மீப்பெரு பொதுக்காரணி (மீ.பொ.கா (HCF))

மீப்பெரு பொதுக்காரணி (மீ.பொ.கா (HCF))

கொடுக்கப்பட்ட அறிவுறுத்தல்கள் அல்லது அமைப்புகளைத் தொடர்ச்சியாக குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலோ அல்லது நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்யும் வகையிலோ செய்யும் செயலானது தொடர் வளர் செயல்முறை என நாம் ஆறாம் வகுப்பில் படித்துள்ளோம். இதுவரையில் நாம், மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் காண அனைத்துக் காரணிகளையும் கண்டறிந்து அவற்றில் பெரியதைக் காண்போம். இவ்வகுப்பில் இந்த முறையைத் தவிர, மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் காண கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைத் தொடர்ச்சியாக கழிப்பதன் மூலமும், இந்தத் தொடர் கழித்தல் முறையானது எவ்வளவு விரைவாக விடையளிக்கிறது என்பதயும் பார்க்கலாம். மேலும் இந்த முறையில் சில படிநிலைகளிலேயே மீப்பெரு பொதுக்காரணியை எவ்வாறு பெறுகிறோம் என்பதையும் அறிந்துகொள்ளலாம்.

மீப்பெரு பொதுக்காரணியானது பின்னங்களை சுருக்க அல்லது திட்ட வடிவில் எழுதப் பயன்படுகிறது. இந்த கருத்தியலை மேலும் நன்கு புரிந்துகொள்வதற்கும், நமது அன்றாட வாழ்வியல் நிகழ்வுகளில் எங்கு மீப்பெரு பொதுக்காரணியைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பதனைக் காண்பதற்கும் கீழ்க்காணும் சூழலைக் கற்பனை செய்துகொள்ளுங்கள். 

1. மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் (மீ.பொ.கா.) கண்டறியும் முறைகள் 

1. காரணிகள் மூலம் கண்டறிதல் 

சூழ்நிலை:

உங்களிடம் 20 மாம்பழங்களும் 15 ஆப்பிள்களும் உள்ளதாக வைத்துகொள்ளுங்கள். இப்பழங்களைச் சமமாக நீங்கள் ஆதரவற்ற குழந்தைகளுக்குக் கொடுத்து உதவ நினைக்கிறீர்கள் எனில் அதிகபட்சமாக எத்தனை குழந்தைகளுக்கு உங்களால் உதவ முடியும் ?

இச்சூழலில், அடிப்படையில் நாம் இரண்டு எண்களின் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் கண்டறிந்தாலே போதுமானதாகும். மீப்பெரு பொதுக்காரணி, மீப்பெரு பொது வகுஎண் என்றும் குறிக்கப்படுகிறது. மீப்பெரு பொதுக்காரணி என்பது கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை முழுமையாக வகுக்கும் மிகப்பெரிய வகுஎண் ஆகும்.

இங்கு, முதலில் 20 மாம்பழங்கள் மற்றும் 15 ஆப்பிள்களின் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் காண்போம்.

ஆக, 20 மற்றும் 15 இன் மீப்பெரு பொதுக்காரணி 5 ஆகும். எனவே, உங்களால் அதிகபட்சமாக 5 குழந்தைகளுக்கு உதவ முடியும். 

இப்போது, உங்களால் தலா 4 மாம்பழங்களும் (20 ÷ 5 = 4) 3 ஆப்பிள்களும் (15 ÷ 5 = 3) என 5 குழந்தைகளுக்கு சமமாகப் பகிர்ந்தளித்து உதவ முடியும். 

2. பகா காரணிகள் மூலம் கண்டறிதல் 

சூழ்நிலை:

பள்ளியில், ஏழாம் வகுப்பில் 18 மாணவர்களும், எட்டாம் வகுப்பில் 27 மாணவர்களும் உள்ளனர். ஒவ்வொரு வகுப்பு மாணவர்களும் அணிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு வரவிருக்கும் விளையாட்டுப் போட்டிக்குத் தயாராகின்றனர். ஒவ்வொரு வகுப்பிலிருந்தும் வென்ற அணிகள் இறுதிப் போட்டியில் ஒருவருக்கொருவர் எதிர்கொள்ள வேண்டும் எனில், ஒவ்வொரு அணியிலும் ஒருவர் கூட மீதமில்லாமல் விளையாடக்கூடிய மிகப் பெரிய அணியின் எண்ணிக்கை என்ன?

முதலில் 18 மற்றும் 27இன் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் காண்போம். 

18இன் பகா காரணிகள் = 2 × 3 × 3 

27இன் பகா காரணிகள் = 3 × 3 × 3

18 மற்றும் 27இன் மீ.பொ.கா. = 3 × 3 = 9 

18 மற்றும் 27இன் மீ.பொ.கா. 9 என அறிந்துகொண்டோம்.

எனவே ஒவ்வொரு அணியிலும் விளையாடக்கூடிய மிகப் பெரிய அணியின் எண்ணிக்கை 9 ஆகும். ஆக ஏழாம் வகுப்பில் 2 அணிகளும், எட்டாம் வகுப்பில் 3 அணிகளும் இறுதிப் போட்டியில் பங்குபெறுவர். 

3. தொடர் வகுத்தல் முறை

மேற்கண்ட முறைகள் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் கண்டறிய எளிதான முறைகள் என்றாலும் இம்முறைகளில் மிகப் பெரிய எண்களுக்கு மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் கண்டறிவதென்பது மிகவும் கடினமாகும். இந்த மாதிரியான கணக்குகளில் தீர்வுக் காண கீழ்க்காணும் வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். மேலும், இந்த முறைகளைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம்.

மேற்கண்ட சூழலில் ஏழாம் வகுப்பில் 396 மாணவர்களும், எட்டாம் வகுப்பில் 300 மாணவர்களும் உள்ளனர் என்று எடுத்துக்கொண்டால் அணியின் அதிகபட்சமான எண்ணிக்கை என்னவாக இருக்கும்? இந்நிலையில் மேற்கண்ட இரு முறைகளில் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் கண்டறிவதென்பது எளிதானதல்ல. இதற்கு மாறாக, நாம் தொடர் வகுத்தல் முறையில் மீப்பெரு பொதுக்காரணியைக் கண்டறியலாம்.

படி 1: மிகப்பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்தல்

இங்கு 396 மிகப்பெரிய எண். எனவே 396 ஐ (வகுபடும் எண்) 300ஆல் (வகு எண்) வகுத்தால் நமக்கு 96 மீதியாகக் கிடைக்கிறது. 

படி 2: படி 1இன் மூலம் பெறப்பட்ட மீதியானது புதிய வகுஎண்ணாகவும் படி 1இல் உள்ள வகுஎண்ணைப் புதிய வகுபடும் எண்ணாகவும் கொண்டு வகுத்தலை மீண்டும் செய்தல் 

படி 1இல் மீதியாகக் கிடைத்த 96 என்பதை படி 2 இல் புதிய வகுஎண்ணாகவும், படி 1இல் வகு எண்ணாக இருந்த 300 என்பதை படி 2 இல் வகுபடும் எண்ணாகவும் கொண்டு வகுத்தலை மீண்டும் செய்தல் வேண்டும்.

படி 3: மீதியானது பூச்சியம் (0) என ஆகும் வரை மீண்டும் மீண்டும் இந்த முறையினைத் தொடருதல் வேண்டும். இறுதியாக உள்ள வகு எண் தேவையான மீப்பெரு பொதுக்காரணியாகும்.

படி 2 இல் 12 என்பது நமக்கு கிடைத்த மீதியாகும். எனவே, 96 என்பது வகுபடும் எண், 12 புதிய வகுஎண் ஆகும், எனவே, 96ஐ புதிய வகுபடும் எண்ணாகவும், 12 புதிய வகுஎண்ணாகவும் கொண்டு மீண்டும் வகுத்தலை செய்யும் போது மீதி பூச்சியம்(0) என்றானதால் 12 என்பது இறுதியான வகுஎண்ணாகும். எனவே 12 என்பதுதான் நமக்குத் தேவையான மீப்பெரு பொதுக்காரணி ஆகும். 

எனவே, 396 மற்றும் 300இன் மீப்பெரு பொதுக் காரணி 12 ஆகும். எனவே, மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்திலிருந்து ஓர் அணியில் அதிகப்பட்சமாக 12 மாணவர்கள் உள்ளனர் என்பதை அறிகிறோம். 

4. தொடர் கழித்தல் முறை:

இம்முறையில் m மற்றும் n என இரண்டு எண்களை எடுத்துக்கொண்டோமானால், m மற்றும் n என்ற இரண்டு எண்களும் சமமாகும் வரை தொடர்ந்து கழித்தலைச் செய்தல் வேண்டும். எடுத்துகாட்டாக, 144 மற்றும் 120இன் மீப்பெரு பொதுக்காரணியினைக் காண்க. 

படி 1: முதலில் m = n எனச் சரிப்பார்போம்

இங்கு நாம் m = 144 மற்றும் n = 120 எனக் கொள்வோம். முதலில் அல்லது m > n அல்லது m < n எனச் சரிப்பார்போம். இங்கு m > n (144 > 120) ஆகும்.

படி 2: m > n ஆக இருந்தால், m = n ஆகும் வரை m − nஐ தொடரவும் அல்லது. m < n ஆக இருந்தால், m = n ஆகும் வரை n − mஐ தொடரவும்

m ஆனது nஐ விட அதிகமாக இருந்தால், நாம் m இலிருந்து n ஐ கழித்து வரும் விடையை m இல் பிரதியிட வேண்டும். m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாக உள்ளதா என்பதைப் பரிசோதித்து. m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாகும் வரை தொடர்ந்து கழித்தலைச் செய்தல் வேண்டும்.

மாறாக , m ஆனது n ஐ விடக் குறைவாக இருந்தால், நாம் n இலிருந்து m ஐ கழித்து வரும் விடையை nஇல் பிரதியிட வேண்டும். மறுபடியும், m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாக உள்ளதா என்பதைப் பரிசோதித்து. m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாகும் வரை தொடர்ந்து கழித்தலைச் செய்தல் வேண்டும்.

இங்கு 140(m) > 120(n) ஆகும். எனவே 144 இல் இருந்து 120 ஐ கழித்து m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாகும் வரை தொடர் கழித்தலைச் செய்தல் வேண்டும்.

முதலில் 144 − 120 = 24 மீண்டும் 120 − 24 = 96 மீண்டும்  96 − 24 = 72 

மீண்டும் 72 − 24 = 48 மீண்டும் 48 − 24 = 24 மீண்டும் 24 − 24 = 0  

படி 3: m மற்றும் n என்ற இரு எண்களும் சமமாகும்போது, அந்த எண்ணானது m மற்றும் n என்ற இரண்டு எண்களின் மீப்பெரு பொதுக்காரணியாகும்.

 இப்போது m = n என்றாகிறது. எனவே, 144 மற்றும் 120 இன் மீப்பெரு பொதுக்காரணி 24 ஆகும்.

மீப்பெரு பொதுக்காரணியினைக் கண்டறிய, தொடர் வகுத்தல் மற்றும் தொடர் கழித்தல் ஆகிய இரண்டு முறைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தோமானால் தொடர் கழித்தல் முறையானது எளிமையானதாகவும், விரைவாக செய்யக்கூடியதாகவும் உள்ளது. ஒருவருக்கு வகுத்தல் செய்வதைக்காட்டிலும் கழித்தல் செய்வது எளிதாக இருக்கும்தானே?