முழு எண்களின் பண்புகள்

முழு எண்களின் பண்புகள்

எண்களின் பண்புகள் என்பன நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கியமான கூற்றுகளாகும். ஏனெனில் எண் கணிதச் செயல்பாடுகளை மிகச் சரியாகவும் பிழையின்றியும் செய்ய இப்பண்புகள் பயன்படுகின்றன.

1. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் பரிமாற்றுப் பண்பு

இரண்டு எண்களைக் கூட்டும் போது (அல்லது பெருக்கும்போது) அவ்வெண்களின் வரிசை அவற்றின் கூடுதலைப் (அல்லது பெருக்கலை) பாதிக்காது. இது கூட்டல் (அல்லது பெருக்கல்) இன் பரிமாற்றுப் பண்பு எனப்படும்.

கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளைக் கூர்ந்து நோக்குக.

43 + 57 = 57 + 43 

12 × 15 = 15 × 12

35,784 + 48,12,69,841 = 48,12,69,841 + 35,784

39,458 × 84,321 = 84,321 × 39,458

இத்தகைய கணிதக் கூற்றுகள் சமன்பாடுகள் எனப்படும். மேற்கண்ட ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் இரு புறங்களிலும் கிடைக்கும் விடைகள் சமமாக உள்ளன. மூன்று மற்றும் நான்காவது சமன்பாடுகளுக்கு விடை காண அதிக நேரம் தேவை. ஆனால் இந்தச் சமன்பாடுகள் எண்களின் பண்புகளைப் பிரதிபலிக்கின்றன. கூட்டலின் பரிமாற்றுப் பண்பின்படி, மூன்றாவது சமன்பாடு சரியானது மற்றும் பெருக்கலின் பரிமாற்றுப் பண்பின்படி நான்காவது சமன்பாடு சரியானது.

பின்வரும் படங்களைக் கொண்டு பெருக்கலின் பரிமாற்றுப் பண்பை எளிமையாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும். படத்தில் (படம் 1.2) ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 4 விண்மீன்களைக் கொண்டு, 5 வரிசைகளில் விண்மீன்களை எடுத்துக்கொண்டால் 20 விண்மீன்களைக் கொண்ட செவ்வகத்தை (5 × 4 = 20) நம்மால் வரைய முடியும். கீழேயுள்ள படம் 1.2 ஐப் பார்க்க. இப்போது அச்செவ்வகத்தைச் (படம் 1.2 (அ)) சுழற்றிப் படம் 1.2 (இ) பெறப்படுகிறது. இப்படமும் அதே செவ்வகம்தான். இதிலும் மொத்தம் 20 விண்மீன்களே உள்ளன. ஆனால் இப்போது ஒவ்வொரு வரிசையும் 5 விண்மீன்களைக் கொண்டு 4 வரிசைகளில் உள்ளன. அதாவது 5 × 4 = 4 × 5.

இப்போது, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டினை நோக்குக.

7 – 3 = 4 ஆனால், 3 – 7 இக்கு அதே விடை கிடைக்காது.

இதே போன்று, 12 ÷ 6 மற்றும் 6 ÷ 12 களின் விடைகளும் சமமல்ல.

அதாவது, 7 – 3  ≠ 3 – 7   மற்றும் 12 ÷ 6 ≠ 6 ÷ 12

எனவே, கழித்தல் மற்றும் வகுத்தலைப் பொருத்து முழு எண்கள் பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

இவற்றை முயல்க

1. குறைந்தது மூன்று சோடி எண்களைப் பயன்படுத்தி, முழு எண்களின் கழித்தலானது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு : 

(அ) 7 மற்றும் 20   

20 –7 ≠ 7 – 20 

(ஆ) 300 மற்றும் 100 

300 – 100 ≠ 100 – 300 

(இ 60 மற்றும் 5

60 – 5 ≠ 5 – 60 

ஃ இவை முழுக்களின் கழித்தலானது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது என அறியலாம்.

2. 10 ÷ 5 உம் 5 ÷ 10 உம் ஒன்றா? மேலும் இரண்டு எண்சோடிகளை எடுத்துக் கொண்டு இச்செயல்பாட்டினை மெய்ப்பிக்கவும்.

தீர்வு : 

10  ÷ 5 ≠ 5 ÷ 10 மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள் (அ) 20 ÷ 10  ≠ 10 ÷ 20 (ஆ) 100 ÷ 50 ≠ 50  ÷ 100

2. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பு

பல எண்களைக் கூட்டும்போது, அவ்வெண்களின் வரிசையைப் பற்றிக் கருத்தில் கொள்ளத் தேவையில்லை. இது கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு எனப்படும். இதே போன்று பல எண்களைப் பெருக்கும்போது அவ்வெண்களின் வரிசையைப் பற்றிக் கருத்தில் கொள்ளத் தேவையில்லை. இது பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பு எனப்படும்.

இந்தச் சேர்ப்புப் பண்பினைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு கண்டுபிடிக்காமலேயே அவை சரியானவை என்று கூற முடியும். சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

(43 +57) + 25 = 43 + (57 +25)

12 × (15 × 7) = (12 × 15) × 7

35,784 + (48,12,69,841 + 3) = (35,784 + 48,12,69,841) + 3

(39,458 × 84,321) × 17 = 39,458 × (84,321 × 17)

இங்கும், முழு எண்களில் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தலானது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

3. கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மீதான பெருக்கலின் பங்கீடு

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தொடர்பான ஆர்வமிக்க ஒரு கூற்றைப் பின்வரும் அமைப்புகளிலிருந்து பெறலாம்.

(72 × 13) + (28 × 13) = (72 + 28) × 13

37 × 102  = (37 × 100) + (37 × 2)

37 × 98 = (37 × 100) – (37 × 2)

கடைசி இரண்டு அமைப்புகளிலிருந்து, பின்வரும் சமன்பாடுகளை நாம் பெற இயலும்.

37 × (100 + 2) = (37 × 100) + (37 × 2)

37 × (100 – 2) = (37 × 100) – (37 × 2)

ஓர் எண்ணை இரண்டு எண்களின் கூடுதலோடு பெருக்கிக் கிடைக்கும் பெருக்குத் தொகையை, இரண்டு பெருக்குத் தொகைகளின் கூடுதலாகக் குறிப்பிட முடியும். இதே போன்று, ஓர் எண்ணை இரண்டு எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசத்தை பெருக்கிக் கிடைக்கும் பெருக்குத் தொகையை இரண்டு பெருக்குத் தொகையின் வித்தியாசமாக குறிப்பிட முடியும். இது கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மீதான பெருக்கலின் பங்கீட்டு பண்பு எனப்படும். தேவைக்கேற்ப எண்களைத் தொகுக்க இப்பண்பு மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளது. 18 × 6 = (10+8) × 6 எனக் கணக்கிடுவதை எளிமையாக படம் 1.3 இல் உள்ளவாறு காணலாம்.

ஆகவே 18 × 6 = (10 + 8) × 6 என்பது மேலேயுள்ள படத்தின் மூலம் தெளிவாகிறது.

மேலும், முழு எண்களில் பெருக்கலின் மீதான கூட்டல் பங்கீட்டு பண்பை நிறைவு செய்யாது. 

எடுத்துக்காட்டாக,

10 + (10 × 5) = 60 மற்றும் (10 + 10) × (10 + 5) = 300 இவை இரண்டும் சமமல்ல.

4. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் சமனி

எந்த ஓர் எண்ணுடனும் பூச்சியத்தைக் கூட்டும்போது நமக்கு அதே எண் கிடைக்கும். அதே போன்று எந்த ஓர் எண்ணையும் 1 ஆல் பெருக்கும்போது நமக்கு அதே எண் கிடைக்கும். ஆகவே, '0' கூட்டல் சமனி எனவும் '1' பெருக்கல் சமனி எனவும் அழைக்கப்படும்.

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் அட்டவணையை நிறைவு செய்க.

இறுதியாகச் சில முக்கிய எளிய கூற்றுகளை நோக்குவோம்

● இரண்டு இயல் எண்களைக் கூட்டும்போது நமக்கு ஓர் இயல் எண் கிடைக்கும். அதே போன்று, இரண்டு இயல் எண்களைப் பெருக்கும்போதும் இயல் எண் கிடைக்கும்.

● இரண்டு முழு எண்களைக் கூட்டும்போது நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைக்கும். அதே போன்று, இரண்டு முழு எண்களைப் பெருக்கும்போதும் முழு எண் கிடைக்கும்.

● ஒரு முழு எண்ணோடு ஓர் இயல் எண்ணைக் கூட்டும்போது நமக்கு ஓர் இயல் எண் கிடைக்கும். ஓர் இயல் எண்ணை ஒரு முழு எண்ணோடு பெருக்கும்போது நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைக்கும்.

குறிப்பு

● எந்தவொரு எண்ணையும் பூச்சியத்தால் பெருக்கப் பூச்சியமே கிடைக்கும்.

இவற்றை முயல்க

அட்டவணையை நிறைவு செய்க.

இத்தகைய பண்புகள் அனைத்தும் ஒன்று சேர்ந்து, எண் முறையினத்தை அளிக்கின்றன. இயற்கணிதம் கற்ற பிறகு, எண் முறையினத்தின் இந்தப் பண்புகளின் பயன்பாடுகளை உணரலாம். மேலும் அவற்றை விரிவாக்கும் வழிமுறைகளையும் கண்டறியலாம்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்ணுருவை எவ்வாறு படிப்பாய்?

 731,687,303,715,884,105,727

இதனை 731 குயின்டில்லியன் (quintillion), 687 குவாட்டிரில்லியன் (quadrillion), 303 டிரில்லியன் (trillion), 715 பில்லியன் (billion), 884 மில்லியன் (million), 105 ஆயிரம் (thousand), 727 ஒன்றுகள் (ones) எனப் படிக்க வேண்டும்.