பிபனோசி எண்கள்

பிபனோசி எண்கள்

இயற்கையின் அழகான வடிவங்கள் மற்றும் மனிதனால் உருவாக்கப்பட்ட பொருள்கள் அனைத்தும் எவ்வாறு கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பது குறித்து முந்தைய வகுப்புகளில் கற்றுக் கொண்டோம். இவ்வகுப்பில், நம்மைச் சுற்றியுள்ள பொருள்களில், உடல் மற்றும் உயிரியல் அமைப்புகளில் கணிதம் எவ்வாறு அழகாகத் தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பற்றி அறிந்துகொள்ளலாம்.

இத்தாலி நாட்டைச் சார்ந்த பிபனோசி (இயற்பெயர் லியோனார்டோ பொனாச்சி) என்ற கணிதவியலார் பிபனோசி எண் தொடரை உருவாக்கினார். ஏற்கனவே இந்த எண் தொடரைப் பற்றி 6ஆம் வகுப்பில் நாம் படித்ததை நினைவுகூர்வோம் பிபனோசி எண்கள் 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... என்ற தொடர்வரிசையாகக் காணப்படுகிறது.

பிபனோசி எண்தொடரை அட்டவணைப்படுத்துவதன் மூலம் அதிலுள்ள பொது விதியை, அறிந்துகொள்ளலாம். 

நாம் பிபனோசி எண் தொடரில் உற்றுநோக்கி அறிவது, அதன் 3வது உறுப்பானது இரண்டாவது மற்றும் முதலாவது உறுப்பின் கூட்டுத் தொகை என்பது தான்.

அதாவது, F(3) = F(2) + F(1) எனலாம். மேலும் இதனைப் பொது விதியாகக் கூறினால் F(n) = F(n−1) + F(n−2) ஆகும். 

இங்கு F(n) என்பது nவது பிபனோசி உறுப்பு என எடுத்துக்கொண்டால்,

F(n−1) என்பது nவது உறுப்பின் முந்தைய மதிப்பாகும், 

F(n−2) என்பது F(n−1) இன் முந்தைய மதிப்பாகும்.

இவ்வாறே , பிபனோசி எண் தொடர் முழுவதும் அமைந்துள்ளது. இதனைப் பின்வரும் வாழ்வியல் நிகழ்வுகள் மூலம் மேலும் நன்றாகப் புரிந்துக்கொள்ளலாம்.

சூழ்நிலை:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படம் 7.19 இல் ஆண் தேனீ (drone bee) மற்றும் பெண் தேனீ (female bee) இன் மரவுரு வரைப்படத்தைப் பார்க்கவும். இங்கே, ஒரு பெண் தேனீக்கு 1 ஆண் தேனீ மற்றும் 1 பெண் தேனீ பெற்றோராக உள்ளனர். ஆனால், ஒரு ஆண் தேனீக்கு ஒரே ஒரு பெண் தேனீ மட்டும் பெற்றோராக உள்ளது. (ஏனெனில், ஒரு ஆண் தேனீயானது ஒரு பெண் தேனீயின் கருத்தரிக்கப்படாத முட்டைகளால் உருவாகிறது. எனவேதான் ஆண் தேனீக்கு ஒரு தாய் மட்டுமே இருக்கிறார், தந்தை இல்லை ) இந்த வகையில் படம் 7.19 இலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது.

1. ஒரு ஆண் தேனீக்கு (A) 1 தாய் (B) மட்டும் பெற்றோராக உள்ளது. 

2. ஒரு ஆண் தேனீக்கு (A) 1 பாட்டன் மற்றும் 1 பாட்டி (C), என இரண்டு பெற்றோர்கள் உள்ளனர். 

3. ஒரு ஆண் தேனீக்கு (A) 1 பூட்டன் மற்றும் 2 பூட்டி (D), என மூன்று பெற்றோர்கள் உள்ளனர். 

4. ஒரு ஆண் தேனீக்கு (A) 2 ஓட்டன் மற்றும் 3 ஓட்டி (E), என ஐந்து பெற்றோர்கள் உள்ளனர். 

இப்போது, ஆண் தேனீக்கு (A) எத்தனை சேயோன் மற்றும் சேயோள் பெற்றோர் இருப்பார்கள் என்று கூறுங்கள் பார்க்கலாம்? 

இங்கே, நாம் தேனீக்களின் எண்ணிக்கையினை அட்டவணைப்படுத்துவதன் மூலம் ஆண் மற்றும் பெண் தேனீக்களின் குடும்ப உறவுகளின் அமைப்பைப் பற்றி அறிந்துகொள்ளலாம்.

மேலேயுள்ள அட்டவணையில் நாம் 1,1,2,3,5,8,13... பிபனோசி எண் தொடரின் அமைப்பைக் காண்கிறோம்.

குறிப்பு

பிபனோசி எண் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் இரு எண்களுக்கிடையேயுள்ள வித்தியாசம் விரைவாக அதிகரிக்கிறது. ((எடுத்துக் காட்டு: F(5) − F(4) = 5 – 3 = 2; F(10) − F(9) = 55 − 34 = 21; F(15) − F(14) = 610 − 377 = 233)(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ....))

எடுத்துக்காட்டு 7.7

புதிதாக பிறந்த ஒரு சோடி முயல்கள் வளர்ந்து அடுத்த மாதத்திலிருந்து ஒவ்வொரு மாதமும் ஒரு புதிய சோடி முயல்களை இனப்பெருக்கம் செய்கின்றன எனக் கொள்வோம். அவற்றிற்குப் பிறந்த புதிய ஒரு சோடி முயல்களும் வளர்ந்தவுடன் அவையும் மறுமாதத்திலிருந்து அவ்வாறே ஒரு புதிய சோடி முயல்களை இனப்பெருக்கம் செய்கிறதென்றால் ஒவ்வொரு மாதத்திற்குப் பிறகும் உள்ள சோடி முயல்களின் எண்ணிக்கையினை அட்டவணைப்படுத்துக.

தீர்வு:

கீழேயுள்ளப் படத்தின் மூலம், முயல்களின் எண்ணிக்கை 1, 1, 2, 3, 5, 8.... என்ற வரிசையில் உருவாவதை தெளிவாகக் காணலாம். ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் முந்தைய இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமைந்துள்ளதால், இங்கும் பிபனோசி எண்தொடரை நாம் காண்கிறோம். இதனடிப்படையில் பனிரெண்டாவது மாதத்தில் 144 சோடி முயல்கள் நமக்கு கிடைக்கிறது. இது பிபனோசி எண்தொடரில் உள்ள பனிரெண்டாவது உறுப்பைக் (144) குறிக்கிறது.

இதனைக் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளவாறு அட்டவணைப்படுத்தலாம். 

செயல்பாடு 

கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணை 1 ஐப் பயன்படுத்தி, கீழ்வரும் வினாக்களுக்கு விடையறிந்து அட்டவணை 2இல் வண்ணமிடுக. மாதிரிக்காக ஒரு விடை வண்ணமிடப்பட்டுள்ளது. 

அட்டவணை 1

1. இரட்டை பிபனோசி எண்கள் எங்கு காணப்படுகின்றன? 

உறுப்பு (n) மற்றும் பிபனோசி எண் F(n) ஆகிய இரண்டையும் மஞ்சள் நிறத்தில் வண்ணமிடுக. ஏதேனும் ஓர் எண் அமைப்பை உங்களால் காண முடிகிறதா? 

ஒவ்வொரு மூன்றாவது பிபனோசி எண்ணும் இரண்டின் மடங்காக உள்ளது. அதாவது, பிபனோசி எண் F(3) ஆனது இரண்டின் மடங்கு ஆகும் அல்லது 2 = பிபனோசி எண் F(3) ஆகும். 

2. 3இன் மடங்கு பிபனோசி எண்கள் எங்கு காணப்படுகின்றன? 

உறுப்பு (n) மற்றும் பிபனோசி எண் F(n) இரண்டையும் சிவப்பு நிறத்தில் வண்ண மிடுக. நீங்கள் காணும் எண் அமைப்பை எழுதுக.

ஒவ்வொரு ............ பிபனோசி எண்ணும் .......... எண்களாக உள்ளது. 

3. 5இன் மடங்கு பிபனோசி எண்கள் எங்கு காணப்படுகின்றன? 

உறுப்பு (n) மற்றும் பிபனோசி எண் F(n) ஆகிய இரண்டையும் நீல நிறத்தில் வண்ணமிடுக. நீங்கள் காணும் எண் அமைப்பை எழுதுக. 

ஒவ்வொரு ................................ எண்களாக உள்ளது. 

4. 8இன் மடங்கு பிபனோசி எண்கள் எங்கு காணப்படுகின்றன? 

உறுப்பு (n) மற்றும் பிபனோசி எண் F(n) ஆகிய இரண்டையும் பச்சை நிறத்தில் வண்ணமிடுக. நீங்கள் காணும் எண் அமைப்பை எழுதுக. 

ஒவ்வொரு .................... எண்களாக உள்ளது. 

அட்டவணை 2 

மேற்கண்ட செயல்பாட்டைச் செய்வதன் மூலம் நாம் முடிவிற்கு வருவது, ஒவ்வொரு பிபனோசி எண்களும், அதன் உறுப்புகளின் மடங்கு பிபனோசி எண்களின் காரணி ஆகும்.

மேற்கண்ட அட்டவணையின் மூலம் ஒவ்வொரு k ஆவது பிபனோசி உறுப்பும் F(k)இன் மடங்காகும் என்ற பொது விதியினை அறிந்துகொள்கிறோம்.