எண்களின் மதிப்பீடு

எண்களின் மதிப்பீடு

மதிப்பீடு குறித்த சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

i) புதுதில்லியிலுள்ள இராஜ்பத்தில் ஏறத்தாழ 60,000 மக்கள் குடியரசு நாள் விழாவின் அணிவகுப்பைக் கண்டுகளித்தனர்.

ii) இந்தியப் பெருங்கடலில் கடந்த 2004 ஆம் ஆண்டு டிசம்பர் மாதம் 26 ஆம் தேதி ஏற்பட்ட நில நடுக்கம் மற்றும் கடற்கோளினால் (சுனாமியினால்) பல்வேறு நாடுகளைச் சேர்ந்த சுமார் 2,80,000 மக்கள் இறந்துள்ளனர்.

iii) இந்தியா – பாகிஸ்தானுக்கு இடையே நடந்த கிரிக்கெட் போட்டியைத் தொலைக்காட்சியில் உலகம் முழுவதும் தோராயமாக 30 மில்லியன் கிரிக்கெட் விரும்பிகள் பார்த்து மகிழ்ந்தனர். 

இதுபோன்ற செய்திகளை நாம் அவ்வப்போது தொலைக்காட்சிகளிலும் நாளிதழ்களிலும் பார்க்கின்றோம். இவை மிகச் சரியான எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கின்றனவா? இல்லை. இங்கே கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் துல்லியமானவை அல்ல. தோராயமான அல்லது ஓரளவுக்குச் சரியான எண்ணிக்கைக்கு அருகில் உள்ள மதிப்புகளைக் கொடுக்கலாம். இதன் காரணமாகத்தான் நாம் பொதுவாக 'சுமார்', 'அருகில்' மற்றும் 'தோராயம்' போன்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துகிறோம். இந்த எண்கள் சரியான எண்ணிற்கு மிக அருகில் உள்ள தோராய மதிப்பாகும். சுமார் என்ற சொல் மிகச் சரியான மதிப்பைக் குறிப்பிடுவது அல்ல. சிறிது கூடுதலாகவோ குறைவாகவோ குறிப்பிடுவதாகும். இத்தகைய மதிப்பு உத்தேச மதிப்பு எனப்படும்.

முதல் எடுத்துக்காட்டில் கூறியது போல சரியான மதிப்பு 59,853 ஆகவோ அல்லது 61,142 ஆகவோ இருக்கலாம். இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் கூறியது போல சரியான மதிப்பு 2,78,955 ஆகவோ அல்லது 2,80,984 ஆகவோ இருக்கலாம். மூன்றாவது எடுத்துக்காட்டுக்குச் சிந்தித்து சரியான எண்ணிக்கையை ஊகித்து எழுதவும். இவ்வாறாகப் பலவகையான எண்கள் உருவாகும்.

ஆகவே,

● ஓரளவு கணித்துச் சொல்ல உத்தேச மதிப்பு தேவை.

● பொதுவாக உத்தேச மதிப்புகளைப் பெற, நாம் எண்களை அருகில் உள்ள பத்துகள், நூறுகள் அல்லது ஆயிரங்களுக்கு முழுமையாக்குவோம்.

அன்றாட வாழ்க்கையில் தோராய மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தும் சில சூழல்கள்

(அ) தொலைக்காட்சி, குளிர் சாதனப் பெட்டி, அரவை இயந்திரம், ... ஆகியவற்றின் விலையைப் பொதுவாக ஆயிரங்களில் குறிப்பிடுவர்.

(ஆ) மாநிலத்தில் உள்ள ஒரு சட்டசபைத் தொகுதியிலுள்ள வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொதுவாக இலட்சத்தில் குறிப்பிடுவர்.

(இ) மத்திய, மாநில அரசுகளின் ஆண்டு நிதிநிலை அறிக்கை பொதுவாக இலட்சம் கோடியில் வழங்கப்படும்.

இவ்வாறான நிகழ்விற்கு மிகச் சரியான எண்கள் கொடுக்க வேண்டும் என்ற தேவையில்லை. ஓரளவு உத்தேச அளவாக இருந்தால் போதுமானது.

செயல்பாடு

1. ஒரு குடுவையில் (சாடி) புளியங்கொட்டையைப் போன்று சிலவற்றைக் கொண்டு நிரப்புக. ஒவ்வொரு மாணவரும் உத்தேசமாக எவ்வளவு புளியங்கொட்டைகள் இருக்கின்றன எனக் கூற வேண்டும். உண்மையில் நிரப்பப்பட்ட புளியங்கொட்டைகளுக்கும் மாணவர்கள் கூறிய உத்தேச மதிப்புகளுக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டு பட்டியலிடுக. 

2. ஒரு பெரிய குடுவையையும், ஒரு பை நிறைய புளியங்கொட்டைகளையும் எடுத்துக் கொண்டு. 30 புளியங்கொட்டைகளை குடுவையில் போடவும். போட்ட பின் எவ்வளவு கொட்டைகளைப் போட்டால் குடுவை நிரம்பும் என உத்தேசமாகக் கூற வேண்டும். பின்பு கொட்டைகளை எண்ணிக் குடுவையில் போட்டுச் சரியான எண்ணிக்கையைக் காண வேண்டும்.

முழுமையாக்குதல் என்பது நமக்கு ஏற்றவாறு ஓர் உத்தேச அளவை காணும் வழி ஆகும். அது எண்களை அருகிலுள்ள இலக்கங்களைக் கொண்டு, பொருத்தமான எண்ணைத் தரும். முழுமையாக்குதலில் நான்கு வகையான படி நிலைகள் உண்டு.  அவற்றை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.12

8,436 ஐ நூறுகளுக்கு முழுமைப்படுத்துக.

எடுத்துக்காட்டு 1.13

78,794 ஐ ஆயிரங்களுக்கு முழுமைப்படுத்துக.

இவற்றை முயல்க

i) பின்வரும் எண்களை அருகிலுள்ள பத்துகளுக்கு முழுமையாக்குக.

(i) 57

(ii) 189

(iii) 3,956

(iv) 57,312

தீர்வு : 

(i) 57

செய்யவேண்டியது 57 ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்குதல் 

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 5 

5 – இன் வலது பக்க எண் 7 > 5

ஃ 5 உடன் 1ஐக் கூட்ட 5 + 1 = 6

ஃ 6 என்ற எண்ணின் வலதுபக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக மாற்ற நமக்குக் கிடைப்பது 60

(ii) 189

189 –ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க வேண்டும் 

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 8

 8 இன் வலது பக்க எண் 9 > 5

ஃ 8 உடன் 1ஐக்கூட்ட 8 + 1 = 9 

ஃ 19 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக மாற்ற நமக்குக் கிடைப்பது 190

(iii) 3,956 

3956–ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க வேண்டும்

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 5 

ஃ 5 இன் வலது பக்க எண் 6 > 5 

ஃ 5 உடன் 1ஐக் கூட்ட 5 + 1 = 6

ஃ 396 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக மாற்ற நமக்குக் கிடைப்பது 3960

(iv) 57312 

57312 ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க வேண்டும் 

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 1

1 இன் வலது பக்க எண் 2 < 5 (2 ≥ 5)

ஃ 1 என்ற எண்ணை மாற்றத் தேவையில்லை 

ஃ 5731 இன் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக மாற்ற நமக்குக் கிடைப்பது 57310

ii) பின்வரும் எண்களை அருகிலுள்ள பத்துகள், நூறுகள் மற்றும் ஆயிரங்களுக்கு முழுமையாக்குக.

(i) 9,34,678 

(ii) 73,43,489

(iii) 17,98,45,673

தீர்வு : 

(i) 9,34,678 

(அ) 9,34,678 – ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 7

7 இன் வலதுபக்க எண் 8 > 5

ஃ 7 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 7 + 1 = 8

9,34,68 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 9,34,680 

(ஆ) 9,34,678–ஐ நூறுகளுக்கு முழுமையாக்க

நூறாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 6 

6 இன் வலது பக்க எண் 7 > 5

ஃ 6 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 6 + 1 = 7 

9,347 இன் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 9,34,700

(இ) 9,34,678–ஐ ஆயிரங்களுக்கு முழுமையாக்க

ஆயிரமாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 4 

4 இன் வலதுபக்க எண் 6 > 5

ஃ 4 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 4 + 1 = 5

9,35 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 9,35,000 

(ii) 73,43,489

(அ) 73,43,489–ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க 

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 8

8 இன் வலது பக்க எண் 8 > 5

ஃ 8 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 8 + 1 = 9 

73,43,49 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 73,43,490 

(ஆ) 73,43,489–ஐ நூறுகளுக்கு முழுமையாக்க

நூறாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 4 

4 இன் வலது பக்க எண் 8 > 5

ஃ 4 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 4 + 1 = 5

73,435 இன் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 73,43,500

இ) 73,43,489–ஐ ஆயிரங்களுக்கு முழுமையாக்க 

ஆயிரமாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 3

3 இன் வலது பக்க எண் 4 < 5 (4 ≥ 5)

ஃ 3 என்ற எண்ணை மாற்றத் தேவையில்லை 

3 இன் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 73,43,000

(iii) 17,98,45,673 

(அ) 17,98,45,673 –ஐ பத்துகளுக்கு முழுமையாக்க

பத்தாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 7 

7 இன் வலதுபக்க எண் 3 < 5(3≥5)

ஃ 7 என்ற எண்ணை மாற்றத் தேவையில்லை 

17,98,45,67 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 17,98,45,670 

(ஆ) 17,98,45,673 –ஐ நூறுகளுக்கு முழுமையாக்க

நூறாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 6 

6 இன் வலதுபக்க எண் 7 > 5

ஃ 6 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 6 + 1 = 7 

1798457 இன் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 17,98,45,700

 (இ) 17,98,45,673 –ஐ ஆயிரங்களுக்கு முழுமையாக்க

ஆயிரமாவது இடமதிப்பில் உள்ள எண் 5

5 இன் வலது பக்க எண் 6 > 5 

ஃ 5 உடன் 1 ஐக் கூட்ட 5 + 1 = 6

179846 என்ற எண்ணின் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்க நமக்குக் கிடைப்பது 179846000 

iii) உலகத்தில் மிக உயரமான சிகரமாகிய, நேபாளில் உள்ள எவரெஸ்டின் உயரம் 8848 மீட்டர் ஆகும். இதன் உயரமானது அருகிலுள்ள ஆயிரங்களுக்கு __________ என முழுமையாக்கலாம்.

தீர்வு : உலகத்தில் மிக உயரமான சிகரமாகிய நேபாளில் உள்ள எவரெஸ்டின் உயரம் 8848 மீட்டர் ஆகும். இதன் உயரமானது அருகில் உள்ள ஆயிரங்களுக்கு 9000 மீட்டர் என முழுமையாக்கலாம்.

1. கூட்டல் மற்றும் கழித்தலின் உத்தேச மதிப்பு 

எடுத்துக்காட்டு 1.14

ஒரு நகை வியாபாரி தனது வங்கிக் கணக்கில் ஜனவரி மாதம் ₹17,53,740 உம் பிப்ரவரி மாதம் ₹15,34,300 உம் செலுத்துகிறார். அவர் இரு மாதங்களில் செலுத்திய தொகையின் கூடுதலையும் வித்தியாசத்தையும் ஆயிரத்தில் முழுமைப்படுத்தி உத்தேச மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

கீழ்க்கண்டவாறு ஆயிரங்களில் முழுமைப்படுத்த வேண்டும்.

சிந்திக்க: 2,19,440 ஆனது அருகிலுள்ள ஆயிரங்களில் 2,19,000 என முழுமைபடுத்தப்பட்டு உள்ளதா? ஏன்?

தீர்வு : ஆம் நூறின் இட மதிப்பு 4, 5 விட குறைவாக உள்ளதால் இடது பக்க இலக்கங்களை மாற்றத் தேவையில் வலது பக்க இலக்கங்களை பூச்சியமாக்கும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

10100ஐ googol என்று அழைக்கிறோம். (இங்கு, பத்து 100 முறை பெருக்கப்படுகிறது) என்பது googolplex என்று அழைக்கிறோம்.

2. பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலின் உத்தேச மதிப்பு

எடுத்துக்காட்டு 1.15

திருக்குறள் நூலின் ஒரு பிரதியின் விலை ₹188 எனில், 31 திருக்குறள் நூல் பிரதிகளின் உத்தேசத் தொகை எவ்வளவு? (குறிப்பு : 188 ஐ நூற்றுக்கும் மற்றும் 31 ஐ பத்துக்கும் அருகிலுள்ள எண்ணிற்கு முழுமைப்படுத்துக.)

தீர்வு

188 என்ற எண் 200 இக்கு அருகில் உள்ளது. 31 என்ற எண் 30 இக்கு அருகில் உள்ளது. 

ஆகவே,

31 பிரதிகளின் சரியான விலை = 188 × 31 = ₹5828 ஆகவும்,

31 பிரதிகளின் உத்தேச விலை = 200 × 30 = ₹6000 ஆகவும் இருக்கும்.

ஆகவே, 31 திருக்குறள் நூல் பிரதிகளின் உத்தேசத் தொகை ₹6000.

எடுத்துக்காட்டு 1.16

5598 ÷ 689 இன் உத்தேச மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

ஆகவே, 5598  ÷ 689 இன் உத்தேச மதிப்பு 8 ஆகும்.

5598 மற்றும் 689 ஐ நூறுகளுக்கு முழுமைப்படுத்தக் கிடைப்பது 5600 மற்றும் 700 ஆகும்

இவற்றை முயல்க

i) 8457 மற்றும் 4573 கூட்டல் மற்றும் வித்தியாசம் ஆகியவற்றின் உத்தேச மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு : 

8457 ஆனது 9000க்கு அருகில் உள்ளது

4573 ஆனது 5000க்கு அருகில் உள்ளது

(i) கூட்டல்

8000 + 5000 = 13900

(ii) வித்தியாசம் 

8457 ஆனது 8500க்கு அருகில் உள்ளது 

4573 ஆனது 4600க்கு அருகில் உள்ளது

ii) 39 × 53 இன் உத்தேச மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு : 

39 இன் உத்தேச மதிப்பு 40

53 இன் உத்தேச மதிப்பு 50

ஃ 39 × 53 இன் உத்தேச மதிப்பு 40 × 50 = 2000

iii) 6845  ÷ 395 இன் உத்தேச மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு : 

6845 இன் உத்தேச மதிப்பு 6800

395 இன் உத்தேச மதிப்பு 400 

ஆகவே 6845 ÷ 395 இன் உத்தேச மதிப்பு 17 ஆகும்.