வட்டங்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள்

வட்டங்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள் (Circles and Tangents)

நமது அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழல்களில் ஒரு தளத்தில் இரண்டு கோடுகள் ஒன்றையொன்று ஒரு புள்ளியில் வெட்டிச் செல்வதையும் அல்லது வெட்டிக்கொள்ளாமல் செல்வதையும் பார்க்கின்றோம் உதாரணமாக, இரயில் பாதையில் இரண்டு இணையான கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளாமல் செல்கின்றன. அதே நேரத்தில் ஜன்னலில் உள்ள கம்பிகள் ஒன்றையொன்ற வெட்டிக்கொள்கின்றன.

இதுபோல் ஒரு தளத்தில் ஒரு வளைவரை மற்றும் ஒரு கோடு கொடுக்கப்பட்டால் என்ன நடக்கிறது? அந்த வளைவரையானது (Curve) பரவளையமாகவோ, வட்டமாகவோ அல்லது ஏதேனும் ஒரு பொதுவான வடிவமாகவோ இருக்கலாம். 

இதேபோல், ஒரு கோடும் ஒரு வட்டமும் வெட்டுவதாகக் கருதும்போது என்ன நடக்கிறது? 

பின்வரும் விளக்கப்படத்தில் மூன்று சூழ்நிலைகளை நாம் பெறலாம். 

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

தொடுகோடு என்பதன் ஆங்கில வார்த்தையான 'tangent” என்பது இலத்தீன் மொழி வார்த்தையான டேன்ஜீர் (tangere) என்பதிலிருந்து பெறப்பட்டது. இதற்கு ‘தொடுதல்’ என்று பொருள். இதனை 1583-இல் டேனிஷ் கணிதவியலாளரான "தாமஸ் ஃபினேகோ" அறிமுகப்படுத்தினார்.

குறிப்பு

படம் 4.52 (iii)-யில் வட்டத்தின் மீது அமைந்திருக்கும் கோட்டுத்துண்டு AB-யானது வட்டத்தின் நாண் ஆகும். இதனால் நாண் என்பது வெட்டுக்கோட்டின் உட்பகுதியாகும்.

வரையறை

ஒரு நேர்கோடானது கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே தொட்டால் அந்த நேர்கோடானது வட்டத்தின் தொடுகோடாகும்.

வட்டத்தின் தொடுகோடுகளுக்கான அன்றாட வாழ்வியல் உதாரணங்கள்

(i) ஒருமிதிவண்டியானது சாலையில் செல்லும்போது சாலையானது

சுழலக்கூடிய சக்கரங்களுக்குத் தொடுகோடாக இருக்கும்.

(ii) ஒரு கம்பியின் ஒரு முனையில் கல்லினைக் கட்டி, மறுமுனையினைக் கையினால் சுழற்றும்போது கல்லானது ஒரு வட்டப்பாதையை ஏற்படுத்தும். திடீரென்று கையிலிருந்து கம்பியினை விடும் பொழுது கல்லானது வட்டத்தின் தொடுகோட்டின் திசையில் செல்வதைக் காணலாம்.

வட்டங்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளுக்கான சில முடிவுகள் 

1. ஒரு வட்டத்தின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வரையப்பட்ட தொடுகோடு, அத்தொடு புள்ளி வழிச் செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக அமையும்.

2. (i) வட்டத்திற்கு உள்ளே உள்ள புள்ளியிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு எந்தத் தொடுகோடும் வரைய முடியாது.

(ii) வட்டத்தின் மேலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு ஒரே ஒரு தொடுகோடு மட்டுமே வரைய முடியும்.

(iii) வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளியிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரைய முடியும்.

3. வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு வரையப்படும் இரண்டு தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.

நிரூபணம்: 1-லிருந்து OA ┴ PA, OB ┴ PB.

மேலும் OA = OB = ஆரம், OP ஆனது பொதுவான பக்கம், ∠AOP = ∠BOP எனவே, ΔOAP ≅ ΔOBP (ப.கோ.ப). ஆகவே PA = PB

4. இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடுமானால், வட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது அவ்வட்டங்களின் ஆரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். அதாவது OP = r1 + r2

நிரூபணம்: 

O மற்றும் P என்ற மையம் கொண்ட இரு வட்டங்கள் Q என்ற புள்ளியில் தொட்டுக்கொள்கின்றன என்க. 

OQ = r1 மற்றும் PQ = r2 மற்றும் r1 > r2 என்க. 

மையங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு OP = d. 

படம் 4.57-லிருந்து இரு வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொட்டுக்கொள்வதால் OP = d = OQ + PQ = r1 + r2.

5. இரு வட்டங்கள் உட்புறமாகத் தொடுமானால் வட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது அவற்றின் ஆரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமமாகும். அதாவது OP = r1 −r2.

நிரூபணம்: O மற்றும் P என்ற மையம் கொண்ட இரு வட்டங்கள் Q என்ற புள்ளியில் தொட்டுக்கொள்கின்றன என்க.

OQ = r1 மற்றும் PQ = r2 மற்றும் r1 > r2 என்க. 

மையங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு OP = d. படம் 4.58-லிருந்து இரு வட்டங்கள் உட்புறமாகத் தொட்டுக்கொள்வதால், OP = d = OQ – PQ

OP = r1 −r2 .

6. வட்டங்களுக்கு வரையப்பட்ட இரண்டு பொதுவான தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமம் ஆகும். அதாவது AB = CD.

நிரூபணம்: 

Pஎன்ற புள்ளியிலிருந்து இரு வட்டங்களுக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும். 

எனவே, PA = PC மற்றும் PB = PD.

PA – PB = PC – PD

AB = CD

சிந்தனைக் களம் 

1. ஒன்றுக்கொன்று இணையாக ஒரு வட்டத்திற்கு இரு தொடுகோடுகள் வரைய முடியுமா? 

2. ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக ஒரு வட்டத்திற்கு இரு தொடுகோடுகள் வரைய முடியுமா?

மாற்று வட்டத்துண்டு

படம் 4.60-யில் PQ என்ற நாண் வட்டத்தினை இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கிறது. P என்ற புள்ளி வழியே வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டு செல்லுமாறு AB என்ற தொடுகோடு வரைக.

∠QPB (∠1) -யின் மாற்று வட்டத் துண்டில் உள்ள கோணம் ∠QSP (∠1) ஆகும். மற்றும் ∠QPA (∠2) -யின் மாற்று வட்டத்துண்டிலுள்ள கோணம் ∠PTQ (∠2) ஆகும்.

தேற்றம் 6: மாற்று வட்டத் துண்டு தேற்றம் (Alternate Segment Theorem) 

கூற்று

வட்டத்தில் தொடுகோட்டின் தொடுபுள்ளி வழியே ஒரு நாண் வரையப்பட்டால், அந்த நாண் தொடுகோட்டுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் முறையே ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக மாற்று வட்டத்துண்டுகளில் அமைந்த கோணங்களுக்குச் சமம். 

நிரூபணம்

கொடுக்கப்பட்டது: O-வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் AB என்ற தொடுகோடு P என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது. மற்றும் PQ என்பது நாண் ஆகும். S மற்றும் T என்பன PQ என்ற நாணிற்கு எதிரெதிர் பக்கங்களில் வட்டத்தின் மேல் உள்ள புள்ளிகள் ஆகும்.

நிரூபிக்க: (i) ∠QPB = ∠PSQ மற்றும் (ii) ∠QPA = ∠PTQ 

அமைப்பு: POR என்ற விட்டம் வரைக. மேலும் QR, QS மற்றும் PS -யை இணைக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.24 

3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் காண்க. 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்டது OP = 5 செ.மீ, ஆரம் r = 3 செ.மீ

தொடுகோட்டின் நீளம் PT ஐ காண

செங்கோண முக்காணம் OTP-யில்

OP2 = OT2 + PT2 (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

52 = 32 + PT 2   ⇒ PT 2 = 25 − 9 = 16

தொடுகோட்டின் நீளம் PT = 4 செ.மீ

எடுத்துக்காட்டு 4.25 

5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தில் PQ ஆனது 8 செ.மீ நீளமுள்ள நாண் ஆகும். P மற்றும் Q -வின் வழியே செல்லும் தொடுகோடுகள் T என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது எனில், TP என்ற தொடுகோட்டின் நீளம் காண்க. 

தீர்வு 

TR = y என்க. OT ஆனது PQ -யின் செங்குத்து இருசம வெட்டி ஆகும்.

PR = QR = 4 செ.மீ

ΔORP-ல், OP2 = OR2 + PR2

OR2 = OP2 − PR2

OR2 = 52 − 42 = 25 −16 = 9 ⇒ OR = 3 செ.மீ

OT = OR+RT = 3+y           ... (1)

ΔPRT-ல், TP2 = TR2 + PR2           … (2)

ΔOPT -ல், OT2 = TP2 +OP2

OT2 = (TR2 + PR2) + OP2  ((2) -லிருந்து, TP2 ஐ பிரதியிட)

(3 + y )2 = y2 + 4 2 + 52 ((1) -லிருந்து, OT -ஐ பிரதியிட)

9 + 6y + y2 = y 2 + 16 + 25 

6y = 41 − 9 எனவே, y = 16/3; (2) -லிருந்து, TP2 = TR2 + PR2

எடுத்துக்காட்டு 4.26 

படம் 4.64-யில், O ஆனது வட்டத்தின் மையம். PQ ஆனது ஒரு நாண் ஆகும். தொடுகோடு PR ஆனது நாண் PQ - வுடன் P -யில் 50° கோணத்தை ஏற்படுத்தினால், ∠POQ காண்க. 

தீர்வு 

∠OPQ = 90° − 50° = 40° (தொடுகோட்டிற்கும், ஆரத்திற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் 90°)

OP = OQ (வட்டத்தின் ஆரங்கள் சமம்)

∠OPQ = ∠OQP = 40° (ΔOPQ ஆனது இரு சமபக்க முக்கோணம்)  

∠POQ = 180° − ∠OPQ − ∠OQP

∠POQ = 180° − 40° − 40° = 100°

எடுத்துக்காட்டு 4.27 

அருகிலுள்ள படம் 4.65-யில், ΔABC ஆனது ஒரு வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டு வட்டத்தைச் சுற்றி அமைந்துள்ளது எனில், BC-யின் நீளத்தைக் காண்க. 

தீர்வு 

AN = AM = 3 செ.மீ (ஒரே வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகள் சமம்)

BN = BL = 4 செ.மீ

CL = CM = AC – AM = 9 – 3 = 6 செ.மீ

BC = BL + CL = 4 + 6 = 10 செ.மீ

எடுத்துக்காட்டு 4.28 

இரண்டு பொது மைய வட்டங்களின் ஆரங்கள் 4 செ.மீ, 5 செ.மீ ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் நாணானது மற்றொரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால் அவ்வட்டத்தின் நாணின் நீளம் காண்க. தீர்வு 

OA = 4 செ.மீ, OB = 5 செ.மீ, மேலும் OA ┴ BC .

OB2 = OA2 + AB2

52 = 42 + AB2 ⇒ AB2 = 9

எனவே, AB = 3 செ.மீ

BC = 2AB எனவே, BC = 2 ×3 = 6 செ.மீ

வரைபடம் வரைதல் (Construction) 

வட்டத்திற்குத் தொடுகோடுகள் வரைதல் (Construction of tangents to a circle)

இப்பொழுது கீழ்க்கண்டவற்றை எப்படி வரைய வேண்டும் என்று விவாதிப்போம். 

(i) மையத்தைப் பயன்படுத்தி வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு வரைதல் (ii) மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு வரைதல்

(iii) வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரு தொடுகோடுகள் வரைதல்

வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு வரைதல் (மையத்தைப் பயன்படுத்தி) (Construction of a tangent to a circle (Using the centre))

எடுத்துக்காட்டு 4.29 

3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக. வட்டத்தின் மேல் P என்ற புள்ளியைக் குறித்து அப்புள்ளி வழியே தொடுகோடு வரைக 

தீர்வு 

ஆரம், r = 3 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 

வரைமுறை 

படி 1 : O -வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக. 

படி 2 : வட்டத்தின் மேல் P என்ற புள்ளியைக் குறித்து OP –ஐ இணைக்கவும். 

படி 3 : P என்ற புள்ளி வழியே OP –க்கு செங்குத்தாக TT' வரைக 

படி 4 : TT' ஆனது தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.

வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு வரைதல் (மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி) (Construct of a tangent to a circle (Using alternate segment theorem)) 

எடுத்துக்காட்டு 4.30 

4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக. வட்டத்தின் மீதுள்ள L என்ற புள்ளி வழியாக மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு வரைக.

தீர்வு 

ஆரம் = 4 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 

வரைமுறை 

படி 1: O-வை மையமாகக் கொண்டு 4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக 

படி 2: வட்டத்தின் மேல் L என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். L வழியே ஏதேனும் ஒரு நாண் LM வரைக. 

படி 3 : L மற்றும் M - ஐ தவிர்த்து வட்டத்தின் மேல் N என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். L,M மற்றும் N என்பன கடிகார முள்ளோட்டத்தின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும். LN மற்றும் NM -ஐ இணைக்கவும்.

படி 4: ∠TLM = ∠MNL என அமையுமாறு L வழியே TT' என்ற தொடுகோடு வரைக. 

படி 5 : TT' என்பது தேவையான தொடுகோடாகும்.

வெளிப்புறப் புள்ளி P-யிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரு தொடுகோடுகள் வரைதல் (Construction of pair of tangents to a circle from an external point P) 

எடுத்துக்காட்டு 4.31 

6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து PA மற்றும் PB என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக.

தீர்வு

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் (r) = 6/2 = 3 செ.மீ

வரைமுறை 

படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக 

படி 2: 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக. 

படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M - ல் சந்திக்கும். 

படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B-யில் சந்திக்கிறது. 

படி 5: AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4  செ.மீ. 

சரிபார்த்தல்: செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA2  = OP2 −OA2  = 82 - 32 = 64 - 9 = 55

PA = √55 = 7 4. செ.மீ (தோராயமாக).