முழு எண்கள்

முழு எண்கள்

கணிதம் என்பது எதைப் பற்றியது? கணிதம் எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்லாமல் வடிவங்களைப் பற்றியதும் ஆகும். பொதுவாக, மக்கள் 1,2,3,... என வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் எண்ணுவதை நாம் அறிவோம். எண்ணும் எண்களான {1,2,3,...} என்ற இந்த தொகுப்பை "இயல் எண்கள்" என்கிறோம். இது N (Natural Numbers) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இந்தத் தொகுப்புடன் 0 ஐச் சேர்த்தால், {0, 1, 2, 3, ...} என்ற இந்த தொகுப்பை "முழு எண்கள்" என்கிறோம். இது W (Whole Numbers) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.

1. இயல் எண்கள் மற்றும் முழு எண்கள் மீதான கூற்றுகளை நினைவு கூர்தல்

● மிகச் சிறிய இயல் எண் 1 ஆகும்.

● மிகச் சிறிய முழு எண் 0 ஆகும்.

● ஒவ்வோர் எண்ணிற்கும் தொடரி உண்டு. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிற்கு அடுத்து வரும் எண் அதன் தொடரி ஆகும்.

● ஒவ்வோர் எண்ணிற்கும் முன்னி உண்டு. 'W' இல் எண் '1' இக்கு முன்னி '0' உண்டு. ஆனால், '1' இக்கு 'N' இல் முன்னி இல்லை. '0' இக்கு 'W' இல் முன்னி இல்லை.

● எண்களுக்கு வரிசை உண்டு. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு பெரிய எண்களை ஒப்பிட்டுப் பார்த்து, அவற்றுள் பெரிய எண்ணைக் கண்டறிய முடியும்.

● எண்கள் முடிவற்றவை. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு பெரிய எண்ணுடன் 1 ஐக் கூட்ட அடுத்த எண்ணைப் பெறலாம்.

அன்றாட எண் கணிதத்தில் எண்களின் தர்க்க மற்றும் கணிதச் செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்தச் செயல்பாடுகளைப் பண்புகள் கொண்டு எளிமையாக்க முடியும். சில குறிப்பிட்ட எண்களின் பண்புகளைத் தெரியாமலேயே அவற்றை நாம் முன்பே பயன்படுத்தி இருக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக 8 + 2 + 7ஐக் கூட்டுகின்ற போது 8 மற்றும் 2 ஐ முதலில் கூட்டி 10 ஐப் பெற்று பின்பு அதனுடன் 7 ஐக் கூட்ட கிடைப்பது 17 ஆகும்.

இவற்றை முயல்க

1. 6 + 3 + 8 மற்றும் 3 + 6 + 8 இன் மதிப்பைக் காண்க.

i) அந்த மதிப்புகள் இரண்டும் சமமா?

ii) இந்த மூன்று எண்களையும் மாற்றியமைக்க வேறு ஏதேனும் வழி உண்டா?

தீர்வு : 6 + 3 + 8 = 3 + 6 + 8 = 17 

(i) ஆம், 6 + 3 + 8 = 3 + 6 + 8 = 17, 

இரு மதிப்புகளும் சமம்

(ii) ஆம் வேறு வழிகளில்

3 + 8 + 6 = 8 + 6 + 3 = 8 + 3 + 6 = 6 + 8 + 3 என மாற்றியமைக்கலாம்.

2.  5 × 2 × 6 மற்றும் 2 × 5 × 6 இன் மதிப்புகளைக் காண்க.

i) அந்த மதிப்புகள் இரண்டும் சமமா?

ii) இந்த மூன்று எண்களையும் மாற்றியமைக்க வேறு ஏதேனும் வழி உண்டா?

தீர்வு : 5 × 2 × 6 = 2 × 5 × 6 = 60

(i) ஆம், இரு மதிப்புகளும் சமம் 

(ii) ஆம். இந்த எண்களை

2 ×  6 × 5 = 6 × 5 × 2 = 5 × 6 × 2 = 6 × 2 × 5 என மாற்றியமைக்கலாம்.

3. 7 – 5 உம் 5 – 7 உம் சமமா? ஏன்?

தீர்வு : 

7 – 5 ≠ 5 – 7 (சமமில்லை)

ஏனெனில் கழித்தல் பரிமாற்றும் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

4.  (15 – 8) – 6 இன் மதிப்பு என்ன? அதன் மதிப்பும் 15 – ( 8 – 6   ) இன் மதிப்பும் சமமா? ஏன்?

தீர்வு :

 (15 – 8) – 6 = 7 – 6 = 1

(15 – 8) – 6 = 1 

15 – (8 – 6) = 15 – 2 = 13 

(15 – 8) – 6 ≠ 15 – (8 – 6)

5. 15 ÷ 5 இன் மதிப்பு என்ன? அதுவும் 5 ÷ 15 இன் மதிப்பும் சமமா? ஏன்?

தீர்வு : 

(i) 15 ÷ 5 = 3

(ii) 15 ÷ 5 ≠ 5÷ 15

(iii) ஏனெனில் வகுத்தல் பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

6. (100 ÷ 10) ÷ 5 இன் மதிப்பு என்ன? 100÷(10÷5) இன் மதிப்பும் சமமா? ஏன்?

தீர்வு : 

(i) (100 ÷ 10) ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2

(ii) 100 ÷ (10 ÷ 5) = 100 ÷ 2 = 50 

(iii) 100 ÷ (10 ÷ 5) ≠ (100 ÷ 10) ÷ 5 = 50 ≠ 2 

(iv) ஏனெனில் முழு எண்களில் வகுத்தல் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

மேலும், 100 ÷ (10 ÷ 5) = 100 ÷ 2 = 50 

ஆனால் ( 100 ÷ 10) ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2

50 ≠ 2 

ஆதலால் 100 ÷ (10 ÷ 5) ≠  (100 ÷ 10) ÷ 5