யும் சம கணங்கள் ஆகும்.

ஒரு கணத்தில் ஒன்றோ அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளோ மீண்டும் மீண்டும் கணத்தில் இடம். பெற்றாலும் அதனால் அக்கணத்தில் எவ்வித மாற்றமும் ஏற்படாது.

குறிப்பு:

• A, B என்பன சம கணங்கள் எனில் A = B

• A, B என்பன சம கணங்கள் இல்லை எனில் A ≠ B

எடுத்துக்காட்டாக,

A={a, b, c} மற்றும் B={a, a, b, b, b, c} எனில், B = { a, b, c, }. கணம் A இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும், கணம் B இல் ஓர் உறுப்பாக இருப்பதாலும் கணம் B இன் ஒவ்வோர் உறுப்பும்  கணம் A இன் ஓர் உறுப்பாக இருப்பதாலும் இவ்விரு கணங்களும் சமமானவை.

குறிப்பு:

சம கணங்கள் அனைத்தும் சமான கணங்கள் ஆகும். ஆனால் சமான கணங்கள் அனைத்தும் சம கணங்கள் ஆகாது. சான்றாக, A = {p,q,r,s,t} மற்றும் B= { 4,5,6,7,8}. என்ற இரண்டு கணங்களில் n(A)=n(B) எனவே, இவ்விரு கணங்களும் சமான கணங்களாகும். ஆனால் சம கணங்கள் ஆகாது.

எடுத்துக்காட்டு 1.5

A = {x : x ∈ ℕ, 4≤x≤ 8} மற்றும்

B = { 4, 5, 6, 7, 8} என்பது சம கணங்களா என ஆராய்க.

தீர்வு

A = {4, 5, 6,7, 8}, B = {4, 5, 6, 7, 8}

A, B என்ற இரு கணங்களும் சமகணங்கள் ஆகும்.

7. அனைத்துக் கணம் (Universal Set)

அனைத்துக் கணம் (Universal Set) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்கத்திற்காக அல்லது காரணத்திற்காக எடுத்துக்கொண்ட அனைத்து உறுப்புகளையும் உள்ளடக்கிய தொகுப்புகளின் கணம் ஆகும். இது ∪ என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

(i) இயல் எண்களின் உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்டது அனைத்துக் கணம்.

U={x : x ∈ ℕ }

(ii) A = {பூமி, செவ்வாய், வியாழன்}, எனில், சூரியக் குடும்பத்திலுள்ள கோள்கள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம் ∪ எனக் கருதலாம்.

சிந்தனைக் களம்

W என்பது ℕ இன் உட்கணமா? அல்லது ℤ இன் உட்கணமா?

8. உட்கணம் (Subset)

A, B என்பன இரு கணங்கள் என்க. கணம் A இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும் கணம் B இல் ஓர் உறுப்பு எனில், A என்பது B இன் ஓர் உட்கணம் ஆகும். இதை A ⊆ B என எழுதலாம்...

A ⊆ B என்பதை "A என்பது B இன் உட்கணம்” எனப் படிக்க வேண்டும்

அதாவது, A ⊆ B எனில் a ∈ A மற்றும் a ∈ B ஆகும்.

மேலும் A என்பது B இன் உட்கணம் அல்ல எனில் A ⊈ B என எழுதுவோம்.

தெளிவாக, A ஆனது B இன் உட்கணம் எனில், n(A) ≤ n(B) என அமையும்.

ஆகவே, A இன் ஒவ்வோர் உறுப்பும் B இன் உறுப்பாக அமையும். கணம் B ஆனது குறைந்தது A பெற்றிருக்கும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பெறும். அதாவது, n(A) ≤ n(B).

மற்றொறு வழியிலும் இதனை ஆராயலாம், n(A) > n(B) எனக் கொண்டால், A ஆனது B ஐ விட அதிகமான உறுப்புகளைப் பெற்றிருக்கும். மேலும், A இல் உள்ள குறைந்தது ஓர் உறுப்பாவது B இல் இல்லாமல் இருக்கும். ஆகவே, A ஆனது B இன் உட்கணமல்ல

எடுத்துக்காட்டாக, (i) {1} ⊂ {1,2,3} (ii) {2,4} ⊈ {1,2,3}

எடுத்துக்காட்டு 1.6

கோடிட்ட இடங்களில் ⊆ அல்லது ⊈ எனத் தகுந்த குறியிட்டு நிரப்புக.

(i) {10, 20, 30} _______ {10, 20, 30, 40}

(ii) {p, q, r} _______ {w, x, y, z}

தீர்வு

(i) {10, 20, 30} ________ {10, 20, 30, 40}

{10, 20, 30} இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும்

{10, 20, 30, 40} இருப்பதால் {10, 20, 30} ⊆ {10, 20, 30, 40}.

(ii) {p, q, r} _______ {w, x, y, z}

{p, q, r} இல் உள்ள p உறுப்பானது

{w, x, y, z} என்ற கணத்தில் உறுப்பாக இல்லையாதலால்,

{p, q, r} ⊈ {w, x, y, z}.

செயல்பாடு−3

உன் நண்பர்களுடன் உனது அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழ்நிலையிலுள்ள உட்கணங்களை விவாதித்து எடுத்துக்காட்டுகள் தருக.

எடுத்துக்காட்டு 1.7

A = {a, b} என்ற கணத்தின் உட்கணங்களை எழுதுக.

தீர்வு

A= {a,b}

A இன் உட்கணங்கள் ∅, {a}, {b}, {a, b}.

குறிப்பு

• A⊆B மற்றும் B⊆A எனில் A=B.

சம கணங்களை இவ்வாறு வரையறுக்க வேண்டும்.

• வெற்றுக்கணம் என்பது ஒவ்வொரு கணத்திற்கும் உட்கணமாக அமையும். A என்பது ஒரு கணம் என்க. வெற்றுக் கணம் A இன் ஓர் உட்கணமாக இல்லை எனக் கொள்ள ஒரே வழி x எனும் ஓர் உறுப்பு வெற்றுக் கணத்தில் இருக்க வேண்டும், அதே வேளையில் A இல் உறுப்பாக இருக்கக்கூடாது. ஆனால், x எவ்வாறு வெற்றுக் கணத்தில் இருக்க இயலும்? அதற்கு வாய்ப்பில்லை. இதற்கான ஒரே சாத்தியக்கூறு வெற்றுக்கணமானது A இன் உட்கணமாக இருக்கவேண்டும். (குழப்பத்தில் ஆழ்ந்தீர்கள் எனில் பொறுமையாக உங்கள் நண்பர்களுக்கு எடுத்துக் கூறவும். இது சரியென ஏற்றுக்கொள்வீர்கள்!)

• ஒவ்வொரு கணத்திற்கும் அந்தக் கணம் ஓர் உட்கணம் ஆகும். (ஏன் என்று முயன்றுபார், விவாதி.)

9. தகு உட்கணம் (Proper Subset)

A மற்றும் B இரு கணங்களாகும். A என்பது B இன் உட்கணம் மற்றும் A≠B எனில் A என்பது B இன் தகு உட்கணம் எனப்படும். இதை A ⊂ B என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக

A={1,2,5} மற்றும் B={1,2,3,4,5} எனில், A என்பது B இன் தகு உட்கணம் ஆகும்.

அதாவது A ⊂ B.

10. வெட்டாக் கணங்கள் (Disjoint Sets)

A மற்றும் B என்ற இரு கணங்களுக்குப் பொதுவான உறுப்புகள் இல்லை எனில் அவை வெட்டாக்கணங்கள் ஆகும். அதாவது, A∩B=∅ எனில், A, B வெட்டாக் கணங்கள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.8

A={20, 22, 23, 24} B={25, 30, 40, 45} என்பவை வெட்டாக்கணங்களா என ஆராய்க .

தீர்வு

A = {20,22, 23, 24} , B={25, 30, 40, 45}

A∩B = {20,22, 23, 24} ∩ {25, 30, 40, 45}

= { }

A∩B = ∅, A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டாக் கணங்கள் ஆகும்.

குறிப்பு:

A∩B ≠ ∅ எனில், A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டும் கணங்கள் (Overlapping) எனப்படும். அதாவது, இரு கணங்களுக்கு இடையே குறைந்தபட்சம் ஒரு பொது உறுப்பாவது இருந்தால் அவை வெட்டும் கணங்கள் ஆகும்.

11. அடுக்குக் கணம் (Power Set)

A என்ற கணத்தின் அனைத்து உட்கணங்களையும் கொண்ட கணம், அக்கணத்தின் அடுக்குக் கணம் எனப்படும். இதனை P(A) எனக் குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக,

(i) A={2, 3} எனில் A இன் அடுக்குக் கணத்தைக் காண்க.

A இன் உட்கணங்கள் ∅ , {2},{3},{2,3}.

∴ A இன் அடுக்குக்கணம்,

P(A) = {∅ ,{2},{3},{2,3}}

(ii) A = {∅ , {∅}}, எனில் A−ன் அடுக்குக் கணம் {∅,{∅ , {∅}}, {∅} , {{∅}} } ஆகும்.

முக்கியப் பண்பு:

 n(A) ≤ n[P(A)] என்பதை முன்னரே அறிந்தோம். ஆனால், P(A) என்பது எவ்வளவு பெரியது? எனவே, கீழ்க்காணும் முடிவுகளுக்கு வர இயலுமா என ஆராய்வோம்?

(i) n(A) = m எனில், n[P(A)] = 2^m

(ii) கணம் A இன் தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை n[P(A)] −1 = 2^m − 1.

சிந்தனைக் களம்

எந்தவொரு கணத்திற்கும் ஒரே ஒரு தகா உட்கணம் மட்டுமே இருக்கும். இக்கூற்றினை ஏதேனும் ஒரு கணத்தை கொண்டு சரிபார்.

எடுத்துக்காட்டு 1.9

X={a, b, c, x, y, z} என்ற கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையையும், தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை X={a, b, c, x, y, z}. எனில், n(X) =6

X இன் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = n[P(X)] = 2⁶ = 64

X இன் தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = n[P(X)] −1 = 2⁶ −1 = 64 − 1 = 63