வடிவொத்த முக்கோணங்கள்

வடிவொத்தவை (Similarity)

ஓர் உருவத்தின் ஒவ்வோர் அளவும் மற்றொரு உருவத்தின் அளவுக்கு விகிதச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு உருவங்களும் வடிவொத்தவை ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, 

மேலே உள்ள வீடு, அலைபேசி ஆகிய இரு உருவங்களும் ஒரே மாதிரியாகவும் அளவில் விகிதச் சமமாகவும் இருக்கின்றன. இதிலிருந்து கணித ரீதியாக, இரு உருவங்களும் ஒரே மாதிரியாகவும் அதனுடைய அளவுகள் விகிதசமமாகவும் இருந்தால் அவை வடிவொத்தவை ஆகும். 

படம் 4.2-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வடிவியல் உருவங்களில் வடிவொத்தவைகளை பட்டியலிடுக.

இந்தப் பாடப்பகுதியில் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பயன்பாட்டைப் பற்றி விவாதிக்க உள்ளோம். நம்மால் எளிமையாகக் கணக்கிட இயலாத தொலைவையும், உயரத்தையும் சாதாரண அளவீட்டு கருவிகளை வைத்துக் கண்டறிய இந்தக் கருத்துகள் உதவுகின்றன. வடிவொத்தவை குறித்த கருத்தானது பரவலாகப் பொறியியல், கட்டிடக்கலை மற்றும் கட்டுமானத் துறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 

வடிவொத்தவையின் சில பயன்பாடுகள் 

(i) பொருட்களின் நிழல்களை ஆய்வு செய்து ஏற்படும் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி பொருள்களின் சரியான உயரத்தைக் கண்டறியலாம். 

(ii) வான்வெளியிலிருந்து தரையிலுள்ள ஓர் இடத்தைப் புகைப்படம் எடுக்கும் போது புகைப்படக் கருவிக்கும் அந்த இடத்திற்கும் உள்ள தொலைவைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது. 

(iii) கட்டிடக்கலைத் துறையில் கட்டிடங்களின் வடிவமைப்புகளை உருவாக்குவதற்குப் பயன்படுகிறது.

1. வடிவொத்த முக்கோணங்கள் (Similar triangles)

ஒன்பதாம் வகுப்பில் சர்வசம முக்கோணத்தைப் பற்றி கற்றோம். ஒரே அளவையும் வடிவத்தையும் கொண்ட இரு வடிவியல் உருவங்களைச் சர்வசமம் என அழைக்கலாம். இங்கே, வேறுபட்ட அளவுகள் கொண்ட ஒரே மாதிரியான உருவங்களைப் பற்றி கற்க உள்ளோம். இவற்றை வடிவொத்த உருவங்கள் என்கிறோம்.

சர்வசம மற்றும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள்

சர்வசமமானது, வடிவொத்தவையின் ஒரு பகுதியாகும். இவ்விரண்டிலும் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் மற்ற முக்கோணத்தின் மூன்று ஒத்த கோணங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும். ஆனால் சர்வசம முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும். வடிவொத்த முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமமாக இருக்கும்.

குறிப்பு 

முக்கோணம் ABC மற்றும் PQR இரண்டும் வடிவொத்தவை. இதை ΔABC ~ ΔPQR என எழுதலாம்

சிந்தனைக் களம் 

1. சதுரமும், சாய்சதுரமும் சர்வசம உருவங்களா அல்லது வடிவொத்த உருவங்களா என்பதை விவாதிக்கவும். 

2. செவ்வகமும், இணைகரமும் வடிவொத்த உருவங்களா என்பதை விவாதிக்கவும். 

2. வடிவொத்த முக்கோணங்களுக்கான விதிமுறைகள் (Criteria of Similarity)

பின்வரும் அடிப்படை விதிமுறைகள் முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை என்பதை நிரூபிக்கப் போதுமானவை.

வடிவொத்தவைக்கான AA விதிமுறை (Criterion of similarity)

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமமானால், அவ்விரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவை ஆகும். ஏனெனில் இரு முக்கோணங்களிலும் மூன்றாவது கோணம் சமமாக இருக்கும். எனவே வடிவொத்தவைக்கான AA-விதிமுறையானது வடிவொத்தவைக்கான A A A-விதிமுறை போலவே உள்ளது.

∠A = ∠P = 1 மற்றும் ∠B = ∠Q = 2 எனில், ΔABC ~ ΔPQR.

வடிவொத்தவைக்கான SAS விதிமுறை (SAS Criterion of similarity)

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாகவும், அவை உள்ளிட்ட பக்கங்களும் விகிதசமமாக இருந்தால், அவ்விரண்டு முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவை ஆகும். 

எனவே ∠A = ∠P = 1 மற்றும்

AB/PQ = AC/PR எனில், ΔABC ~ ΔPQR.

வடிவொத்தவைக்கான SSS விதிமுறை (SSS Criterion of similarity)

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு விகிதசமம் எனில், அவ்விரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவை ஆகும். 

எனவே, AB /PQ = AC /PR = BC /QR எனில், ΔABC ~ ΔPQR

சிந்தனைக் களம் 

இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவையாக இருக்குமா? ஏன்?

வடிவொத்த முக்கோணங்களுக்கான சில பயனுள்ள முடிவுகள் 

1. செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்து கோட்டினால் பிரிக்கப்படும் இரு சிறிய முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவையாக இருக்கும். மேலும் அச்சிறிய முக்கோணங்கள் கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்கும் வடிவொத்தவையாகவே இருக்கும்.

ΔADB ~ ΔBDC, ΔABC ~ ΔADB, ΔABC ~ ΔBDC 

2. இரு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை எனில், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த குத்துயரங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

எனவே, ΔABC ~ ΔPQR எனில்,

AB/PQ = BC/QR = CA/RP = AD/PS = BE/QT = CF/RU

3. இரு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை எனில், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

ΔABC ~ ΔDEF எனில்,

AB/DE = BC/EF = CA/FD = [AB + BC +CA] / [DE + EF + FD]

4. இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

5. இரு முக்கோணங்கள் பொதுவான முனையையும் அவற்றின் அடிப்பக்கங்கள் ஒரே நேர்க்கோட்டிலும் இருந்தால், அம்முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதம் அவற்றின் அடிப்பக்க நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகும். 

ΔABD -யின் பரப்பளவு / ΔBDC -யின் பரப்பளவு = AD/DC

வரையறை 1 

இரு முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமமாக இருந்தால் அம்முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை. 

வரையறை 2 

இரு முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள் சமம் எனில், அவை

சமகோண முக்கோணங்கள் ஆகும். 

விளக்கம்: 

(i) இரண்டு முக்கோணங்களான, ΔXYZ மற்றும் ΔLMN - யின் ஒத்த கோணங்கள் சமம் என்பதால் இவை வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகும்.

(i) ∠X = ∠L, ∠Y = ∠M, ∠Z = ∠N (கோணத்தைப் பொறுத்து)

(ii) XY/LM = YZ/MN = XZ/LN (பக்கத்தைப் பொறுத்து)

இங்கு X, Y, Z -ன் ஒத்த முனைகள் L, M, N ஆகும். குறியீட்டில் ΔXYZ ~ ΔLMN எனக் கூறலாம்.

குறிப்பு 

(i) ஒரு ஜோடி சமகோண முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை ஆகும்.

(ii) இரு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை எனில் அவை சமகோண முக்கோணங்கள் ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 4.1 

ΔPST ~ ΔPQR  எனக் காட்டுக.

தீர்வு

(i) ΔPST மற்றும் ΔPQR - யில்,

இதிலிருந்து, மற்றும் ∠P ஆனது பொதுக் கோணம். 

எனவே, SAS விதிமுறைப்படி, ΔPST ~ ΔPQR

(ii) ΔPST மற்றும் ΔPQR -யில்,

இதிலிருந்து, மற்றும் ∠P ஆனது பொதுக் கோணம்.

எனவே, SAS விதிமுறைப்படி,

ΔPST ~ ΔPQR

எடுத்துக்காட்டு 4.2 

ΔABC ~ ΔPQR ஆக இருக்குமா? 

தீர்வு 

ΔABC மற்றும் ΔPQR – யில்,

ஒத்த பக்கங்கள் விகிதச் சமமாக இல்லை.

எனவே, ΔABC ஆனது ΔPQR -க்கு வடிவொத்ததாக அமையாது

குறிப்பு  

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு நீளங்களில் ஒன்றை மாற்றியமைத்து வடிவொத்த முக்கோணங்களை உருவாக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.3 

படம் 4.18-லிருந்து ∠P -ஐ காண்க. 

தீர்வு 

ΔBAC மற்றும் ΔPRQ -ல், AB/RQ = 3/6 = 1/2; 

எனவே, AB/RQ = BC/QP = CA/PR

SSS விதிமுறைப்படி நாம் பெறுவது, Δ BAC ~ ΔQRP 

∠P = ∠C (வடிவொத்த முக்கோணத்தின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்)

∠P = ∠C = 180°− (∠A + ∠B) = 180° − (90° + 60°)

∠P = 180° − 150° = 30° 

எடுத்துக்காட்டு 4.4 

90 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2 மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான். தரையிலிருந்து விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 3.6 மீ எனில், 4 வினாடிகள் கழித்துச் சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க.

தீர்வு 

வேகம் = 1.2 மீ/வினாடி, என்பது கொடுக்கப்பட்டது.

நேரம் = 4 வினாடி, 

தொலைவு = வேகம் × நேரம் = 1.2 × 4 = 4.8 மீ

4 வினாடிகளுக்குப் பிறகு சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் x என்க.

Δ ABE ~ ΔCDE, ஆகையால், (90 செ.மீ = 0.9 மீ) 

4.8 + x = 4x ⇒ 3x = 4.8 ஆகவே, x =1.6 மீ

சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் DE = 1.6 மீ

எடுத்துக்காட்டு 4.5 

படம் 4.20-யில் ∠A = ∠CED எனில், ΔCAB ~ ΔCED. என நிரூபிக்கவும். மேலும் x-யின் மதிப்பு காண்க. 

தீர்வு 

ΔCAB மற்றும் ΔCED, ∠C பொதுவானது, ∠A = ∠CED

எனவே, ΔCAB ~ ΔCED (AA விதிமுறைப்படி)

எடுத்துக்காட்டு 4.6 

படம் 4.21-யில், QA மற்றும் PB ஆனது AB -க்கு செங்குத்தாகும். 

AO = 10 செ.மீ, BO = 6 செ.மீ மற்றும் PB = 9 செ.மீ. AQ -ஐக் காண்க.

தீர்வு 

ΔAOQ மற்றும் ΔBOP -ல், ∠OAQ = ∠OBP = 90°

∠AOQ = ∠BOP  (குத்தெதிர் கோணங்கள்) 

எனவே, வடிவொத்தமைக்கான, A A விதிமுறைப்படி, ΔAOQ ~ ΔBOP

எடுத்துக்காட்டு 4.7 

வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில், AB -ஐக் காண்க. 

தீர்வு 

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

ΔABC ~ ΔPQR ஆகையினால்,

எடுத்துக்காட்டு 4.8 

ΔABC ஆனது ΔDEF -க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் முக்கோணம் A B C-யின் பரப்பு = 54 செ.மீ2 எனில், ΔDEF- யின் பரப்பைக் காண்க. 

தீர்வு 

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களுடைய பரப்புகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களுடைய வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம் என்பதால்

எடுத்துக்காட்டு 4.9 

p மீட்டர் இடைவெளியில் a மீட்டர் மற்றும் b மீட்டர் உயரமுள்ள இரண்டு தூண்கள் உள்ளன. தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது ab / a+b மீட்டர் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு 

p மீட்டர் இடைவெளியில் உள்ள AB மற்றும் CD என்ற இரு தூண்களின் உயரங்கள் முறையே 'a' மீட்டர், 'b' மீட்டர் என்க. அதாவது, AC = p மீட்டர். AD மற்றும் BC-யானது O-வில் சந்திக்கிறது எனில், OL= h மீட்டர்.

CL = x மற்றும் LA = y என்க.

எனவே, x + y = p

ΔABC மற்றும் ΔLOC -லிருந்து,

∠CAB = ∠CLO [ஒவ்வொன்றும் 90° -க்கு சமம்]

∠C = ∠C [C -பொதுவானது]

ΔCAB ~ ΔCLO [AA விதிமுறைப்படி]

ΔALO மற்றும் ΔACD ⇒ ∠ALO = ∠ACD [ஒவ்வொன்றும் 90° -க்கு சமம்]

∠A = ∠A [A -பொதுவானது]

Δ ALO ~ ΔACD [AA விதிமுறைப்படி]

எனவே, h = ab / a+b

எனவே, இரு தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரே உள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது ab / a+b மீட்டர் ஆகும்.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. எல்லா வட்டங்களும் _______________ (சர்வசமம்/ வடிவொத்தவை) 

2. எல்லாச் சதுரங்களும் _______________ (வடிவொத்தவை / சர்வசமம்) 

3. இரு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை எனில் அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் __________ மற்றும் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்கள் _______________

4. (அ) எல்லா வடிவொத்த முக்கோணங்களும் சர்வசமமாகும்- சரி/ தவறு. 

(ஆ) எல்லாச் சர்வசம முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவையாகும் - சரி /தவறு.

5. வடிவொத்தவை இல்லாத உருவங்களுக்கு இரு வேறு எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கவும்.

செயல்பாடு 1 

√2 நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத் துண்டினை வரைய முயற்சிப்போம். அதற்குக் கீழ்க்கண்ட படிகளைக் கருத்தில் கொள்க. 

படி 1: 3 அலகு நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டினை எடுத்துக்கொள்க. அதற்கு A B என்று பெயரிடுக. 

படி 2: AB -யில் C என்ற புள்ளியை AC = 2, CB = 1 என எடுத்துக்கொள்க.

படி 3: படத்தில் காட்டியுள்ளபடி AB-ஐ விட்டமாக உடைய ஓர் அரைவட்டம் வரைக. 

படி 4: அரைவட்டத்தின் மேல் AB-க்கு செங்குத்தாக CP இருக்குமாறு P என்ற புள்ளியை எடுத்துக்கொள்க. 

படி 5: P-யிலிருந்து A மற்றும் B -ஐ இணைக்க. இப்பொழுது ACP மற்றும் BCP என்ற இரு செங்கோண முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம். 

படி 6: முக்கோணங்கள் ACP மற்றும் BCP ஆனது வடிவொத்தவையாக இருக்கிறதா எனச் சரிபார்க்கவும். 

படி 7: CP = h என்பது பொதுவான செங்குத்துயரம் என்க. வடிவொத்தவையை பயன்படுத்தி h - யின் மதிப்பைக் காண்க. 

படி 8: h. -ஐ கண்டுபிடிப்பதின் மூலம் நீ என்ன தெரிந்துகொண்டாய்? இதே செயல்முறைகளின்படி, √3, √5, √8 நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டினை உருவாக்க முடியுமா?

3. வடிவொத்த முக்கோணங்களை வரைதல் (Construction of similar triangles)

வடிவொத்த முக்கோணங்களைப் பற்றிய கருத்துக்களையும் அவற்றின் பண்புகளையும் இதுவரை விவாதித்தோம். இப்பொழுது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்குக் குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் அமையும் வடிவொத்த மற்றொரு முக்கோணத்தை வரையும் முறையினைப் பற்றி காண்போம்.

இந்த வரைதல் முறையில் இரு வகை உள்ளன. அதில் ஒன்று, ஒத்த பக்கங்களின் தகவு 1-ஐ விடக் குறைவாகவும், மற்றொன்று ஒத்த பக்கங்களின் தகவு 1-ஐ விட அதிகமாகவும் உள்ள இரண்டு வாய்ப்புகளைக் கருதுவோம். ஒத்த பக்கங்களின் தகவை அளவு காரணி (scale factor) என அழைக்கலாம். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒத்த பக்கத்தின் தகவானது மேற்கூறிய இரு வாய்ப்புகளில் இருக்குமாறு, ஒரு வடிவொத்த முக்கோணத்தை வரையும் முறையைக் காண்போம்

எடுத்துக்காட்டு 4.10 

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR -க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 3/5 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 3/5 < 1) 

தீர்வு 

PQR ஆனது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஆகும். PQR என்ற முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு 3/5 அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களின் மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம். 

வரைதலின் படிகள் 

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக. 

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப் புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக. 

3. QX-யின் மீது (Q1, Q2, Q3, Q4 மற்றும் Q5 என்ற 5 புள்ளிகளை (3/5 - யில் 3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் பெரியது 5 என்பதால்) 

QQ1 = Q1Q2   = Q2Q3 = Q3Q4   = Q4Q5 என்றவாறு குறிக்கவும்.

4. Q5 R-ஐ இணைத்து Q3 -யிலிருந்து (3-வது புள்ளி, அதாவது 3/5 -யில் 

3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் சிறியது) Q5R-க்கு இணையாக ஒரு கோடு

வரைக. இது QR -ஐ R′ -யில் சந்திக்கிறது. 

5. R′ -லிருந்து RP-க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP-ஐ P′-யில் சந்திக்கிறது. ΔP′QR′ -யின் பக்கங்கள் ΔPQR -ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 5-ல் 3 பங்கு ஆகும். ΔP′QR′ ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.11 

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR -க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/4 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/4 > 1)

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட Δ PQR -ன் பக்கங்களைப் போல் 7/4 பங்கு அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களைக் கொண்ட மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.

வரைதலின் படிகள் 

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக. 

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப் புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக. 

3. QX -ன் மீது Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 மற்றும் Q7 என்ற 7 புள்ளிகளை (7/4 -யில், 7 மற்றும் 4 ஆகியவற்றில் பெரியது) QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃  = Q₃Q₄  = Q₄Q₅  = Q₅Q₆  = Q₆Q₇ என்றவாறு குறிக்கவும்.

4. Q4 ஐ (4-வது புள்ளி, அதாவது 7/4-யில் 4 மற்றும் 7 ஆகியவற்றில் சிறியது) புள்ளி R - வுடன் இணைக்க. Q4R -க்கு இணையாக Q7 -லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R′-ல் சந்திக்கிறது.

5. R′-லிருந்து RP-க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP-ஐ P′-யில் சந்திக்கிறது. ΔP′QR′ -யின் பக்கங்கள் ΔPQR - யின் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 4-யில் 7 பங்கு ஆகும். ΔP′QR′ ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.