முக்கோணங்கள் வரைதல்

முக்கோணங்கள் வரைதல் (Construction of triangle)

முந்தைய வகுப்பில் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்கள் கொடுக்கப்பட்டால் முக்கோணங்கள் எவ்வாறு வரைவது எனக் கற்றுள்ளோம். இப்பகுதியில்

(i) அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் அடிப்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் நடுக்கோடு 

(ii) அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் அடிப்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடு 

(iii) அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் உச்சிக் கோணத்தின் இருசமவெட்டி அடிப்பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி 

ஆகியன கொடுக்கப்பட்டால் எவ்வாறு முக்கோணம் வரைவது எனக் காண்போம். கீழ்க்கண்ட வரைதலை முதலில் காண்போம்.

கோணம் θ-வை உள்ளடக்கிய கொடுக்கப்பட்ட கோட்டுத் துண்டின் மேல் அமைந்த வட்டப்பகுதியை வரைதல்

வரைமுறை

படி 1: என்ற கோட்டுத் துண்டு வரைக.

படி 2: புள்ளி A-யில் ∠BAE = θ என அமையுமாறு AE வரைக.

படி 3: AF ┴ AE வரைக.

படி 4: AB-க்கு வரையப்படும் மையக் குத்துக்கோடானது AF-யை O-யில் சந்திக்கிறது.

படி 5: O-வை மையமாகவும், OA-வை ஆரமாகவும், கொண்டு, ஒரு வட்டம் வரைக.

படி 6: வட்டத்தின்மேல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி C ஆகும். மாற்று வட்டத் துண்டு தேற்றத்தின்படி பெரிய வில் ACB ஆனது கோணம் θ - வை உள்ளடக்கிய தேவையான வட்டப்பகுதி ஆகும்.

குறிப்பு

C1, C2,... என்பன வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் எனில், ΔBAC1 , ΔBAC2,...  ஆகியவை ஒரே அடிப்பக்கமும், ஒரே உச்சிக் கோணமும் கொண்ட முக்கோணங்களாகும்.

அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் அடிப்பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோடு தரப்பட்டால் முக்கோணம் வரைதல்.

எடுத்துக்காட்டு 4.17 

PQ = 8 செ.மீ, ∠R = 60° உச்சி R-லிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG = 5.8 செ.மீ. என இருக்குமாறு ΔPQR வரைக. R-லிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக் கோட்டின் நீளம் காண்க.

தீர்வு

வரைமுறை

படி 1: PQ = 8செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக. 

படி 2: புள்ளி P வழியே ∠QPE = 60° என இருக்கும்படி PE வரைக. 

படி: 3 புள்ளி P வழியே ∠EPF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைக.

படி 4: PQ-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடு PF-ஐ O-விலும், PQ-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது. 

படி 5: O-வை மையமாகவும், OP-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. 

படி 6: G-யிலிருந்து 5.8 செ.மீ ஆரமுள்ள வில்களை வட்டத்தில் வெட்டுமாறு வரைக. அவை வெட்டும் புள்ளிகளை R மற்றும் S எனக் குறிக்கவும்.

படி 7: PR மற்றும் RQ -ஐ இணைக்கவும். ΔPQR தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

படி 8: R-லிருந்து LQ-க்கு செங்குத்துக்கோடு RN வரைக. RN ஆனது LQ - வை M-யில் சந்திக்கிறது.

படி 9: குத்துக்கோடு RM-யின் நீளம் 3.8 செ.மீ.

குறிப்பு

கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளுக்கு ΔPQS என்பது தேவையான மற்றொரு முக்கோணம் ஆகும்.

அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் அடிப்பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோடு தரப்பட்டால் முக்கோணம் வரைதல். 

எடுத்துக்காட்டு 4.18 

QR = 5 செ.மீ, ∠P = 30° மற்றும் P-யிலிருந்து QR-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட ΔPQR வரைக.

தீர்வு

வரைமுறை

படி 1: QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக. 

படி 2: புள்ளி Q வழியே ∠RQE = 30° என இருக்கும்படி QE வரைக.

படி 3: புள்ளி Q வழியே ∠EQF = 90° என இருக்கும்படி QF வரைக.

படி 4: QR-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடு XY-யானது QF-ஐ O-விலும், QR-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது. 

படி 5: O-வை மையமாகவும், OQ - வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. 

படி 6: G-யிலிருந்து மையக்குத்துக் கோடு XY-ல் M வழியே GM = 4.2 செ.மீ இருக்கும்படி ஒரு வில் வரைக.

படி 7: QR-க்கு இணையாக M வழியே AB என்ற கோடு வரைக. 

படி 8: AB-யானது வட்டத்தை P மற்றும் S -யில் சந்திக்கிறது

படி 9: QP மற்றும் RP -யை இணைக்கவும். ΔPQR ஆனது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

குறிப்பு

கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளுக்கு ΔSQR என்பது தேவையான மற்றொரு முக்கோணம் ஆகும்.

அடிப்பக்கம், உச்சிக்கோணம் மற்றும் உச்சிக்கோணத்தின் இருசமவெட்டி அடிப்பக்கத்தைத் தொடும் புள்ளி தரப்பட்டால் முக்கோணம் வரைதல். 

எடுத்துக்காட்டு 4.19 

அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60° மற்றும் ∠A-யின் இருசமவெட்டியானது BC-ஐ D என்ற புள்ளியில் BD = 6 செ.மீ என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில், முக்கோணம் ABC வரைக. 

தீர்வு

வரைமுறை 

படி 1: BC = 8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக. 

படி 2: புள்ளி B வழியே ∠CBE = 60° என இருக்கும்படி BE வரைக.

படி 3: புள்ளி B வழியே ∠EBF = 90° என இருக்கும்படி BF வரைக. 

படி 4: BC-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடானது BF-ஐ O-விலும், BC-யை G-யிலும் சந்திக்கிறது. 

படி 5: O - வை மையமாகவும், OB-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. 

படி 6: புள்ளி B -யிலிருந்து BC-யில் 6 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைக. 

படி 7: மையக்குத்துக்கோடானது வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID-யை இணைக்கவும். 

படி 8: ID-யை வட்டத்தில் A-யில் சந்திக்குமாறு நீட்டவும். AB மற்றும் AC-யை இணைக்கவும். ΔABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.